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1、高考数学最新资料第1讲导数的概念及其运算基础巩固1.下列求导运算正确的是()A.=1+B.(log2x)=C.(3x)=3xlog3eD.(x2cos x)=-2xsin x答案:B解析:由于=1-,(3x)=3xln 3,(x2cos x)=2xcos x-x2sin x,从而可知仅B项正确.2.函数f(x)=(x+2a)(x-a)2的导数为()A.2(x2-a2)B.2(x2+a2)C.3(x2-a2)D.3(x2+a2)答案:C解析:f(x)=(x-a)2+(x+2a)(2x-2a)=3(x2-a2).3.若函数f(x)=在点(x0,f(x0)处的切线平行于x轴,则f(x0)等于()A.
2、-B.C.D.e2答案:B解析:与x轴平行的切线的斜率为0,f(x0)=0,从而可得x0=e.故f(x0)=.4.已知直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b切于点(1,3),则b的值为()A.3B.-3C.5D.-5答案:A解析:对y=x3+ax+b求导,得y=3x2+a,k=y|x=1=3+a.又点(1,3)为切点,解得b=3.5.已知二次函数f(x)的图象如图甲所示,则其导函数f(x)的图象大致形状是()图甲答案:B解析:设二次函数为y=ax2+b(a0),则y=2ax,又a0,所以由基本不等式可得k=-1.又k0,所以-1k0,即-1tan 0.所以0),来源:又f(x)在x=2处的切
3、线方程为y=x+b,所以解得a=2,b=-2ln 2.14.已知函数f(x)=x3-3x及y=f(x)上一点P(1,-2),过点P作直线l,根据以下条件求l的方程:(1)直线l和y=f(x)相切且以P为切点;(2)直线l和y=f(x)相切且切点异于点P.解:(1)由f(x)=x3-3x,得f(x)=3x2-3,过点P且以P(1,-2)为切点的直线的斜率f(1)=0,故所求的直线方程为y=-2.(2)设过P(1,-2)的直线l与y=f(x)切于另一点(x0,y0),则f(x0)=3-3.又因为直线过(x0,y0),P(1,-2),故其斜率可表示为,所以=3-3,即-3x0+2=3(-1)(x0-
4、1).解得x0=1(舍去)或x0=-.故所求直线的斜率为k=3=-.来源:所以l的方程为y-(-2)=-(x-1),即9x+4y-1=0.拓展延伸15.已知函数f(x)=ax3+3x2-6ax-11,g(x)=3x2+6x+12和直线m:y=kx+9,又f(-1)=0.(1)求a的值;(2)是否存在k的值,使直线m既是曲线y=f(x)的切线,又是曲线y=g(x)的切线?如果存在,求出k的值;如果不存在,请说明理由.解:(1)f(x)=3ax2+6x-6a,f(-1)=0,即3a-6-6a=0,a=-2.(2)由于直线m恒过定点(0,9),当直线m是曲线y=g(x)的切线时,设切点坐标为(x0,
5、3+6x0+12),g(x0)=6x0+6,切线方程为y-(3+6x0+12)=(6x0+6)(x-x0).将点(0,9)代入,得x0=1,当x0=-1时,切线方程为y=9;当x0=1时,切线方程为y=12x+9.由f(x)=0,得-6x2+6x+12=0,即有x=-1或x=2,当x=-1时,曲线y=f(x)的切线方程为y=-18;当x=2时,曲线y=f(x)的切线方程为y=9.因此公切线方程是y=9.又由f(x)=12,得-6x2+6x+12=12,x=0或x=1.当x=0时,曲线y=f(x)的切线方程为y=12x-11;当x=1时,曲线y=f(x)的切线方程为y=12x-10,但公切线方程不是y=12x+9.综上所述,存在k值能使直线m为曲线y=f(x)及y=g(x)的切线,此时k=0,切线方程为y=9.
