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1、中国海洋大学试题答案学年第 2学期试题名称： 热力学与统计物理（ A）共 2页第1页专业年级：学号姓名授课教师名杨爱玲分数一填空题（共40 分）1 N 个全同近独立粒子构成的热力学系统，如果每个粒子的自由度为r，系统的自由度为（Nr ）。系统的状态可以用（2Nr）维 空间中的一个代表点表示。2 对于处于平衡态的孤立系统，如果系统所有可能的微观状态数为，则每一微观状态出现的概率为（1/? ），系统的熵为（ kln ?）。3玻色统计与费米统计的区别在于系统中的粒子是否遵从（泡利不相容原理）原理，其中（费米）系统的分布必须满足0 fs 1。4玻色系统和费米系统在满足（经典极限条件 ( 或 e - 1
2、 ）条件时，可以使用玻尔兹曼统计。dUal d ll dall dal）项描述传热， （al d l）项描述做功。5ll给出内能变化的两个原因，其中（ll6 对粒子数守恒的玻色系统，温度下降会使粒子的化学势（升高 ）；如果温度足够低，则会发生（玻色爱因斯坦凝聚）。这时系统的能量 U 0（ 0），压强 p0（ 0），熵 S0（ 0）。1 ( px 2py 2pz 2 ) ax 2bx7已知粒子遵从经典玻尔兹曼分布，其能量表达式为2m，粒子的平均能量为（ 2kT b2/4a）。8当温度（很低 ）或粒子数密度（很大 ）时，玻色系统与费米系统的量子关联效应会很强。9 如果系统的分布函数为 s，系统在量
3、子态s 的能量为Es，用 s 和 Es 表示：系统的平均能量为（EsEs），能量涨落为s（s ( EsE )2）（如写成 E 2(E)2 也得分）。s10与宏观平衡态对应的是稳定系综，稳定系综的分布函数 s 具有特点（ d s / dt=0或与时间无关等同样的意思也得分），同时 s 也满足归一化条件。二计算证明题（每题10 分，共 60 分）1假定某种类型分子（设粒子可以分辨）的许可能及为0， ， 2， 3，。， 而且都是非简并的，如果系统含有6 个分子，问：（ 1）与总能量 3相联系的分布是什么样的分布？分布需要满足的条件是什么？（ 2）根据公式alN !al 计算每种分布的微观态数? ；a
4、l ! ll（ 3）确定各种分布的概率。解：能级：1， ，2 ，3 ，4能量值：0， ， 2， 3， 简并度：1， 1，1， 1，分布数：a1,a2,a3,a4,分布al要满足的条件为：alN6lal lE3l满足上述条件的分布有：A：al5,0,0,1,0,.B： al4,1,1,0,0,.C： al3,3,0,0,0,.各分布对应的微观态数为：所有分布总的微观态数为：A6!16;5!1!B6!130;4!1!1!6!120C3!3!ABC6302056pAA /6/ 560.107;各分布对应的概率为： pBB /30/ 560.536;pCC /20/ 560.357;2表面活性物质的分
5、子在液面（面积为A）上做二维自由运动，可以看作二维理想气体，设粒子的质量为m，总粒子数为 N。（ 1）求单粒子的配分函数Z1；（ 2）在平衡态，按玻尔兹曼分布率，写出位置在x 到 x dx， y 到 y dy 内，动量在 pxxxyyy内的分子数 dN；到 p dp， p到 p dp（ 3）写出分子按速度的分布；（ 4）写出分子按速率的分布。解：（ 1）单粒子的配分函数 z11e 2 m22) dxdydpx dpyA(2 mkT)( pxp yh2h2（ 2） dN e( ) dxdydpxdpyNdxdydpx dpyh2eh2Z1（ 3）将（ 1）代入（ 2），并对 dxdy积分，得分子
6、按速度的分布为dNvmmN ()e 2 kT2kT(vx 2vy 2 ) dvxdv ymv2mv2（ 4）有（ 3）可得分子按速率的分布为：2 N (m)e 2kT vdvN ( m )e 2kT vdv2 kTkT3定域系含有N 个近独立粒子，每个粒子有两个非简并能级1 0， 2 0 ，其中 0 大于零且为外参量y 的函数。求：（ 1）温度为 T 时处于激发态的粒子数与处于基态的粒子数之比，并说明在极端高温和极端低温时粒子数比的特点；（ 2）系统的内能和热容量；（ 3）极端高温和极端低温时系统的熵。解：（ 1）单粒子的配分函数为： Z1ele1e2e 0e0l处于基态的粒子数为： N1Ne
7、 1e0;Z1Nee 00处于激发态的粒子数为： N2N2Ne0;ee 0eZ10温度为 T 时处于激发态的粒子数与处于基态的粒子数之为：N2eN1e000ekT0ekT极端高温时： kT ， N 21, 即处于激发态的粒子数与处于基态的粒子数基本相同；0N1极端低温时： kT ， N 20 , 即粒子几乎全部处于基态。0N1ln Z1e0（ 2）系统的内能： UNNln( e0e0 )N 00e热容量： CV (U12 (UN 0 21(e0e 0)2)VkT)VkT2ee 0T0ee00（ 3）极端高温时系统的熵：Sk lnk ln 2NNk ln 2极端低温时系统的熵：S=04对弱简并的
8、非相对论费米气体，求：（ 1）粒子数分布的零级近似f 0 与一级修正项f 1；（ 2）证明：与零级近似相比，粒子数的相对修正量和内能的相对修正量均正比于e 。解：费米气体分布函数为：f111e（ 1） f ee(1 e) ee 2 21ef0e，f1e 221（2） D()dCV2 dNf1 D ()de 22Nf 0 D ()de1CV2 d1 eCV 2 dUf1D ()dUef0D ()d5金属中的电子可以视为自由电子气体，电子数密度n，（ 1）简述： T 0K 时电子气体分布的特点，并说明此时化学势 0 的意义；3（ 2）证明： T 0K 时电子的平均能量0502 n，简并压强 p00 ；5（ 3）近似计算：在室温下某金属中自由电子的热容与晶格热容之比。f（ 1）表示 T 0K 时电子的最能量。电子从 0 的能级开始，先占据低能级，然后占据高能级，遵T=0K01从泡利不相容原理。f = 1 ( 0)0001300U0fD() d0CV2 d02 d30N0110(2)0fD ()dCV2 d2 d500002 U2 U N22 32p03 V 3 N V 3 0n3 5 0n5 0 n(3)T0K 时: f1（）； f11）2（ ）； f（22T0K 时，只有在 附近 kT 量级范围内的电子可跃迁到高能级，对
