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1、特殊群的子群、不变子群与商群摘 要：群是一种代数运算的代数体系，它是近世代数中比较古老且内容丰富的重要分 支，在近似代数中有着广泛的应用.其中子群的相关理论中群的同态与同构不变子群和商群 尤为重要.不变子群的重要性在于它与群同态有密切的关系,而群同态的核心就是不变子群. 突出了同态的重要性本篇论文主要阐述了对不变子群的判别条件进行归纳,同时证明了诸判 别条件的等价性并给出一些应用,通过不变子群与同态的几个关系看出不变子群和商群的重 要意义,并且着重列举出了一些特殊群的子群不变子群及商群,使我们更深入的了解特殊群 的子群不变子群及商群的相关内容.关键词：子群；不变子群；判别准则；陪集；商群引言
2、在古典代数中方程论是中心课题.直到19 世纪中叶，代数仍是一门以方程式论为中心的数学学科，代数方程的求解问题依然是代数的基本问题，特别是用根式求解方程. 群论也就是起源于对代数方程的研究，它是人们对代数方程求解问题逻辑考察的结果.伽罗 瓦仔细研究了前人的理论，特别是拉格朗日、鲁菲尼、高斯、阿贝尔等人的著作，开始研究 多项式方程的可解性理论，他将重心放在判定已知的方程是否有根式解.如果有，也不去追 究该方程的根究竟是怎样的，只需证明有根式解存在即可.1799 年，鲁菲尼证明了五次以上方程的预解式不可能是四次以下的，从而转证五次 以上方程是不可用根式求解的，但他的证明不完善.同年，德国数学家高斯开
3、辟了一个新方 法，在证明代数基本理论时，他不去计算一个根，而是证明它的存在.随后，在1801 年，他 解决了分圆方程xp -1=0 ( P为质数)可用根式求解，这表明并非所有高次方程不能用根式 求解。因此，可用根式求解的是所有高次方程还是部分高次方程的问题需进一步查明.随后，挪威数学家阿贝尔开始解决这个问题.1824年到1826年，他修正了鲁菲尼 证明中的缺陷，严格证明如果一个方程可以根式求解，则出现在根的表达式中的每个根式 都可表示成方程的根和某些单位根的有理数.并且利用这个定理又证明出了阿贝尔定理：一 般高于四次的方程不可能代数地求解.接着他进一步思考哪些特殊的高次方程才可用根式解 的问题
4、.在高斯分圆方程可解性理论的基础上，他解决了任意次的一类特殊方程的可解性问 题，发现这类特殊方程的特点是一个方程的全部根都是其中一个根(假设为x)的有理函数， 并且任意两个根q (x)与q (x)满足qq (x) q q (x)，q，q (x)为有理函数.现在称这种1 2 1 2 2 1 1 2方程为阿贝尔方程。阿贝尔解决了构造任意次数的代数可解的方程的问题，却没能解决判定已知方程是否可用根式求解的问题.在此基础上法国数学家伽罗瓦创立群论是为了应用于方程论，主要的成就是提出了群的概念，并用群论彻底解决了根式求解代数方程的问题，而且由此发展了一整套关于群和域的理论，人们称之为伽罗华理论.正是这套
5、理论创立了抽 象代数学，把代数学的研究推向了一个新的里程.群论是研究也不仅仅局限于数学领域，在 研究物理问题中群论也是重要的工具.并且用群论解决有些问题可以更加简捷，在粒子物理 等方面的应用也是很广泛的.在化学中它可以应用于基本粒子、核结构、原子结构和晶体结 构等许多方面，分析它在分子偶极距、旋光性上的应用能说明杂化轨道的形成过程.1 群及其同态与同构定义11 设G是一个非空集合，*是它的一个代数运算，如果满足以下条件：I .结合律成立，即对G中任意元素a,b,c都有a(b*c)=(a*b)c ；II. 中有元素e,叫做G的左单位元，它对G中每个元素a都有ea = a ；III. 对G中每个元
6、素a在G中都有元素a-i，叫做a的左逆元，使a-ia二e，则称G 对代数运算 *做成一个群。定义1.2设G, 和G, 都是群.如果存在映射9 : G T G使Vq,b g G在G也都 有9(a。b) =9(a)环(b)(即申保运算)则称申是同构映射.同时称G与G同构，记为G = G ,也称G是G的同构象.f生质1.1 G t G是群同构映射，那么9的逆映射9-1 -:G t G也是群的同构映射.证明已知，9 -1 : G G必是双射,现须证9 -1能保运算即可事实上，注意到了9-1 9 = 1 ，且 V a , b g G，则必然存在a，b g G 使9 (a) = a，9 (b) = b，且
7、9-1 (a) G=a， 9 -1 (b) = b 于是9-1 (a o b)二(Q(a)(b) = 9-1 (9 (a。b)二9-19(a。b)=O1 (a o b) = a o b = 9-1( a) o 9 -i(b)G9-1 (a ob) = 9-1(a) o9-1 (b) =9 -i保运算.即9 -1 是同构映射.性 质 1.2 设 9 ： G TG 和 9 : G TG 都 是 群 同 构 映 射 , 那 么 991 1 2 2 2 3 1 2 也是群同构映射。证明： 因为9 和9 ，都是双射，自然99 也是双射. 而9，9 都能保运算，须991 2 1 2 1 2 1 2也能保持
8、运算. Va,bgG ， 9 9 (ab) =9 9 (a)9 (b)=9 9 (a)9 (b)=9 9 是1 2 1 2 1 1 2 1 2 2 1同构映射。f生质1.3在群之间的同构“=”作为关系时，“=”必是一个等价关系。证明：(1)任一个群 G ，显然 G = G ，这里1 是G的恒等变换。G(2) 若G 9 G那么由结论1 = G 91G1 2 2 1(3) 若G11 G，且G = G ,由结论2 = G辔1 G122313由(1), (2)知，“二”满足发射定律，对称律和传递律。所以，“二”是等价关系。例1设群U4 = 1,-1,i,-i是四次单位根群，K = e,a,b,ab是由
9、元素a，b和关系 a2 = b2 = e和ab = ba所定义的群.问U与K是否同构，为什么？4解如果U4与K同构，申是U到K的同构映射.则44易知申(-1)=申(-i) = P (月=e，而申二e，申是单射，我们可以得到-1=1.这是一个矛盾。从而知U与K不同构4定义1.3设 匕。和G都是群，如果存在映射申:G t G使Va,b g G,都有 申(a。b)二申(a)环(b)，则称申是群同构态映射；如果申是满射，则必申为群满同态映射, (注：这是重要的一种同态，要特别关注)简称G与G 同态,并记为GG，此时也称G 是 G 的同态像.性m 1.4设申是两个代数体系U,。到ko)的同态满射，若U,
10、。是群，那 么A,，也一定是群.性质1.5设申：G t G是群同态满射.那么G)若e是G的单位元，=申C )= e,必是G的单位元.(ii)若申(a)二万 n 申(a-1)二申(a)-i2 子群的同构与同态及陪集的基本定义和性质定义2.1设G是一个群，H是G的一个非空子集，若H本身对于G的运算 下也是群，则称 H 是 G 的一个子群 .定理 2.1 设 H 是群 G 的非空子集， 则 H 是 G 的子群当且仅当 H 满足下列两条 件之一：( 1)对任意 a,bg H， abgH 且 a-1gH ；( 2)对任意 a,bg H, ab-1g H .性质 2.1 H 是群 G 的子群当且仅当其为非
11、空集且在乘积和逆运算下为封闭 的.(封闭条件是指：任两个在 H内两元素a和b，ab和a-1都为在H中).，性质2.2任两个在H内的a和b , ab-1也在H内.若H是有限的则H是G 一个 子群当且仅当H在乘积下为封闭的（在此情形下，G的每一个元素a都会生成一个G 的有限循环子群 ）.f生质2.3 一个子群内的一元素的逆元素为群内的此元素的逆元素：若H是群G的子群，且a和b为会使得ab = ba = eH成立的H内的元素，贝卩ab = ba = eG.，性质2.4若S是G的子集，则存在一个包括S的最小子群，其可以由取得所有包 括S的子群之交集来找出；此时最小子群被标记为S并称为由S生成的子群。而
12、G内 的一个元素在S内当且仅当其为S内之元素的有限乘积且其逆元.，性质2.5若e为G的单位元素，则群e会是群G的最小子群，而其最大子群则 会是群 G 本身 .例2找出模 12的剩余类加群的所有子群.解设H是Z丄的子群，则H的个数只能为1、2、3、4、6、12；（H）二 1,H 二e（H ）= 2, H = o6（H ）= 3, H = （04 k（H ）= 4, H = 0l3l6 b（H ）= 6, H = ob 4|6 |8|10 （H ）= 12, H = Z12例3假设H是群G的一个非空子集，并且H的每一个元的阶都有限，证明H作成子 群的充要条件是：a, b e H n ab e H证
13、明 必要性 显然.充份性Va e H，设an = e,则a-1 = an-i e H，故H作成子群.定理2.2设申:GG，则（1）N G 6 （N） G（2）N G n 申-1（N） G 3不变子群的定义判别条件及不变子群与同态定义3.1设H是群G的子群.如果Va e G都有aH = Ha，则称H是G的不变子群 或正规子群，记为：H G，称Ha是由子群H确定的一个右陪集；而称aH是由H确定 的左陪集.当H是G的不变子群时，把它的左陪集和右陪集通称为陪集.一个不变子群N的一个 左（或右）陪集统一叫做N的一个陪集.注意 这里右陪集的“右”的含义在于元素a是从右边乘以子群H，而左陪集是元素a 从左边
14、乘以子群H.我们看一个群G和G的一个子群H .我们规定一个G的一个元中间的关系：ab，当且只当ab-1 e H的时候给了 a和b，我们可以唯一确定，ab-1是不是属于H，所以是一个关系.但(1) aa-i = e e H，所以 a a(2)aa-i e H n (ab-i)-i = ba-i e H,所以a bnb a(3)ab-i e H， bc-i e H n (ab-i)(bc-i) = ac-i e H，所以ab， bcnac这样， 是一个等价关系.定义3.2由上面的等价关系所决定的关系叫做子群H的右陪集包含a的右陪集用 符号Ha来表示.例4 G = S3 = (i),(i2),(i3
15、),(23),(i23),(i32) H =(i),(i2)那么H(i)= (i),(i2)H(i3)=(i3),(i23)H(23)=(23),(i32)我们还可以用(12)， (123) ，(132)来作右陪集H(12),H(123),H(132),但因为 H (12)e H H (123)w H (13)H (132)e H (23)这样，子群h把整个群分成HH(13)H(23),三个不同的右陪集.这三个不同的右陪集放 在一起显然是G ,因此，他们的确定是一个分类.关于右陪集有如下性质：性质3.1设G是群，H G，贝I：(1) a g Ha, Va g G ；(2) ab-i g H当且仅当Hap|Hb H0当且仅当Hap|Hb ；(3) HuHaUHbuHc.，其中e是G的单位元，e,a,b,c,中任意两个x, y均有x, y-1电H .定义3.3设S S,S为群G的m个子集合，用记号12 mS S S = s s s I s g S ,i = 1,m
