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1、优质文档 07、等价转化法等价转化是把未知解的问题转化到在已有学问范围内可解的问题的一种重要的思想方法。通过不断的转化，把不熟识、不标准、困难的问题转化为熟识、标准甚至模式法、简洁的问题。历年高考，等价转化思想无处不见，我们要不断造就和训练自觉的转化意识，将有利于强化解决数学问题中的应变实力，提高思维实力和技能、技巧。转化有等价转化和非等价转化。等价转化要求转化过程中前因后果是充分必要的，才保证转化后的结果仍为原问题的结果。非等价转化其过程是充分或必要的，要对结论进展必要的修正如无理方程化有理方程要求验根，它能给人带来思维的闪光点，找到解决问题的突破口。我们在应用时必须要留意转化的等价性和非等
2、价性的不同要求，实施等价转化时确保其等价性，保证逻辑上的正确。闻名的数学家，莫斯科大学教授C.A.雅洁卡娅曾在一次向数学奥林匹克参赛者发表什么叫解题的演讲时提出：“解题就是把要解题转化为已经解过的题”。数学的解题过程，就是从未知向确定、从困难到简洁的化归转换过程。等价转化思想方法的特点是具有敏捷性和多样性。在应用等价转化的思想方法去解决数学问题时，没有一个统一的模式去进展。它可以在数和数、形和形、数和形之间进展转换；它可以在宏观上进展等价转化，如在分析和解决实际问题的过程中，平凡语言向数学语言的翻译；它可以在符号系统内部实施转换，即所说的恒等变形。消去法、换元法、数形结合法、求值求范围问题等等
3、，都表达了等价转化思想，我们更是经常在函数、方程、不等式之间进展等价转化。可以说，等价转化是将恒等变形在代数式方面的形变上升到保持命题的真假不变。由于其多样性和敏捷性，我们要合理地设计好转化的途径和方法，幸免死搬硬套题型。在数学操作中实施等价转化时，我们要遵循熟识化、简洁化、直观化、标准化的原那么，即把我们遇到的问题，通过转化变成我们比拟熟识的问题来处理；或者将较为繁琐、困难的问题，变成比拟简洁的问题，比方从超越式到代数式、从无理式到有理式、从分式到整式等；或者比拟难以解决、比拟抽象的问题，转化为比拟直观的问题，以便精确把握问题的求解过程，比方数形结合法；或者从非标准型向标准型进展转化。遵照这
4、些原那么进展数学操作，转化过程省时省力，有如顺水推舟，经常渗透等价转化思想，可以提高解题的水平和实力。一、方法简解：1. f(x)是R上的奇函数，f(x2)f(x)，当0x1时，f(x)x，那么f(7.5)等于_。 A. 0.5 B. 0.5 C. 1.5 D. 1.52.设f(x)3x2，那么ff(x)等于_。 A. B. 9x8 C. x D. 3. 假设m、n、p、qR且mna，pqb，ab0，那么mpnq的最大值是_。 A. B. C. D. 4. 假如复数z满意|z|z|2，那么|z1|的最小值为_。 A. 1 B. C. 2 D. 5. 设椭圆1 ab0的半焦距为c，直线l过(0,
5、a)和(b,0)，确定原点到l的距离等于c，那么椭圆的离心率为_。 A. B. C. D. 6. 确定三棱锥S-ABC的三条侧棱两两垂直，SA5，SB4，SC3，D为AB的中点，E为AC的中点，那么四棱锥S-BCED的体积为_。 A. B. 10 C. D. 【简解】1小题：由确定转化为周期为2,所以f(7.5)f(-0.5)f(0.5)，选B；2小题：设f(x)y，由互为反函数的值域和定义域的关系，选C；3小题：由mpnq简洁求解，选A；4小题：由复数模几何意义利用数形结合法求解，选A；5小题：ab，变形为12e31e70，再解出e，选B；6小题：由SS和三棱椎的等体积转化简洁求，选A。二、
6、举例分析：例1. 假设x、y、zR且xyz1，求(1)( 1)( 1)的最小值。【分析】由确定xyz1而联想到，只有将所求式变形为含代数式xyz，或者运用均值不等式后含xyz的形式。所以，关键是将所求式进展合理的变形，即等价转化。【解】(1)( 1)( 1)1x(1y)(1z)(1xyzxyyzzxxyz)(xyyzzxxyz)131119【注】对所求式进展等价变换：先通分，再整理分子，最终拆分。将问题转化为求的最小值，那么不难由平均值不等式而进展解决。此题属于代数恒等变形题型，即代数式在形变中保持值不变。例2. 设x、yR且3x2y6x，求xy的范围。【分析】 设kxy，再代入消去y，转化为
7、关于x的方程有实数解时求参数k范围的问题。其中要留意隐含条件，即x的范围。【解】由6x3x2y0得0x2。设kxy，那么ykx，代入确定等式得：x6x2k0 ，即kx3x，其对称轴为x3。由0x2得k0,4。所以xy的范围是：0xy4。【另解】 数形结合法转化为解析几何问题：由3x2y6x得(x1)1，即表示如下图椭圆，其一个顶点在坐标原点。xy的范围就是椭圆上的点到坐标原点的距离的平方。由图可知最小值是0,距离最大的点是以原点为圆心的圆和椭圆相切的切点。设圆方程为xyk，代入椭圆中消y得x6x2k0。由判别式368k0得k4,所以xy的范围是：0xy4。【再解】 三角换元法，对确定式和待求式
8、都可以进展三角换元转化为三角问题：由3x2y6x得(x1)1，设，那么xy12coscossin12coscoscos2cos0,4所以xy的范围是：0xy4。【注】此题运用多种方法进展解答，实现了多种角度的转化，联系了多个学问点，有助于提高发散思维实力。此题还可以利用均值换元法进展解答。各种方法的运用，分别将代数问题转化为了其它问题，属于问题转换题型。例3. 求值：ctg104cos10 【分析】分析所求值的式子，估计两条途径：一是将函数名化为一样，二是将非特别角化为特别角。【解一】ctg104cos104cos10根本过程：切化弦通分化同名拆项差化积化同名差化积【解二】ctg104cos1
9、04cos10根本过程：切化弦通分化同名特值代入积化和差化积【解三】ctg104cos104cos10根本过程：切化弦通分化同名拆角80和差角公式【注】无条件三角求值问题，是高考中常见题型，其变换过程是等价转化思想的表达。此种题型属于三角变换型。一般对，对于三角恒等变换，须要敏捷运用的是同角三角函数的关系式、诱导公式、和差角公式、倍半角公式、和积互化公式以及万能公式，常用的手段是：切割化弦、拆角、将次和升次、和积互化、异名化同名、异角化同角、化特别角等等。对此，我们要驾驭变换的通法，活用2公式，攻克三角恒等变形的每一道难关。例4. 确定f(x)tgx，x(0, )，假设x、x(0, )且xx，
10、求证：f(x)f(x)f() 94年全国高考【分析】从问题着手进展思索，运用分析法，一步步探求问题成立的充分条件。【证明】f(x)f(x)f() tgxtgxtg() 1cos(xx)2cosxcosx 1cosxcosxsinxsinx2cosxcosx cosxcosxsinxsinx1 cos(xx)1 由确定明显cos(xx)f() SA M D N C B 【注】 此题在用分析法证明数学问题的过程中，每一步实施的都是等价转化。此种题型属于分析证明型。例5. 如图，在三棱锥S-ABC中，S在底面上的射影N位于底面的高CD上，M是侧棱SC上的一点，使截面MAB和底面所成角等于NSC。求证
11、：SC垂直于截面MAB。83年全国高考【分析】 由三垂线定理简洁证明SCAB，再在平面SDNC中利用平面几何学问证明SCDM。【证明】由确定可得：SN底面ABC，ABCD，CD是斜线SC在底面AB的射影， ABSC。 ABSC、ABCD AB平面SDNC MDC就是截面MAB和底面所成的二面角由确定得MDCNSC又 DCMSCN DCMSCM DMCSNCRt即 SCDM所以SC截面MAB。【注】立体几何中有些问题的证明，可以转化为平面几何证明来解决，即考虑在一个平面上的证明时运用平面几何学问。三、稳固训练：1. 正方形ABCD和正方形ABEF成90的二面角，那么AC和BF所成的角为_。 A.
12、 45 B. 60 C. 30 D. 902. 函数f(x)|lgx|，假设0af(b)，那么以下各式中成立的是_。 A. ab1 B. ab1 D. a1且b13. (nN)的值为_。 A. B. C. 0 D. 14. (abc)绽开式的项数是_。 A. 11 B. 66 C. 132 D. 35. 确定长方体ABCD-ABCD中，AAAD1，AB，那么顶点A到截面ABD的距离是_。6. 确定点M(3cosx，3sinx)、N(4cosy，4siny)，那么|MN|的最大值为_。7. 函数y的值域是_。8. 不等式logxx3log(x2)的解是_。9设x0，y0，求证：(xy)(xy) (86年上海高考)10. 当x0, 时，求使cosxmcosx2m20恒成立的实数m的取值范围。11. 设ABC的三内角A、B、C的对边分别是a、b、c，假设三边a、b、c顺次成等差数列，求复数zcos()sin()sin()cos()的辐角主值argz的最大值。12. 确定抛物线C：y(tt1)x2(at)x(t3atb)对任何实数t都和x轴交于P(1,0)点，又设抛物线C和x轴的另一交点为Q(m,0)，求m的取值范围。
