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1、 1 1专题五圆锥曲线的综合及应用问题第1课时1已知点F1，F2分别为双曲线x21的左、右焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则的最小值为()A8 B5 C4 D92已知点F1，F2是y21的左、右焦点，点P在椭圆上运动，则的最大值是()A4 B5 C2 D13(广东揭阳一模)已知双曲线1右焦点为F，P为双曲线左支上一点，点A(0，)，则APF周长的最小值为() A4(1) B4C2() D.3 4(四川)设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y22px(p0) 上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为()A. B. C. D15设F1，F2分别是椭圆1
2、的左、右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为(6,4)，则|PM|PF1|的最大值为_6已知F是双曲线1的左焦点，A(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|PA|的最小值为_7(新课标)已知点A(0，2)，椭圆E：1(ab0)的离心率为，F是椭圆的焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点(1)求E的方程；(2)设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当OPQ的面积最大时，求l的方程8(广东广州二模)已知双曲线y21的焦点是椭圆C：1(ab0)的顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数(1)求椭圆C的方程；(2)设动点M，N在椭圆C上，且|MN|，记直线MN在y轴上的截距为m，求m的最大值第2课时1
3、(广东调研)已知椭圆C：1(ab0)的右焦点到直线xy3 0的距离为5，且椭圆C的一个长轴端点与一个短轴端点间的距离为.(1)求椭圆C的标准方程；(2)给出定点Q，对于椭圆C的任意一条过Q的弦AB，是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由2已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，且过点P(，1)(1)求椭圆C的方程；(2)若A1，A2分别是椭圆C的左、右顶点，动点M满足MA2A1A2，且MA1交椭圆C于不同于A1的点R，求证：为定值3(广东广州一模)过点P(a，2)作抛物线C：x24y的两条切线，切点分别为A(x1，y1), B(x2，y2)(1)证明：x1x2y1y2为定值；(2)记PA
4、B的外接圆的圆心为点M，点F是抛物线C的焦点， 对任意实数a，试判断以PM为直径的圆是否恒过点F? 并说明理由4(广东广州华附执信深外联考)已知椭圆1，离心率为，点A，B分别是椭圆与x轴，y轴的交点，且原点O到AB的距离为.(1)求椭圆方程；(2)如图Z51若F是椭圆的右焦点，过F的直线l交椭圆于M，N两点，当直线l绕着点F转动过程中，试问在直线x3上是否存在点P，使得PMN是以P为顶点的等腰直角三角形，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由。图Z515(四川)已知椭圆E：1(ab0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线l：yx3与椭圆E有且只有一个公共点T.(1)求
5、椭圆E的方程及点T的坐标；(2)设O是坐标原点，直线l平行于OT，与椭圆E交于不同的两点A，B，且与直线l交于点P.证明：存在常数，使得|PT|2|PA|PB|，并求的值专题五圆锥曲线的综合及应用问题第1课时1A解析：|PF2|42 48.当且仅当|PF2|2时取等号2D解析：方法一，设点P(x0，y0)，F1(，0)，F2(，0)，(x0，y0)，(x0，y0)，x3yx31x2.又因为x4，所以x21.方法二，可设点P(2cos ，sin )，转化为三角问题，则由(2cos ，sin )，(2cos ，sin )，得到3cos 221.故选D.3A解析：易得点F(，0)，APF的周长l|A
6、F|AP|PF|AF|2a|PF|AP|，要APF的周长最小，只需|AP|PF|最小，如图D137，当A，P，F三点共线时|AP|PF|最小，故l2|AF|2a4(1)图D1374C解析：设P(2pt2,2pt)，M(x，y)(不妨设t0)，则 .|PM|2|MF|， .kOM.当且仅当t时等号成立(kOM)max.故选C.515解析：|PF1|PF2|10，|PF1|10|PF2|.|PM|PF1|10|PM|PF2|.易知点M在椭圆外，连接MF2，并延长交椭圆于点P，此时|PM|PF2|取最大值|MF2|，故|PM|PF1|的最大值为10|MF2|1015.69解析：点A在双曲线的两支之间
7、，且双曲线右焦点为F(4,0)，由双曲线的性质，得|PF|PF|2a4.而|PA|PF|AF|5，两式相加，得|PF|PA|9.当且仅当A，P，F三点共线时等号成立7解：(1)设F(c,0)，由条件知，解得c.又，所以a2，b2a2c21.故E的方程为y21.(2)当lx轴时不合题意，故设l：ykx2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)将ykx2代入y21，得(14k2)x216kx120.当16(4k23)0，即k2时，x1,2.则|PQ|x1x2|.又点O到直线PQ的距离d.所以OPQ的面积SOPQd|PQ|.设t，则t0，SOPQ1.当且仅当t2，即k时等号成立，且满足0.所以当OPQ的
8、面积最大时，l的方程为yx2，或yx2.8解：(1)双曲线y21的焦点坐标为(，0)，离心率为.因为双曲线y21的焦点是椭圆C：1(ab0)的顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数，所以a，且.解得b1.故椭圆C的方程为y21.(2)因为|MN|2，所以直线MN的斜率存在因为直线MN在y轴上的截距为m，所以可设直线MN的方程为ykxm.代入椭圆方程y21，得(16k2)x212kmx6(m21)0.因为(12km)224(16k2)(m21)24(16k2m2)0，所以m216k2.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x2，x1x2.则|MN|x1x2|.因为|MN|，所以.整理，得m2
9、.令k21t1，则k2t1.所以m2.等号成立的条件是t，此时k2，m2满足m216k2，符合题意故m的最大值为.第2课时1解：(1)由题意知右焦点(c,0)到直线xy3 0的距离d5，所以c2 .则a2b28.又由题意，得，即a2b210.由，解得a29，b21.所以椭圆C的标准方程为y21.(2)当直线AB与x轴重合时，10.当直线AB不与x轴重合时，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为xmy，与椭圆C的方程联立，化简，得(m29)y2y0，所以y1y2，y1y2.又，同理，所以.将代入式，化简可得10.综上所述，为定值10.2(1)解：由题意，得1，e，解得a24，b2
10、2.所以椭圆C的方程为1.(2)证明：由(1)知A1(2,0)，A2(2,0)由题意设M(2，y0)，R(x1，y1)，则易知直线MA1的方程为yx.将其代入椭圆方程1，得x2x40，所以(2)x1.解得x1，从而y1.所以 (2，y0)4.故为定值3解：(1)方法一，由x24y，得yx2，所以yx.所以直线PA的斜率为x1.因为点A(x1，y1)和B(x2，y2)在抛物线C上， 所以y1x，y2x.所以直线PA的方程为yxx1(xx1)因为点P(a，2)在直线PA上，所以2xx1(ax1)，即x2ax180.同理，可得x2ax280.所以x1，x2是方程x22ax80的两个根所以x1x28.
11、又y1y2xx(x1x2)24, 所以x1x2y1y24为定值方法二，设过点P(a，2)且与抛物线C相切的切线方程为y2k(xa), 由消去y，得x24kx4ka80，由16k24(4ak8)0，化简，得k2ak20.所以k1k22.由x24y，得yx2，所以yx.所以直线PA的斜率为k1x1，直线PB的斜率为k2x2.所以x1x22, 即x1x28.又y1y2xx(x1x2)24，所以x1x2y1y24为定值(2)方法一，直线PA的垂直平分线方程为：y， 由于y1x，x82ax1，所以直线PA的垂直平分线方程为：y.同理直线PB的垂直平分线方程为：y.由，解得xa, y1.所以点M.抛物线C的焦点为F(0,1)，则，(a,3)由于0, 所以.所以以PM为直径的圆恒过点F.另法： 以PM为直径的圆的方程为：(xa)(y2)0.把点F(0,1)代入以上方程，知点F的坐标是方程的解所以以PM为直径的圆恒过点F.方法二，设点M的坐标为(m，n)，则PAB的外接圆方程为(xm)2(yn)2(ma)2(n2)2.由于点A(x1，
