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1、近世代数题解 第一章 基本概念1. 11.4.5.近世代数题解 1. 22.3.近世代数题解 1. 31. 解 1)与3)是代数运算，2)不是代数运算2. 解 这实际上就是M中n个元素可重复的全排列数nn3. 解 例如ABE与ABABAB4.5.近世代数题解 1. 41.2.3.解 1）略 2）例如规定45略近世代数题解 1. 51. 解 1)是自同态映射，但非满射和单射；2)是双射，但不是自同构映射3)是自同态映射，但非满射和单射4)是双射，但非自同构映射2.略3.4.5.1. 61.2. 解 1)不是因为不满足对称性；2)不是因为不满足传递性；3)是等价关系；4)是等价关系3. 解 3)每
2、个元素是一个类，4)整个实数集作成一个类4.则易知此关系不满足反身性，但是却满足对称性和传递性(若把Q换成实数域的任一子域均可；实际上这个例子只有数0和0符合关系，此外任何二有理数都不符合关系)5.6.证 1）略2）7.8.9.10.11.12.第二章 群2. 1 群的定义和初步性质 一、主要内容 1群和半群的定义和例子特别是一船线性群、n次单位根群和四元数群等例子 2群的初步性质 1)群中左单位元也是右单位元且惟一； 2)群中每个元素的左逆元也是右逆元且惟一： 3)半群G是群方程a x=b与y a=b在G中有解(a ,bG) 4)有限半群作成群两个消去律成立 二、释疑解难有资料指出，群有50
3、多种不同的定义方法但最常用的有以下四种： 1)教材中的定义方法简称为“左左定义法”； 2)把左单位元换成有单位元，把左逆元换成右逆元(其余不动简称为“右右定义法”； 3)不分左右，把单位元和逆元都规定成双边的，此简称为“双边定义法”； 4)半群G再加上方程a x=b与y a=b在G中有解(a ,bG)此简称为“方程定义法”“左左定义法”与“右右定义法”无甚差异，不再多说“双边定义法”缺点是定义中条件不完全独立，而且在验算一个群的实例时必须验证单位元和逆元都是双边的，多了一层手续(虽然这层手续一般是比较容易的)；优点是：不用再去证明左单位元也是右单位元，左逆元也是右逆元；从群定义本身的条件直接体
4、现了左与右的对称性以施行“除法运算”，即“乘法”的逆运算因此，群的方程定义法”直接体现了在群中可以施行“乘法与除法”运算于是简言之，可以施行乘法与除法运算的半群就是群为了开阔视野，再给出以下群的另一定义定义 一个半群G如果满足以下条件则称为一个群：对G中任意元素a，在G中都存在元素，对G中任意元素b都有(ab)=(ba)=b这个定义与前面4种定义的等价性留给读者作为练习2在群的“方程定义法”中，要求方程a x=b与y a=b都有解缺一不可即其中一个方程有解并不能保证另一个方程也有解4关于结合律 若代数运算不是普通的运算(例如，数的普通加法与乘法，多项式的普通加法与乘法以及矩阵、变换和线性变换的
5、普通加法或乘法)，则在一般情况下，验算结合律是否成立比较麻烦因此在代数系统有限的情况下，有不少根据乘法表来研究检验结合律是否成立的方法但无论哪种方法，一般都不是太简单 5关于消去律 根据教材推论2，对有限半群是否作成群只用看消去律是否成立而消去律是否成立，从乘法表很容易看出，因为只要乘法表中每行和每列中的元素互异即可6在群定义中是否可要求有“左”单位元而每个元素有“右”逆元呢？答 不可以，例如上面例2就可以说明这个问题，因为e1是左单位元，而e1与e2都有右逆元且均为e1但G并不是群 7群与对称的关系 1)世界万物，形态各异但其中有无数大量事物部具有这样或那样的对称性而在这些具有对称性的万事万
6、物中，左右对称又是最为常见的 由群的定义本身可知，从代数运算到结合律，特别是左、右单位元和左、右逆元，均体现出左右对称的本质属性 2)几何对称设有某一几何图形，如果我们已经找到了它的全部对称变换(即平常的反射、旋转、反演和平移变换的统称)，则此对称变换的全体关于变换的乘法作成一个群，称为该图形的完全对称群这个图形的对称性和它的完全对称群是密切相关的凡对称图形(即经过对称变换保持不变的图形、亦即完成这种变换前后的图形重合)，总存在若干个非恒等对称变换和恒等变换一起构成该图形的完全对称群反之，如果一个图形存在着非平凡的对称变换，则该图形就是对称图形不是对称的图形，就不能有非恒等的对称变换显然，一个
7、图形的对称程度越高，则该图形的对称变换就越多也就是说它的完全对称群的阶数就越高，即图形对称程度的高低与其对称群的阶数密切相关因此；这就启发人们用群去刽面对称图形及其性质，用群的理论去研究对称所以人们就把群论说成是研究对称的数学理论显然，每个n元多项式都有一个确定的n次置换群：例如n元多项式例6 任何n元对称多项式的置换群都是n次对称群 很显然，一个多元多项式的置换群的阶数越高，这个多元多项式的对称性越强反之亦然因此，我们通常所熟知的多元对称多项式是对称性最强的多项式 三、习题21解答1.略2.3.4.5.6.2. 2 群中元素的阶一、主要内容 1群中元素的阶的定义及例子周期群、无扭群与混合群的
8、定义及例子特别，有限群必为周期群，但反之不成立2在群中若n，则 4若G是交换群，又G中元素有最大阶m，则G中每个元素的阶都是m的因子 二、释疑解难在群中，由元素a与b的阶一般决定不了乘积ab的阶，这由教材中所举的各种例子已经说明了这一点对此应十分注意但是，在一定条件下可以由阶与决定阶，这就是教材中朗定理4： 4一个群中是否有最大阶元?有限群中元素的阶均有限，当然有最大阶元无限群中若元素的阶有无限的(如正有理数乘群或整数加群)，则当然无最大阶元，若无限群中所有元素的阶均有限(即无限周期群)，则可能无最大阶元，如教材中的例4：下面再举两个(一个可换，另一个不可换)无限群有最大阶元的例子5利用元素的
9、阶对群进行分类，是研究群的重要方法之一例如，利用元素的阶我们可以把群分成三类，即周期群、无扭群与混合群而在周期群中又可分出p群p是素数)，从而有2群、3群、5群等等再由教材3. 9知，每个有限交换群(一种特殊的周期群)都可惟一地分解为素幂阶循环p群的直积，从而也可见研究p群的重要意义三、习题22解答1.2.3.4.5.推回去即得6.2. 3 子 群一、主要内容1子群的定义和例子特别是，特殊线性群(行列式等于l的方阵)是一般线性群(行列式不等于零的方阵)的子群4群的中心元和中心的定义二、释疑解难关于真子群的定义教材把非平凡的子群叫做真子群也有的书把非G的于群叫做群G的真子群不同的定义在讨论子群时
10、各有利弊好在差异不大，看参考书时应予留意 2如果H与G是两个群，且HG，那么能不能说H就是G的子群?答：不能因为子群必须是对原群的代数运算作成的群例如，设G是有理数加群，而H是正有理数乘群，二者都是群，且HG但是不能说H是G的子群答：不能这样认为举例如下例2 设G是四元数群则显然是G的两个子群且易知反之亦然 三、习题23解答1证 赂2证 必要性显然，下证充分性 设子集H对群G的乘法封闭，则对H中任意元素a和任意正整数m都有amH 由于H中每个元素的阶都有限，设n，则3对非交换群一放不成立例如，有理数域Q上全体2阶可逆方阵作成的乘群中，易知 ， 的阶有限，都是2，但易知其乘积的阶却无限即其全体有
11、限阶元素对乘法不封闭，故不能作成子群4证 由高等代数知，与所有n阶可逆方阵可换的方阵为全体纯量方阵，由此即得证5证 因为(m，n)1，故存在整数s，t使 ms十n t1由此可得672. 4 循 环 群一、主要内容1生成系和循环群的定义2循环群中元素的表示方法和生成元的状况3循环群在同构意义下只有两类：整数加群和n次单位根乘群，其中n1，2，3，4循环群的子群的状况无限循环群有无限多个子群n阶循环群有T(n)(n的正出数个数)个子群，且对n的每个正因数k，有且仅有一个k阶子群二、释疑解难 1我们说循环群是一类完全弄清楚了的群，主要是指以下三个方面： 1)循环群的元素表示形式和运算方法完全确定其生
12、成元的状况也完全清楚(无限循环群有两个生成元，n阶循环群有个生成元而且ak是生成元(kn)1)； 2)循环群的子群的状况完全清楚； 3)在同构意义下循环群只有两类：一类是无限循环群，都与整数加群同构；另一类是n(n1，2，)阶循环群，都与n次单位根乘群同构2循环群不仅是一类完全弄清楚了的群，而且是一类比较简单又与其他一些群类有广泛联系的群类例如由下一章9可知，有限交换群可分解为一些素幂阶循环群的直积更一般地，任何一个具有有限生成系的交换群都可分解成循环群的直积由于循环群已完全在我们掌握之中，所以这种群(具有有限生成系的交换群)也是一类研究清楚了的群类它在各种应用中有着非常重要的作用例如在组合拓
13、扑学中它就是一个主要的工具三、习题2. 4解答1.2.3.4.5.6.7.2. 5 变 换 群一、主要内容 1变换群、双射变换群(特别是集合M上的对称群和n次对称群)和非双射变换群的定义及例子2变换群是双射变换群的充要条件；双射变换群与抽象群的关系1)集合M上的变换群G是双射变换群G含有M的单或满)射变换； 2)任何一个群都同一个(双射)变换群同构3有限集及无限集上非双射变换群的例子(例2和例3)二、释疑解难 1一般近世代数书中所说的“变换群”，都是由双射变换(关于变换乘法)所作成的群，即本教材所说的“双射变换群”而本教材所说的“变换群”则是由一个集合上的一些变换(不一定是双射变换)作成的群通过教材5定理2和推论1可知，实际上变换群可分成两类：一类是双射变换群(全由双射变换作成的群，即通常近世代数书中所说的“变换群”)，另一类是非双射变换群(全由非双射变换作成的群)在学习本书时应留意这种差异2本节教材定理2(若集合M上的变换群G含有M的单射或满射变换则G必为M上的一个双射变换群，即G中的变换必全是双射变换)比有些书上相应的定理(若集合M上由变换作成的群G含有M的恒等变换，则G中的变换必全为双射变换)
