非线性科学的哲学问题

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1、非线性科学的哲学问题 http:/.en/s/blog_8445aba10100vlee.html中国科学院院士、物理学家郝柏林教授认为，近二、三十年来数理科学基础研究的一个重要 发展特征是“非字当头（14）。其中讲到非线性问题，这是各门自然科学中出现的 非线性问题的总称。非线性科学是研究非线性问题的共性的一门新的交叉学科。它已经揭示 出大量新的现象、事实和规律，向哲学提出许多新问题。对这些问题的研究将使哲学得到丰 富和发展。一、什么是非线性科学“线性”与“非线性”是一对数学名词。“线性”是指两个变量之间具有正比例的关系，它 在笛卡尔坐标平面上表示为一条直线，线性由此得名。“非线性”是指两个变

2、量之间没有象 正比例那样的“直线”关系。实际问题的解决需要建立数学模型，然后进行求解。数学模型一般表现为方程，而方程又有 线性与非线性之别。描述复杂事物运动变化规律的数学方程都是非线性的，所以，科学家们 把复杂现象叫做非线性现象，把研究复杂现象的科学叫做非线性科学。客观事物是复杂的，但是，以前人们受到认识能力和认识手段的限制，总是把复杂事物加以 简化，略去一些次要因素，或是把复杂系统分解为一些简单系统，以求得对问题的近似解决。 科学家这种处理方法叫做线性化，即把非线性问题化为线性问题。线性化方法虽然在以前的科学研究中取得了巨大成绩，推动了科学的发展，但是，当社会和 科学的进一步发展，要求更全面

3、、准确地反映客观事物的时候，就暴露出它的局限性。伽利 略在研究单摆运动中，用自己的脉搏测量教堂挂灯摆动的时间，发现摆动的周期几乎与摆幅 大小无关。从理论上讲，就是使摆回复到静止位置的力与摆的偏角成正比，即一种线性关系。 但是，当提高测量时间的精确度后，却发现摆幅越大，摆动的周期越长，这就无法用线性方 程来说明了。实际上，回复力与偏角之间已经是一种非正比（非线性）关系了。18世纪的 英国经济学家马尔萨斯（17661834）于1798年发表人旦论，他在影响人口增长的诸 多因素（如增长率、食物供应量、自然灾害等）中只考虑人口的增长率，而舍弃其他因素， 得到人口增长的线性数学模型，由此得出结论：人口是

4、按几何级数增长的，而粮食是按算术 级数增长的，也就是说，人口的增长快于生活资料的增长。所以他主张采取各种措施控制人 口的繁殖。现在看来，马尔萨斯的结论过于简单，因为他忽略的因素太多了，不能准确地反 映人口变化的正常规律。如果我们考虑一个地区或国家人口赖以生存的生活资料的有限性， 那么人口增长的数学模型就变成非线性方程。这就是非线性科学中著名的逻辑斯蒂方程。 单摆和人口增长的例子说明，如果我们要更准确地认识客观事物的变化规律，就必须考虑更 多的因素；而考虑的因素越多，数学模型也就越复杂，用科学语言讲就是非线性问题。人们 用这一观点重新审视客观事物的运动变化，发现非线性现象比比皆是，所以有的科学家

5、认为， “世界在本质上是非线性的”（17）。各门科学中都存在着各自的非线性问题，研究这些非线性问题的共性，就形成一门新兴的交 叉学科一一非线性科学。经过将近半个世纪的研究，人们已经认识到非线性现象的三大普适 类：混沌（chaos）、分形（fractal）和孤立子（soliton）（17）。对这些普适类的 研究已经构成非线性科学的三大理论前沿。非线性科学具有重要的意义。它标志着人类对自然界的认识已经由线性现象进入非线性现 象，必然对今后的科学发展产生重大影响。物理学家认为，混沌学的创立是物理学的第三次 革命。郝柏林教授说：“混沌研究的进展，无疑是非线性科学最重要的成就之一。这是 相对论和量子力学

6、问世以来，对人类整个知识体系的又一次巨大冲击。这也许是20世纪后 半叶数理科学所做的意义最为深远的贡献。”（1），校者前言）分形几何是自牛顿建立 微积分以来数学中的又一次革命。（12）, “译者的话”）有的物理学家认为，孤立子理 论的发展预示着物理与数学的统一。1984年美国数学科学基金来源特别委员会给美国国家 研究委员会的题为“美国数学的现在与未来”的报告中说：“目前正在发生一件振奋人心的 大事，这就是数学与理论物理的重新统一”；“我们正在进入一个新的时代，在这个时代中 数学和物理之间的界限实际上已经消失了”。（引自11）,第33页）二、非线性科学揭示出新的事实、特点和规律非线性科学的创立是

7、人们对客观事物认识的深化，它使我们的认识大大前进一步。事实上， 非线性科学已经揭示出许多有别于线性问题的新的事实、特点和规律。例如：1、确定性方程存在内在随机性一一混沌动力学是研究系统状态随时间变化的规律。这种规律可以用微分（或差分）方程来描述。一 旦建立系统的运动方程，系统后一时刻的状态便决定于前一时刻的状态，它们彼此间的关系 是确定的。这就是说，只要知道系统的运动方程和初始条件，就可以求出系统的运动轨道， 从而也就知道系统在任何时刻的位置（或状态）。1963年，美国气象学家洛伦兹发表确定性的非周期流一文，第一次明确地从确定性方 程得到随机性的结果。洛伦兹的数值天气预报的方程是确定的、非线性

8、的，但通过计算机数 值计算时，发现当初始值出现微小误差时，方程的解却出现非周期振荡（随机性）。随后， 埃农（Henon，1964）、若斯勒（Rossler，1976）等人得到类似结果。这些结果说明，非线 性系统的方程虽然是确定的，但在一定条件下，却可以出现随机性现象。洛伦兹发现的这种随机性不同于一般由外噪声引起的随机性（即外在随机性）。因为这种随 机性既不是由于系统存在着的随机力或受环境外噪声的影响，也不是由于无穷多个自由度的 相互作用而产生的，而是来自系统内部的，所以称为“内在随机性”。混沌学家把确定性系 统内部出现的这种随机性叫做混沌。它表现为对初值的敏感依赖性，或不可预测性，这就像 我们

9、平常所说的“差之毫厘，失之千里”。2、混沌序混沌是确定论系统的内在随机性，就其随机性和不可预测性而言，它是无序的，即不具备周 期性和其他明显对称特征。但是，混沌学又表明，它决不是简单的无序，在理想情况下，混 沌状态具有无穷的内部结构，只要有足够精密的观察手段，就可以在混沌态之间发现周期或 准周期运动，以及在更小的尺度上重复出现的混沌运动。就此而言，它又表现出一种有序态。 更科学一点说，我们现在不仅知道通向混沌的几种道路，即倍周期分岔道路、阵发混沌道路 和准周期运动道路，而且知道系统通过倍周期分岔进入混沌的两个普适性定律，即两个费根 鲍姆常数。同时还知道，混沌区并不是一片混乱，而是呈现出一种有序

10、的结构。例如，在由 倍周期分岔通向混沌中，混沌区存在着从右到左的2n （n=1，2,3）个混沌带（称为 倒分岔）；在混沌带中嵌套着许多不是混沌的周期窗口（即嵌在混沌带中的周期轨道，这些 周期轨道也是自右向左排列的），这种嵌套并不是无序的，而是按照萨可夫斯基定理中的序 列排序的。因此，自然界除了有序和无序外，还存在着过渡性的第三种状态，它酷似无序而实则有序， 郝柏林教授称之为“混沌序”。他说，“自然界中存在着有理序（周期性）、无理序（准周 期性）和混沌序（内在随机性），而混沌序可能比前两者更高级。”（15）3、混沌是自然界的一种普遍运动形式根据混沌学研究结果，耗散系统由于能量的耗散而使轨线在相空

11、间中的相体积不断收缩，或 者使不同初始条件所确定的轨线可能趋向于同一点集，从而形成奇怪吸引子。对于保守系统， 它在相空间中的运动轨线不可能产生奇怪吸引子。那末，它是否会出现随机性而作不规则运 动呢？本世纪五、六十年代，由前苏联数学家柯尔莫果洛夫提出，后经阿诺德1963）和莫 塞（1967）证明的KAM定理使人们认识到，保守系统除了可以作规则运动之外，在一定条件 下，也可能出现随机性而作混沌运动。KAM定理的大意是：在不可积系统的哈密顿函数中，（1）如果扰动很小（此时系统称为近 可积系统），（2）且扰动不含有与原来可积系统的运动发生简单共振的频率成份，那么不 可积系统的运动仍限制在n维环面上。混

12、沌学家从不满足KAM定理的两个条件进行研究，结果发现：当不满足条件（2），且系统 的自由度大于2时，不可积系统将作混沌运动；当不满足条件（1）时，即加大扰动时，轨 道在各KAM环面之间穿越运动，出现阿诺德扩散，这表明最后各KAM环面相接而遭破坏，从 而被这些环面分隔开的不规则运动层将融合在一起，以至最终将充满整个等能面，这就是混 沌运动。这两种情况说明，保守系统，除了可积系统和满足KAM定理条件的近可积系统外， 它的运动将是随机的混沌运动。现在的问题是，在动力学系统中有多少是不可积的呢？德国数学家L.西格尔等人早40年代 就作了回答：不可积系统多得不可胜数，而可积可解的力学系统却寥寥无几。这就

13、是说，动 力学系统作确定的、有规的运动是极其个别的，而绝大多数是作混沌运动的。所以，混沌学 家说：“对于人类生活的现实世界来说，耗散系统的混沌比保守系统的混沌更为普遍， 可以说，如果深入地进行研究，除了理想的情况之外，每一种现实的运动都是混沌运动。” （19）由此可见，混沌是自然界里的普遍现象。4、分形维数的非整数性传统几何学研究的是规整的、光滑的图形，它是对自然形态的近似描述，其维数都是整数维 的。例如，点是零维、线是1维、平面是2维、立体是3维。分形几何是研究自然物体形态 的几何学，它是直接研究未经抽象化和理想化的自然物的形态结构的。这种自然物体形态所 表现出来的几何图形是不规整的、粗糙的

14、、不可微的。分形几何的创立者曼德勃罗特于1975 年拼造“分形” （fractal ）一词表征这类图形的形态特点。分形的一个重要特征是，它的 维数一般是非整数（即分数）的，表示分形的复杂性和填满空间的程度。例如，海岸线的维 数是11.3；路面的维数是2.25；人肺的维数是2.17；这些新事实、新特点是以前从 未遇到过的。5、分形体具有局部与整体的自相似性分形几何还揭示出，分形体具有另一个重要特点一一局部与整体的自相似性。对于有规分形， 这种自相似性表现为无穷嵌套或无穷自相似性，即不断放大微小部分，都可以发现部分（不 管多么小）与整体的自相似性；对于无规分形，自相似性只存在于一定的范围内，或在一

15、定 的标度空间中才呈现出来。这是先前研究整形（相对于分形而言）几何学中从未见到的新情 况、新特点。6、分形图不能用传统数学方法描述，但却能用简单的迭代法生成分形图形从直观上看是不规整的、不光滑的，表现出自然物形态的复杂性，它无法用传统的 数学方法来描述。例如，海岸线是一条分形曲线，它的长度，如果用传统数学方法一一直线 段来逼近曲线时，随着直线段的无限变小（或量尺的不断缩小），海岸线将变成无穷长。这 说明传统数学方法无法描述象海岸线这类分形图。但是，我们却可以用简单的迭代法来生成。 例如，我们可以应用迭代函数系统（IFS ）生成诸如植物、丛林、山川、烟云等复杂的自然 景物。以上只是说明，非线性科

16、学确实揭示出一些以前研究线性问题中从未遇到过的新现象、新事 实和新规律，需要哲学工作者去认真研究和概括，使哲学随着自然科学的发展而发展。三、非线性科学的哲学问题人类对自然界的认识已经由线性现象进入非线性现象，向哲学提出一些新的问题，甚至是挑 战性的问题。对这些问题的研究，必将促进哲学的发展。1、混沌对拉普拉斯决定论的冲击 法国数学家兼天文学家拉普拉斯（1749-1827）看到，牛顿力学不仅把天上和地上的物体运 动都统一在牛顿力学原理中，而且根据这一原理数学地推导出其他自然现象。因此，他作了 哲学概括，在其著作概率的分析理论（1812） 一书的第2版（1814 ）序言“关于概率 的哲学浅说”中提出著名的机械决定论自然观。他把自然界一切运动都归结为力学运动。在 因果关系上，只肯定必然的、确定的联系，提出有一种广大无边的“理解力”可以把宇宙间 大到天体小到原子