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1、皖西学院本科毕业论文（设计） 皖西学院本科毕业论文（设计） 学号 2008012443 姓名 李 坤 学院 应用数学学院 专业班级 数学与应用数学0802班指导教师 邵 毅 完成时间 2012.05 目 录一摘要 （3）二英文摘要 （3）三引言 （3）四定积分基本定义 （4） 五定积分的性质 （4）六微积分的基本公式 （5）七定积分的基本计算方法 （5）八定积分的简化计算方法 （10）九定积分上的近似计算 （16）十小结 （21） 十一参考文献（21）十二致谢（22）定积分计算方法初探 作 者李坤指导教师邵毅摘 要：定积分是积分学中的一个基本问题，其计算方法是很多的，除了用一些基础的定积分定义
2、、性质、分部积分法等方法外，定积分计算有着特殊的方法和技巧。本论文通过经典例题分析探讨定积分计算方法，并在系统总结中简化、近似计算方法！并注重在解题中用的方法和技巧。 关键词：定积分 计算 方法 技巧 The integral calculation method discussedAbstract: the integral is the integral calculus is a fundamental problem, its calculation method is a lot of, in addition to use some basic definite integral
3、definition, the nature, the division of integral method, etc, the way the integral calculation has the special methods and techniques. This paper, by classic examples definite integral analysis method, and in the system of simplified, summarized the approximate calculation method! And pay attention
4、to problem in using the methods and skills. Key words: the integral ,calculation, method ,skills 引 言：本文首先给出定积分的定义，也是一种计算定积分的方法，一般说来很复杂。本文同时介绍了牛顿莱布尼茨公式、换元积分法、分部积分法、利用相关定理简化计算积分以及近似计算数值积分几种计算定积分的简便方法。定积分基本定义 设函数在上有界，在中任意插入若干个分点 ，把区间分成个小区域 各个小区间长度依次为 在每个小区间上任取一点作函数值与小区间长度的乘积并作出和 （ 1）记，如果不论对怎样分法，也不论在小区间
5、上点怎样取法，只要当时，和总趋于确定的极限，这时我们称这个极限为函数在区间上的定积分（简称积分），记作，即 （2）其中叫做被积函数，叫做被积表达式，叫做积分变量，叫做积分下限，叫做积分上限，叫做积分区间。定积分的性质性质1 性质2 性质3 设，则性质4 如果在区间上，则性质5 如果在区间上，则推论1 如果在区间上，则.推论2 性质6 设及分别是函数在区间上的最大值及最小值，则 性质7（定积分中值定理） 如果函数在闭区间上连续，则在积分区间上至少存在一个点 ，使下式成立： 这个公式叫做积分中值公式微积分的基本公式定理1 如果函数在区间上连续，则积分上限的函数 在可导，并且它的导数是 （3）定理2
6、 如果函数在区间上连续，则函数 （4）就是在上的一个原函数。定理3 如果函数是连续函数在区间上的一个原函数，则 . （5）定积分的基本计算方法1 .利用定义法计算定积分例1 计算 解 因为被积函数在积分区间上连续，而连续函数是可积的，所以积分与区间的分法及点的取法无关。因此，为了便于计算，不妨把区间分成等份，分点为；这样，每个小区间的长度取于是，得和式 当即时，取上式右端的极限。由定积分的定义，即得所要计算的积分为 2. 牛顿莱布尼茨公式定理3 如果函数是连续函数在区间上的一个原函数，则 (6)证明 已知函数是连续函数的一个原函数，又根据定理2知道，积分上限的函数 也是的一个原函数。于是这两个
7、原函数之差在上必定使某个常数，即 . (7)在上式中令，得。又由的定义式（4）及定积分的补充规定第一条当时，可知，因此，以代入（7）式中的，以代入（7）式中的，可得 在上式中令，就得到所要证明的公式（6）.由定积分补充规定的第二条当时，可知，（6）式对的情况同样成立。为了方便起见，以后把记成于是（6）式又可写成 公式（6）叫做牛顿莱布尼茨公式.例2 计算定积分解 由于是的一个原函数，所以按牛顿莱布尼茨公式，有 例3 计算解 由于是的一个原函数，所以 例4 计算解 当时，的一个原函数是通过例3我们应该特别注意：公式（6） 中的函数必须是在该积分区间上的原函数.3.定积分的换元法定理 假设函数在区
8、间上连续，函数满足条件：（1）；（2）在或上具有连续导数，且其值域，则有 （8）公式（8）叫做定积分的换元方法例5 计算 解 设，则，且 当时，；当时，.于是.换元法也可以反过来使用。为使用方便起见，把换元公式中左右对调位置，同时把改记为，而改记为，得这样我们可用来引用新变量，而.例6 计算 解 设，则， ，且 当时，；当时，.于是 = 由此例可见，不定积分的换元法与定积分的换元法的区别在于：不定积分的换元法在求得关于新变量的积分后，必须代会原变量，而定积分的换元法在积分变量由换成的同时，其积分限也由和相应地换成和，在完成关于变量的积分后，直接用的上下限和代入计算定积分的值，而不必代会原变量例
9、7 计算 .解 由于，在上，在上，所以= 注意 如果忽略在上非正，而按计算，将导致错误4定积分的分部积分法依据不定积分的分部积分法 ，可得 简记作 或 这就是定积分的分部积分法.公式表明原函数已经积出的部分可以先用上、下限代入.例8计算 .解 例9 计算解 先用换元法.令，则，且 当时，；当,.于是 例10 求定积分分析 这里被积函数这是含变量的积分，但是积不出来，所以求应使用分部积分法，将变限定积分作分部积分中的.解 评注 对这种类型的题，也可以将所求的积分看成是一个二次积分，通过交换积分次序后求的它们的值.如: 定积分的简化计算方法1.对称区间上的定积分1.1利用对称区间上的奇偶性计算定积分： 若为奇函数，则 若为偶函数，则例11 计算定积分 解 根据积分的对称性可得 例12 设非负连续函数满足计算解 例13计算定积分解 = 评注：本题虽然不是对称区间，但经过换元后化成对称区间，再利用对称区间上奇函数和偶函数的积分性质，化简积分.2.周期函数的定积分此类题一般应先利用周期函数定
