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1、第一章 三角形的证明回顾与思考 甘肃省酒泉市第二中学 杨文杰一、学生知识状况分析学生已经了解等腰三角形性质探索经验的基础上，继续深入学习证明的方法和格式的；多数学生已经了解证明的必要性，具备了证明命题是否成立的探索经验的基础.同时已经具备了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力.二、教学任务分析教科书要求教学活动中应注重让学生体会到证明是原有探索活动的自然延续和必要发展，引导学生从问题出发，根据观察、试验的结果，发现证明的思路.本节课的教学目标是：1知识目标：在回顾与思考中建立本章的知识框架图，复习有关定理的探索与证明，证明的思路和方法，尺规作图等.2能力目标：进一步体会证明的必要
2、性，发展学生的初步的演绎推理能力；进一步掌握综合法的证明方法，结合实例体会反证法的含义；提高学生用规范的数学语言表达论证过程的能力.3情感价值观要求通过积极参与数学学习活动，对数学的证明产生好奇心和求知欲，培养学生合作交流的能力，以及独立思考的良好学习习惯. 重点与难点1）.等腰三角形、等边三角形的性质和判定； 2）.线段垂直平分线的做法，角平分线的做法； 3）.利用直角三角形、线段垂直平分线、角平分线的性质灵活解题 （本节课以第2、3两点为主）三、教学过程（一）出示复习目标：等腰三角形、等边三角形的性质和判定；线段垂直平分线的做法，角平分线的做法；利用直角三角形、线段垂直平分线、角平分线的性
3、质灵活解题。（二）内容框图展示：等腰三角形三角形的证明直角三角形线段的垂直平分线 角平分线 （三）知识归纳一：1等腰三角形的性质性质(1)：等腰三角形的两个底角 .性质(2)：等腰三角形顶角的 、底边上的 、底边上的高互相重合2等腰三角形的判定(1)定义：有两条边 的三角形是等腰三角形(2)等角对等边：有两个角 的三角形是等腰三角形3用反证法证明的一般步骤(1)假设命题的结论不成立；(2)从这个假设出发，应用正确的推论方法，得出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果；(3)由矛盾的结果判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确4等边三角形的判定(1)有一个角等于60的 三角形是等边三角形；(
4、2)三边相等的三角形叫做等边三角形；(3)三个角相等的三角形是等边三角形；(4)有两个角等于60的三角形是等边三角形5直角三角形的性质在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的 .6勾股定理及其逆定理勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的 . 逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是 三角形（四）板块练兵：比比看谁反应快1、已知等腰三角形的一个内角为40，则这个等腰三角形的顶角为 ()A100 B40 C100或 40 D602、等腰三角形的两条边长分别为5 cm和6 cm， 则它的周长是_3、边长为6 cm的等边三角形中，其一边上高的
5、长度为_4、下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长，不能构成直角三角形的是()A3，4，5 B6，8， 10C. 2，3, 4 D5，12，13（五）知识归纳二：7线段的垂直平分线的性质定理及判定定理性质定理：线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离 .判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的 上点拨 线段的垂直平分线可以看作和线段两个端点距离相等的所有点的集合8三线共点：三角形三条边的垂直平分线相交于 ，并且这一点到三角形三个顶点的距离 .9角平分线的性质定理及判定定理性质定理：角平分线上的点到这个角两边的距离 .判定定理：在一个角的内部，且到角的两边 相等的点，
6、在这个角的平分线上线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等.MNAB, CA=CB(已知)PA=PB（线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等）10. 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. AB=AC(已知)点A在线段BC的垂直平分线上（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）11. 尺规作图用尺规作线段的垂直平分线. 已知:线段AB,如图. 求作:线段AB的垂直平分线.作法:1）.分别以点A和B为圆心,以大于AB/2长为半径作弧,两弧交于点C和D.2）.作直线CD.则直线CD就是线段AB的垂直平分线.角平分线上的点到这个角的
7、两边的距离相等 OP平分AOBPDOA,PEOB,PD=PE （角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）12. 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.PDOA,PEOB,PD=PE. OP平分AOB (在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.)13.角是轴对称图形，对称轴是角平分线所在的直线用尺规作角的平分线的方法作法： 以为圆心，适当长为半径作弧，交于，交于分别以，为圆心大于1/2的长为半径作弧两弧在AOB的内部交于作射线OC则射线即为所求注意 角的平分线是在角的内部的一条射线，所以它的逆定理必须加上“在角的内部”这个条件10三角形三条角平分线的性质三角
8、形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离 .（1） 如图，AD平分BAC（已知） = ，( ) （2） 如图， DCAC，DBAB （已知） = ，（六）巩固提高1如图12，点D在BC上，DEAB，DFAC，且DEDF，则线段AD是ABC()A垂直平分线 B角平分线 C高 D中线2、 如图，在ABC中，C90，BAC的平分线交BC于点D，若CD4，则点D到AB的距离是_3、若点P是ABC内一点，PDAB于D，PEBC于E，PFAC于F，且PDPEPF，则点P是ABC的()A三条高的交点B三条中线的交点C三条角平分线的交点D三条中垂线的交点4在平面内，到A，B，C三点距离相等的点有(
9、)A只有一个 B有两个C有三个或三个以上 D有一个或没有5、如图S11，在ABC中，DE垂直平分AC交AB于E，A30，ACB80，则BCE_.6、如图，在RtABC中，有ABC=90，DE是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E，BAE=20，则C=_7如图S111，在RtABC中，C90，B15，DE是AB的中垂线，垂足为D，交BC于点E，若BE4，则AC_.8.如图，在ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D,交AB于点E.（1）求证：ABD是等腰三角形；（2）若A=40，求DBC的度数；（3）若AE=6，CBD的周长为20，求ABC的周长9. 已知ABC中, C=9
10、00,AD平分 CAB,且AB=8,AC=BC,DEAB,求BDE的周长？10小明家有一块ABC的土地，如图S112所示，其三边长AB70米，BC90米，AC50米，现要把ABC分成面积比为579的三部分，分别种植不同的农作物，请你设计一种方案解：如图S113所示，分别作ACB和ABC的平分线，相交于点D，连接AD，则SADCSADBSBDC579.9.某私营企业要修建一个加油站，如图，其设计要求是，加油站到两村A、B的距离必须相等，且到两条公路m、n的距离也必须相等，那么加油站应修在什么位置，在图上标出它的位置（写出必要的作图依据，保留作图痕迹）结束寄语数学是在混沌中发现有序。证明的规范性在于：条理清晰，因果相应,言必有据.这是初学证明者谨记和遵循的原则.四、布置作业课内： A组题中的第3、4、5、6、7、8题；课外：A组题中的9题，B组题第1、2、3题.五、教学反思本节容量较大，教师上课时对知识首先要注意给学生一个系统性的梳理，然后再侧重于解题方法尤其是证明中的综合法以及反证法的讲解上，思路上可以更灵活一些，要让学生的积极性调动起来，做到以学生为本。
