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1、一次不定方程的整数解讲稿序言什么是不定方程我们知道在方程（方程组）里，如果未知数的个数多于方程的个数，那么，一般来说，它的解往往是不确定的。例如 2xy10，则：y2x1.分别令x1，2，3，4，5，就可以求出对应的n值.我们可以列表说明：x12345678y13579111315它的解有无穷多组：，.也就是说：2xy10的所有的解（称为通解）为：y2x1.注意：上面只列出了它的正整数解.如果用k代替x，用n代替y，并且k和n只代表正整数，得到的答案是：2kn10的所有的解（称为通解）为：n2k1. n1，3，5，7，9，.这个结论表明：如果k取一切正整数1，2，3，那么n表示所有的奇数（1，
2、3，5，7，9）. 请记住这个结论：n2k1表示所有的奇数.又如 x2y300的解是：x2y300，每给出一个y的值，就有一个x的值与之对应.例如y0，1，2，3，4，5，就可以求出对应的x值，我们可以列表说明：x300302304306200100y012350100它的解有无穷多个.又如 方程组，(2)(1) 消去一个未知数y之后，就变形为一个二元一次方程：2yz80所以它的解也是不确定的像这类方程或方程组就叫不定方程或不定方程组例1 有一堆鹅卵石，不知总个数.但知道：每次取3个，最后余2个；每次取5个，最后也是余2个；每次取7个，最后还是余2个；问这堆鹅卵石共多少个? 余 余余分析与解：
3、实际上这个问题转化为数学问题就是：有一个正整数，无论被3除，被5除或者被7除，都余2；求这个数.如果列方程组就是：求个正整数M：我们不妨这样来解：因为这个整数不论被3除，被5除或者被7除，总是余2；我们先求出它的一个特解：357105可以被3、5、7整除，3572被3、5、7除余数都是2，1052107就是这个问题的一个特解；357 n也可以被3、5、7整除，这个问题的特解107加上105n之后，被3、5、7除，余数也是2；其通解是107105n.例2 现在把上一个问题改为：每次取3个，最后余2个；每次取5个，最后余3个；每次取7个，最后余2个；问这堆鹅卵石共多少个? 余 余余分析与解：我们不
4、妨凑凑看，因为这个数被3和7余数都是2，这个数可能是3和7的最小公倍数21的k倍2，即21k2：k21的1倍2 21的2倍2 21的3倍2 21的4倍221223422446326584286 23，44，65，86，107，中哪一个能被5除余3，就是它的特解.太巧了，第一个23被5除余3，就是它的一个特解，根据上例的分析，其通解是357n23105n23.【说明】先求出它的一个特解是问题的关键这就是孙子算经中的“物不知数”问题原题是：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？答曰：二十三” 意思就是，有一些物品，如果三个、三个的数，最后剩2个；如果五个、五个的数，
5、最后剩3个；如果七个、七个的数，最后剩2个；求这些物品一共有多少？注：孙子算经是南北朝时一部重要的数学著作。为我国古代算经十书之一，孙子算经的作者生平和编写年代都不清楚.现在传本的孙子算经共三卷.如果把这个问题列成方程组就是：设这个数为N，即N等于3的倍数加2，等于5的倍数加3，等于7的倍数加2，求N.则这是一个含4个未知数的3个方程，开始时我们已经说过这是不定方程组。要解决这一类问题，还要从二元一次不定方程学起下面我们就要研究这一类问题的一般解法。一、求整系数二元一次不定方程的整数解之1一般解法求一个不定方程的整数解问题，如果都这样去凑数，就太麻烦了，下面介绍“求整系数的一次方程组的整数解”
6、的一般方法.【定义】我们把方程axbyc（系数a，b，c为整数，并且a，b都不为零）叫做二元一次不定方程.（如果a，b之中有一个为零，就不是不定方程了）对于两个整数a，b，我们约定用记号(a，b)d表示a和b的最大公约数，(a，b)1表示a，b互质我们先研究整系数方程axbyc中，x、y的系数a，b互质的情况.即(a，b)1，或者说：整数a，b除1之外没有公约数例1求整系数方程5x21y17的整数解这里x，y的系数5和21互质，即5和21的最大公约数（5，21）1.分析 求不定方程的整数解的关键是：找到一个参数t（整数），使得未知数x，y（整数）都能够用已知数和参数t表示出来.解法1 其中x的
7、系数比y的系数小，先解出x，x34y (1)两边都是整数，是整数 设t，（t为整数）得 y25t (2)代回(1)得：x34(25t)t521 t得到方程组的通解是 （t0，1，2，3，）解法2其中x的系数比y的系数小，先解出x，x34y (1) 设t，（t为整数）得 y25t (2)代回(1)得：x34(25t )t521 t得到方程组的通解是（t0，1，2，3，）从上面的两种解法可以看出，虽然方程组的通解的形式不同，但结果是一样的.这种解法叫做“辗转相除法”我们再研究整系数方程axbyc中，x、y的系数a，b有公约数的情况.例2 求整系数方程9x+6y=30 的整数解.这里，x、y的系数9
8、和6有公约数3解法1 x，y系数的最大公约数(x，y)3，30也是3的倍数，方程9x+6y=30(1)两边同时除以3，得3x+2y=10 (2)(1)和(2)是等价（同解）的，即(1)和(2)是同一个方程的不同形式其中y的系数比的x系数小，先解出y y5，两边都是整数，是整数令x2t，代入(2)得：6x+2y=10，则y=53t.由此，得到方程组的通解是 （t是整数）【注】这种形式的方程组，在高中三年级学解析几何的时候称为“参数方程”每给出t的一个值，就得到一组解小结1：从上面两个例子看到，如果二元一次不定方程 axbyc（其中a、b是非零整数，c是整数）中（1）如果(a，b)1，方程有整数解
9、（如例1）； （2）如果(a，b)d，a，b的最大公约数d能整除c，方程有整数解（如例2）.例3求不定方程6x9y16的整数解.解：这里x，y的系数6和9的最大公约数（6，9）3不能整除常数项16.方程的两边同除以3，得2x3y.由于x和y都是整数，因此方程的左边（2x3y）也是整数，然而方程的右边是分数，矛盾！故本题无整数解.小结2：对于二元一次不定方程 axbyc，如果a和b不互质，又它们的最大公约数不能整除c，方程无整数解.可以用反证法证明：a和b不互质，又(a，b)d不能整除c.假定axbyc有整数解，则两边都是整数用(a，b) d除以方程两边，得：xy左边为整数，而右边不是整数，矛盾
10、由上述两个小结，归纳起来得到：定理1如果二元一次不定方程 axbyc（其中a、b是非零整数，c是整数）中：（1）如果a和b互质，方程有整数解；（2）如果a和b不互质，但它们的最大公约数能整除c，方程有整数解；（3）如果a和b不互质，又它们的最大公约数不能整除c，方程无整数解. 例如方程3x5y1，5x2y7，9x3y6都有整数解；方程9x3y10和 4x2y1都没有整数解.这是因为在里，（9，3）3，而3不能整除10；在里，（4，2）2，而2不能整除1.【注意】一般我们在正整数集合里研究公约数，（a，b）中的a，b为它们的绝对值.例3 求整系数方程4x5y21的整数解解 4x5y21 4x21
11、5y用x，y之中较小的系数4去除各项得：x把其中的整数分离出来，得x5y (1)因为x和5y都是整数，所以必为整数，设t（t为整数），则y14t，(2)由(1)、(2)：x5(14k)k45 k所以4x5y21的通解是(t为整数)在这个通解里，令k0，得是方程的一组特解二、求二元一次不定方程的整数解之2由特解求通解观察例3，方程4x5y21的通解是 .其中，x04，y01是它的一组特解，可以猜想到：定理2 如果a，b是互质的正整数，c是整数，且方程axbyc 有一组整数解x0，y0则此方程的一切整数解可以表示为（t为一切整数，即t0，1，2，3，）证明 （供教师参考）第一步：先证明xx0bt，
12、yy0at是方程的解由已知条件，x0，y0是方程的整数解，所以a x0b y0c 那么a(x0bt)b(y0at)ax0abtby0abtax0by0abtabtax0by0c这表明xx0bt，yy0at也是方程的解第二步：再证明xx0bt，yy0at是方程的一切整数解设x，y是方程的任一整数解，则有axbyc 得a(xx0) b (yy0) (a，b) 1，即a，b互质，ayy0，即yy0可以被a整除则yy0at，其中t是整数将yy0at代入，即得xx0bt因此x，y可以表示成xx0bt，yy0at的形式，所以xx0bt，yy0at表示方程的一切整数解，命题得证有了上述定理，求解二元一次不定
13、方程的关键是求它的一组特殊解.例1 求整系数方程3x2y0的整数解解 显然，x00，y00是它的一组特殊解，由定理2知，它的通解是，t0，1，2，3，另解：此题如用辗转相除法来解，2y3x，yx，令t，得x2t，y3t它的通解是，t0，1，2，3，例2 求整系数方程3x2y7的整数解解 因为(3，2)1，由观察可知x01，y02是它的一组特殊解，由定理2知，它的通解是，t0，1，2，3，例3 求 3x+6y=15 的整数解.注意：系数a，b有公约数3，解法1 两边同时除以3，原方程变为：x+2y=5直接观察可知 x0=1，y0=2 是x+2y=5的一组解，由定理2知所求方程的解是，t是任意整数 (1)解法2 两边同时除以3，原方程变为：x+2y=5x=52y yy，令yt，则，t是任意整数 (2)两种解法得到的解(1)和(2)表面上不同，实际情况如何呢？我们列出表来就可以看出它们是等价的：(1)的解是t21012xy(2)的解是t1012
