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1、物理作业14答案 双星及多星系统双星的特点双星是相距较近且仅在彼此的引力作用下围绕它们连线上的某一固定点(圆心)做匀速圆周运动的两颗恒星,其他天体对它们的作用力可以忽略。双星具有如下特点:(1)双星做匀速圆周运动的角速度相等,周期也相同;(2)两颗恒星的向心力大小相等,都是由双星间相互作用的万有引力提供的,即m12r1=m22r2,又r1+r2=L(L是双星间的距离),可得r1=m2m1+m2L,r2=m1m1+m2L,可以看出,固定点(圆心)离质量大的星球较近。1(多选)宇宙中两颗靠得比较近的星体,只受到彼此之间的万有引力而互相绕转,称之为双星系统。设某双星系统中的A、B两星球绕其连线上的O
2、点做匀速圆周运动,如图1所示。若AOOB,则()。图1A.星球A的角速度一定大于B的角速度B.星球A的质量一定小于B的质量C.若双星间的距离一定,双星的总质量越大,其转动周期越大D.若双星的质量一定,双星之间的距离越大,其转动周期越大1 BD【解析】双星由相互间的万有引力提供向心力,具有相同的角速度,由万有引力提供向心力得Gm1m2L2=m12r1=m22r2,因为AOOB,所以m1m2,即A的质量一定小于B的质量,故A错误,B正确;由万有引力提供向心力得Gm1m2L2=m12T2r1=m22T2r2,解得周期T=2L3G(m1+m2),由此可知双星间距离一定,双星的总质量越大,其转动周期越小
3、,故C错误;由T=2L3G(m1+m2)可知双星的质量一定,双星之间的距离越大,其转动周期越大,故D正确。2银河系的恒星中大约四分之一是双星。某双星由质量不等的星体S1和S2构成,两星在相互之间的万有引力作用下绕二者连线上某一定点C做匀速圆周运动。由天文观测得其周期为T,S1到C点的距离为r1,S1和S2的距离为r,已知万有引力常量为G。由此可求出S2的质量为()。A.42r2(r-r1)GT2B.42r13GT2 C.42r3GT2D.42r2r1GT22 D【解析】设S1、S2两星体的质量分别为m1、m2,由万有引力定律和牛顿第二定律,对S1有Gm1m2r2=m12T2r1,解得m2=42
4、r2r1GT2。故D项正确。3.双星系统由两颗恒星组成,两恒星在相互引力的作用下,分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动。研究发现,双星系统演化过程中,两星的总质量、距离和周期均可能发生变化。若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T,经过一段时间演化后,两星总质量变为原来的k倍,两星之间的距离变为原来的n倍,则此时圆周运动的周期为()。A.n3k2TB.n3kTC.n2kTD.nkT3 B【解析】设双星质量分别为m1、m2,相距l,做圆周运动的半径分别为r1、r2,则Gm1m2L2=m142r1T2,Gm1m2L2=m242r2T2,r1+r2=L1,可得G(m1+m2)L2=42LT
5、2,T=42L3G(m1+m2),同理可得T=42(nL)3Gk(m1+m2),所以T=n3kT,故B项正确,A、C、D三项错误。4天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为双星。双星系统在银河系中很普遍利用双星系统中两颗恒星的运动特征可推算出它们的总质量已知某双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某一固定点分别做匀速圆周运动，周期均为T，两颗恒星之间的距离为r，试推算这个双星系统的总质量(引力常量为G)4.【解析】【思路点拨】 双星之间的作用力是两星之间的万有引力，要做稳定的匀速圆周运动，只有依靠万有引力提供向心力，又因以两者连线上某点为圆心，所以半径之和不变，故运动过程中角速度
6、不变，再由万有引力定律可以解得。设两颗恒星的质量分别为m1、m2，做匀速圆周运动的半径分别为r1、r2，角速度分别为1、2根据题意有 12 r1+r2r 根据万有引力定律和牛顿第二定律，有 联立式解得 根据角速度与周期的关系知 联立式解得 【速解方略】由于双星做匀速圆周运动的角速度相等，其轨道半径和线速度均与双星的质量成反比5某双星系统中两个星体 A、B 的质量都是 m，且 A、B 相距 L，它们正围绕两者连线上的某一点做匀速圆周运动实际观测该系统的周期 T 要小于按照力学理论计算出的周期理论值 T0，且TT0= k (k1） ，于是有人猜测这可能是受到了一颗未发现的星体 C 的影响，并认为
7、C 位于双星 A、B 的连线中点求：(1)两个星体 A、B组成的双星系统周期理论值；(2)星体C的质量5.（1）T0=2L32Gm；（2）M=1k2m4k2【解析】(1)两星的角速度相同,根据万有引力充当向心力知:GmmL2=m2r1=m2r2 可得：r1=r2两星绕连线的中点转动,则GmmL2=m(2T0)2L2 解得：T0=2L32Gm (2)因为C的存在,双星的向心力由两个力的合力提供,则GmmL2+GMmL22=m(2T)2L2 再结合：TT0= k可解得：M=1k2m4k2 故本题答案是：（1）T0=2L32Gm；（2）M=1k2m4k2【速解方略】本题是双星问题,要抓住双星系统的条
8、件:角速度与周期相同,再由万有引力充当向心力进行列式计算即可.6(多选)由三颗星体构成的系统,忽略其他星体对它们的作用,存在着一种运动形式:三颗星体在相互之间的万有引力作用下,分别位于等边三角形的三个顶点上,绕某一共同的圆心O在三角形所在平面内以相同角速度做匀速圆周运动。如图2所示,三颗星体的质量均为m,三角形的边长为a,引力常量为G,下列说法正确的是()。图2A.每颗星体受到的引力大小均为3Gm2 a2B.每颗星体的角速度均为3Gma3C.若a不变,m是原来的2倍,则周期是原来的12D.若m不变,a是原来的4倍,则线速度是原来的126.BD【解析】对其中一颗星体进行受力分析如图所示,有F1=
9、Gm2a2,F2=Gm2a2,每颗星体受到的引力F=2F1cos 30=3Gm2a2,故A错误。由几何关系可知,每颗星体绕O点做匀速圆周运动的半径r=3a3,根据万有引力提供向心力,有3Gm2a2=m233a,解得=3Gma3,故B正确。对每颗星体,根据合外力提供向心力,有3Gm2a2=m42T23a3,解得T=2a33Gm,若a不变,m是原来的2倍,则周期是原来的22,故C错误。对每颗星体,根据万有引力提供向心力,有3Gm2a2=mv23a3,解得v=Gma,若m不变,a是原来的4倍,则线速度是原来的12,故D正确。第6题图7宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统,
10、通常可忽略其他星体对它们的引力作用。已观测到的稳定的三星系统存在两种基本的构成形式:一种形式是三颗星分别位于同一直线上,两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运动;另一种形式是三颗星分别位于等边三角形的三个顶点上,并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行,设每颗星体的质量均为m。(1)试求第一种形式下,星体运动的线速度和周期;(2)假设两种形式下星体的运动周期相同,则第二种形式下星体之间的距离应为多少?7.(1)5Gm4R，4R35Gm,(2)(125)13R【解析】(1)对于第一种运动情况,以某颗运动星体为研究对象,受力分析如图甲所示,根据牛顿第二定律和万有引力定律有F1=Gm2R2,F2=Gm
11、2(2R)2,F1+F2=mv2R,运动星体的线速度v=5Gm4R,设周期为T,则有T=2Rv,T=4R35Gm,。第7题图(2)设第二种形式下星体之间的距离为r,则三星体做圆周运动的半径R=r2cos30,由于星体做圆周运动所需要的向心力靠其他两颗星体的万有引力的合力提供,受力分析如图乙所示,由力的合成和牛顿第二定律有2Gm2r2cos 30=m42T2R,由式得r=(125)13R。8由三颗星体构成的系统,忽略其他星体对它们的作用,存在着一种运动形式:三颗星体在相互之间的万有引力作用下,分别位于等边三角形的三个顶点上,绕某一共同的圆心O在三角形所在的平面内做相同角速度的圆周运动(如图3所示
12、为A、B、C三颗星体质量不相同时的一般情况)。若A星体质量为2m,B、C两星体的质量均为m,三角形的边长为a,求:图3(1)A星体所受合力大小FA;(2)B星体所受合力大小FB;(3)C星体的轨道半径RC;(4)三星体做圆周运动的周期T。8. (1)23Gm2a2。(2)7Gm2a2。(3)74a(4)a3Gm【解析】(1)由万有引力定律,A星体受B、C星体引力大小为FBA=GmAmBr2=G2m2a2=FCA,方向如图所示。则合力大小FA=23Gm2a2。第8题图(2)同上,B星体所受A、C星体引力大小分别为FAB=GmAmBr2=G2m2a2,FBC=GmCmBr2=Gm2a2,方向如图所
13、示,由FBx=FABcos 60+FCB=2Gm2a2,FBy=FABsin 60=3Gm2a2,可得FB=FBx2+FBy2=7Gm2a2。(3)通过分析可知,圆心O在中垂线AD的中点RC=34a2+12a2=74a。(4)三星体运动周期相同,对C星体,由FC=FB=7Gm2a2=m2T2RC,可得T=a3Gm。【总结升华】该题借助于三星模型考察万有引力定律，其中B、C的质量相等，则运行的规律、运动的半径是相等的，画出它们的受力图像，再结合图像和万有引力定律即可正确解答。9假设宇宙中存在一些离其它恒星较远的、由质量相等的四颗星组成的四星系统，设其它星体对它们的引力作用可忽略已知稳定的四星系统
14、存在两种基本的构成形式，一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，第四颗位于其中心，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行；另一种形式是四颗星位于正方形的四个顶点上，围绕正方形的中心做圆轨道运行设每颗星体的质量均为m，它们做圆周运动的半径为R，试分别求出这两种情况下四星系统的运动周期T1和T2.(已知万有引力常量为G)9.； ；【解析】第一种情况，O对A的作用力为： 设A、C距离为r，则：r2Rcos 30C对A的作用力为：B、C对A的合力为：F22Fcos 30故对A有：F1F2联立解得：T1第二种情况，D对A的作用力为：F1C对A的作用力为： B、C对A的合力为故对A有：F1F2联立解得：T24R
