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1、#判别平行四边形的基本方法如何判别一个四边形是平行四边形呢？下面举例予以说明.一、 运用 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形”判 别例1如图1,在平行四边形 ABCD中,E、F在对角线 AC上, 且AE=CF,试说明四边形 DEBF是平行四边形.分析：由于已知条件与对角线有关，故考虑运用两条对角线互相平分的四边形是平行四边形”进行判别.为此，需连接BD.解：连接BD交AC于点O.因为四边形ABCD是平行四边形，所以 AO=CO,BO=DO.又 AE=CF,所以 AO-AE=CO-CF,即 EO=FO.所以四边形DEBF是平行四边形.二、 运用两组对边分别相等的四边形是平行四边形”判别例2如
2、图2,是由九根完全一样的小木棒搭成的图形，请你指出图中所有的平行四边形，并说明理由.分析:设每根木棒的长为1个单位长度，则图中各四边形的 边长便可求得，故应考虑运用 两组对边分别相等的四边形是平 行四边形进行判别.解：设每根木棒的长为1个单位长度，则AF = BC=1,AB=FC=1,所以四边形ABCF是平行四边形.同样可知四边形 FCDE、四边形ACDF都是平行四四边形.因为AE=DB=2,AB=DE=1,所以四边形ABDE也是平行四边 形.三、 运用 组对边平行且相等的四边形是平行四边形”判 别例3 如图3, E、F是四边形ABCD的对角线 AC上的两 点，AE=CF,DF = BE,DF
3、 / BE,试说明四边形 ABCD是平行四边 形.分析：题目给出的条件都不能直接判别四边形 ABCD是平 行四边形，但仔细观察可知， 由已知条件可得 ADF CBE, 由此就可得到判别平行四边形所需的组对边平行且相等 ”的条件.解：因为 DF / BE,所以/ AFD=Z CEB.因为 AE = CF,所以 AE+EF=CF+EF,即 AF=CE.又 DF = BE, 所以 ADF CBE,所以 AD=BC, ZDAF=Z BCE, 所以AD / BC所以四边形 ABCD是平行四边形.四、运用两组对边分别平行的四边形是平行四边形”判别例4 如图4,在平行四边形 ABCD中，/ DAB、Z BC
4、D 的平分线分别交 BC、AD边于点E、F,则四边形AECF是平行 四边形吗？为什么？分析：由平行四边形的性质易得AF / EC,又题目中给出的是有关角的条件，借助角的条件可得到平行线，故本题应考 虑运用 两组对边分别平行的四边形是平行四边形”进行判别.解：四边形AECF是平行四边形.理由：因为四边形 ABCD是平行四边形，所以 AD / BC,/ DAB= / BCD,所以 AF / EC.又因为 / 1=1 / DAB , Z2=l / BCD, 22所以Z 1= / 2.因为 AD / BC,所以/ 2= / 3,所以Z 1= / 3,所以 AE/ CF.所以四边形AECF是平行四边形.
5、判定平行四边形的五种方法平行四边形的判定方法有：（1）证两组对边分别平行；（2） 证两组对边分别相等；（3）证一组对边平行且相等；（4）证对角线互相平分；（5）证两组对角分别相等。下面以近几年的中 考题为例说明如何证明四边形是平行四边形。一、两组对边分别平行如图1 ,已知 ABC是等边三角形，D、E分别在边BC、AC上，且CD=CE,连结DE并延长至点 F,使EF=AE, 连结AF、BE和CF(1) 请在图中找出一对全等三角形，并加以证明；(2) 判断四边形ABDF是怎样的四边形，并说明理由。解：(1)选证 BDEA FEC证明： ABC是等边三角形， BC=AC, ZACD=60CD=CE,
6、 .BD=AE, EDC 是等边三角形 DE=EC, Z CDE = / DEC =60 Z BDE = Z FEC=120 X / EF=AE, .BD=FE, A BDEA FEC(2)四边形ABDF是平行四边形理由：由(1)知， ABC、 EDC、 AEF都是等 边三角形/ CDE=Z ABC=Z EFA=60 AB / DF , BD / AF.四边形ABDF是平行四边形。点评：当四边形两组对边分别被第三边所截，易证 截得的同位角相等，内错角相等或同旁内角相等时， 可证四边形的两组对边分别平行，从而四边形是平 行四边形。二、一组对边平行且相等例2 已知：如图2,在正方形 ABCD中，G
7、是CD上一 点，延长BC到E,使CE=CG,连结BG并延长交 DE于F(1) 求证： BCGf DCE;4D(2) 将 DCE绕点D顺时针旋转90。得到 DAE,判 断四边形EBGD是什么特殊四边形？并说明理由。分析：(2)由于ABCD是正方形，所以有 AB/ DC, 又通过旋转 CE=AE已知CE=CG,所以E A=CG,这 样就有BE GD,可证EBGD是平行四边形。解：(1) ABCD是正方形，. .Z BCD=Z DCE=90 又. CG = CE, BCGA DCE(2) DCE绕D顺时针旋转90得到 DAE, CE=AE, CE=CG, CG=AE；.四边形ABCD是正方形 BE
8、/ DG , AB=CD AB-AE CD-CG,即 BE DG四边形DEBG是平行四边形点评：当四边形一组对边平行时，再证这组对边相 等，即可得这个四边形是平行四边形三、两组对边分别相等例3 如图3所示，在 ABC中，分别以 AB、AC、BC 为边在BC的同侧作等边 ABD,等边 ACE,等 边/ BCF。求证：四边形DAEF是平行四边形；分析：利用证三角形全等可得四边形DAEF的两组对边分别相等，从而四边形 DAEF是平行四边形。解： ABD和 FBC都是等边三角形 Z DBF + Z FBA =Z ABC+ Z FBA=60 Z DBF=Z ABC又 BD = BA, BF=BC . A
9、BCA DBF AC=DF =AE 同理 ABCA EFC AB=EF=AD四边形ADFE是平行四边形点评：题设中存在较多线段相等关系时，可证四边 形的两组对边分别相等，从而可证四边形是平行四 边形。四、对角线互相平分例4已知：如图4,平行四边形 ABCD的对角线 AC和 BD 相交于 O , AE BD 于 E, BF AC 于 F , CG BD 于 G, DH AC于H,求证：四边形 EFGH是平行四边形。分析：因为题设条件是从四个顶点向对角线引垂线，这些条件与四边形EFGH的对角线有关，若能证出OE = OG, OF = OH,则问题可获得解决。证明：. AE BD , CG BD,
10、Z AEO= / CGO,. Z AOE= / COG, OA=OC. AOE4 COG OE=OG同理 BOFA DOH OF = OH四边形EFGH是平行四边形点评：当已知条件与四边形两对角线有关时，可证两对 角线互相平分，从而证四边形是平行四边形。五、两组对角相等例5 将两块全等的含 30角的三角尺如图1摆放在一起 四边形ABCD是平行四边形吗？理由 c(1)如图2,将 RtA BCD沿射线 BD方向平移到RtA B1C1D1的位置，四边形 ABC1D1是平行四边形 吗？说出你的结论和理由： 。分析：因为题设与四边形内角有关，故考虑四边形 的两组内角相等解决问题。解：(1)四边形ABCD
11、是平行四边形，理由如下：/ ABC= / ABD + / DBC =30 +90 =120 ,/ ADC= / ADB + Z CDB =90 +30 =120 又 Z A=60C=60 ,. .Z ABC = Z ADC, / A=Z C(2)四边形ABCiDi是平行四边形，理由如下：将RtA BCD沿射线方向平移到 RtA B1C1D1的位置时，有 RtA C1BB1 丝 RtA ADD1Z CiBBi= Z AD1D, Z BCiBi= Z DAD 1-有Z CiBA = Z ABD + Z CiBBi = Z C1D1B1 + Z ADiB= Z AD1C1, Z BCiDi=Z BC
12、1B1+ Z BiCiDi= Z D1AD+ Z DAB= Z D1AB所以四边形ABCiDi是平行四边形点评：（2）也可这样证明：由（1）知ABCD是平行 四边形，AB/ CD,将RtA BCD沿射线BD方向平移到 RtA B1C1D1的位置时，始终有 AB / C1D1,故ABC1D1是平行四边形。判断平行四边形的策略在学习了 平行四边形”这部分内容后，对于平行四边形的 判定问题，可从以下几个方面去考虑：一、考虑对边”关系思路1:证明两组对边分别相等例1 如图1所示，在 ABC中，/ ACB = 90, BC的垂 直平分线 DE交BC于D ,交AB于E, F在DE上，并且 AF = CE.
13、求证：四边形 ACEF是平行四边形.证明：DE是BC的垂直平分线,DF BC, DB = DC.Z FDB = Z ACB = 90 . 1-DF / AC . - - CE AE AB.21 / 2 .又. EF / AC, AF CE AE , ./ 2 / 1 / 3 Z F.A ACEA EFA. AC EF .四边形ACEF是平行四边形 思路2:证明两组对边分别平行例2 已知：如图 2,在 ABC中，AB = AC, E是AB的 中点，D在BC上，延长 ED至ij F,使ED = DF = EB.连结FC.求证：四边形AEFC是平行四边形.证明：. AB = AC, . B = Z
14、ACB. ED = EB, . B = / EDB.Z ACB = / EDB.EF / AC.E 是 AB 的中点，BD = CD. Z EDB =Z FDC , ED = DF ,. EDBA FDC. / DEB = Z F. AB/ CF.四边形AEFC是平行四边形.思路3:证明一组对边平行且相等例3 如图3,已知平行四边形 ABCD中，E、F 分别是AB、CD上的点，AE = CF , M、N分别是 DE、BF的中点.求证：四边形 ENFM是平行四边形.证明：.四边形 ABCD是平行四边形, AD = BC, Z A = / C .又. AE = CF, . ADEA CBF.1 = / 2, DE = BF .M、N分别是DE、BF的中点，EM = FN . DC / AB, .3 = / 2.AZ 1 = Z 3. EM / FN .四边形ENFM是平行四边形.二、考虑对角关系思路：证明两组对角分别相等例4 如图4,在正方形 ABCD中，点E、F分别是AD、BC的中点.求证：（1） ABEA CDF ;（2）四边形BFDE是平行四边形.证明：（1）在正方形 ABCD 中，AB = CD ,
