《2020版高考理科数学人教版一轮复习讲义：第三章 第三节 导数的综合应用 第一课时 利用导数解不等式 Word版含答案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020版高考理科数学人教版一轮复习讲义：第三章 第三节 导数的综合应用 第一课时 利用导数解不等式 Word版含答案（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第三节导数的综合应用第一课时利用导数解不等式考法一f(x)与f(x)共存的不等式问题f(x)g(x)f(x)g(x)型典例(1)定义在R上的函数f(x)，满足f(1)1，且对任意xR都有f(x)，则不等式f(lg x)的解集为_(2)设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x0时，f(x)g(x)f(x)g(x)0，且g(3)0，则不等式f(x)g(x)0的解集为_解析(1)由题意构造函数g(x)f(x)x，则g(x)f(x)0，所以g(x)在定义域内是减函数因为f(1)1，所以g(1)f(1)，由f(lg x)，得f(lg x)lg x.即g(lg x)f(lg x)lg x
2、g(1)，所以lg x1，解得0x10.所以原不等式的解集为(0,10)(2)借助导数的运算法则，f(x)g(x)f(x)g(x)0f(x)g(x)0，所以函数yf(x)g(x)在(，0)上单调递增又由题意知函数yf(x)g(x)为奇函数，所以其图象关于原点对称，且过点(3,0)，(3,0)数形结合可求得不等式f(x)g(x)0的解集为(，3)(0,3)答案(1)(0,10)(2)(，3)(0,3)(1)对于不等式f(x)g(x)0(或0) ，构造函数F(x)f(x)g(x)(2)对于不等式f(x)g(x)0(或0) ，构造函数F(x)f(x)g(x)特别地，对于不等式f(x)k(或k)(k0
3、)，构造函数F(x)f(x)kx.(3)对于不等式f(x)g(x)f(x)g(x)0(或0)，构造函数F(x)f(x)g(x)(4)对于不等式f(x)g(x)f(x)g(x)0(或0)，构造函数F(x)(g(x)0) xf(x)nf(x)(n为常数)型典例(1)设f(x)是奇函数f(x)(xR)的导函数，f(1)0, 当x0时，xf(x)f(x)0，则使得f(x)0成立的x的取值范围是()A(，1)(0,1)B(1,0)(1，)C(，1)(1,0) D(0,1)(1，)(2)设函数f(x)在R上的导函数为f(x)，且2f(x)xf(x)x2，则下列不等式在R上恒成立的是()Af(x)0 Bf(
4、x)0Cf(x)x Df(x)x解析(1)令g(x)，则g(x).由题意知，当x0时，g(x)0，g(x)在(0，)上是减函数f(x)是奇函数，f(1)0，f(1)f(1)0，g(1)f(1)0，当x(0,1)时，g(x)0，从而f(x)0；当x(1，)时，g(x)0，从而f(x)0.又f(x)是奇函数，当x(，1)时，f(x)0；当x(1,0)时，f(x)0.综上，所求x的取值范围是(，1)(0,1)(2)令g(x)x2f(x)x4，则g(x)2xf(x)x2f(x)x3x2f(x)xf(x)x2当x0时，g(x)0，g(x)g(0)，即x2f(x)x40，从而f(x)x20；当x0时，g(
5、x)0，g(x)g(0)，即x2f(x)x40，从而f(x)x20；当x0时，由题意可得2f(0)0，f(0)0.综上可知，f(x)0.答案(1)A(2)A(1)对于xf(x)nf(x)0型，构造F(x)xnf(x)，则F(x)xn1xf(x)nf(x)(注意对xn1的符号进行讨论)，特别地，当n1时，xf(x)f(x)0，构造F(x)xf(x)，则F(x)xf(x)f(x)0.(2)对于xf(x)nf(x)0(x0)型，构造F(x)，则F(x)(注意对xn1的符号进行讨论)，特别地，当n1时，xf(x)f(x)0，构造F(x)，则F(x)0.f(x)f(x)(为常数)型典例(1)已知f(x)
6、为R上的可导函数，且xR，均有f(x)f(x)，则有()Ae2 019f(2 019)f(0)，f(2 019)e2 019f(0)Be2 019f(2 019)f(0)，f(2 019)e2 019f(0)Ce2 019f(2 019)f(0)，f(2 019)e2 019f(0)De2 019f(2 019)f(0)，f(2 019)e2 019f(0)(2)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)2f(x)0恒成立，且f(2)(e为自然对数的底数)，则不等式exf(x)e0的解集为_解析(1)构造函数h(x)，则h(x)0，即h(x)在R上单调递减，故h(2 019)h(0)，即e2 0
7、19f(2 019)f(0)；同理，h(2 019)h(0)，即f(2 019)e2 019f(0)，故选D.(2)由f(x)2f(x)0得20，可构造函数h(x)ef(x)，则h(x)e f(x)2f(x)0，所以函数h(x)ef(x)在R上单调递增，且h(2)ef(2)1.不等式exf(x)e0等价于ef(x)1，即h(x)h(2)x2，所以不等式exf(x)e0的解集为(2，)答案(1)D(2)(2，)(1)对于不等式f(x)f(x)0(或0)，构造函数F(x)exf(x)(2)对于不等式f(x)f(x)0(或0)，构造函数F(x).典例已知函数f(x)axln x1，若对任意的x0，f
8、(x)xe2x恒成立，求实数a的取值范围解法一：构造函数法设g(x)xe2xaxln x1(x0)，对任意的x0，f(x)xe2x恒成立，等价于g(x)0在(0，)上恒成立，则只需g(x)min0即可因为g(x)(2x1)e2xa，令h(x)(2x1)e2xa(x0)，则h(x)4(x1)e2x0，所以h(x)g(x)在(0，)上单调递增，因为当x0时，h(x)，当x时，h(x)，所以h(x)g(x)在(0，)上存在唯一的零点x0，满足(2x01)e2x0a0，所以a(2x01)e2x0，且g(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，)上单调递增，所以g(x)ming(x0)x0e2x0ax0
9、ln x012xe2x0ln x0，则由g(x)min0，得2xe2x0ln x00，此时0x01，e2x0，所以2x0ln(2x0)ln(ln x0)(ln x0)，设S(x)xln x(x0)，则S(x)10，所以函数S(x)在(0，)上单调递增，因为S(2x0)S(ln x0)，所以2x0ln x0即e2x0，所以a(2x01)e2x0(2x01)2，所以实数a的取值范围为(，2法二：分离参数法因为f(x)axln x1，所以对任意的x0，f(x)xe2x恒成立，等价于ae2x在(0，)上恒成立令m(x)e2x(x0)，则只需am(x)min即可，则m(x)，再令g(x)2x2e2xln
10、 x(x0)，则g(x)4(x2x)e2x0，所以g(x)在(0，)上单调递增，因为g2ln 20，g(1)2e20，所以g(x)有唯一的零点x0，且x01，所以当0xx0时，m(x)0，当xx0时，m(x)0，所以m(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，)上单调递增，因为2xe2x0ln x00，所以ln 22ln x02x0ln(ln x0)，即ln(2x0)2x0ln(ln x0)(ln x0)，设s(x)ln xx(x0)，则s(x)10，所以函数s(x)在(0，)上单调递增，因为s(2x0)s(ln x0)，所以2x0ln x0，即e2x0，所以m(x)m(x0)e2x02，则有
11、a2，所以实数a的取值范围为(，2求解不等式恒成立问题的方法(1)构造函数分类讨论：遇到f(x)g(x)型的不等式恒成立问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数h(x)f(x)g(x) 或“右减左”的函数u(x)g(x)f(x)，进而只需满足h(x)min0或u(x)max0，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数最值的问题，适用范围较广，但是往往需要对参数进行分类讨论(2)分离函数法：分离参数法的主要思想是将不等式变形成一个一端是参数a，另一端是变量表达式v(x)的不等式后，应用数形结合思想把不等式恒成立问题转化为水平直线ya与函数yv(x)图象的交点个数问题来解决 过关训练(2019
12、陕西教学质量检测)设函数f(x)ln x，kR.(1)若曲线yf(x)在点(e，f(e)处的切线与直线x20垂直，求f(x)的单调性和极小值(其中e为自然对数的底数)；(2)若对任意的x1x20，f(x1)f(x2)x1x2恒成立，求k的取值范围解：(1)由条件得f(x)(x0)，曲线yf(x)在点(e，f(e)处的切线与直线x20垂直，f(e)0，即0，得ke，f(x)(x0)，由f(x)0得0xe，由f(x)0得xe，f(x)在(0，e)上单调递减，在(e，)上单调递增当xe时，f(x)取得极小值，且f(e)ln e2.f(x)的极小值为2.(2)由题意知，对任意的x1x20，f(x1)x
13、1f(x2)x2恒成立，设h(x)f(x)xln xx(x0)，则h(x)在(0，)上单调递减，h(x)10在(0，)上恒成立，即当x0时，kx2x2恒成立，k.故k的取值范围是.考法三可化为不等式恒成立问题典例已知函数f(x)x3x2ax.(1)若函数f(x)在区间1，)上单调递增，求实数a的最小值；(2)若函数g(x)，对x1，x2，使f(x1)g(x2)成立，求实数a的取值范围解(1)由题设知f(x)x22xa0在1，)上恒成立，即a(x1)21在1，)上恒成立，而函数y(x1)21在1，)单调递减，则ymax3，a3，a的最小值为3.(2)“对x1，x2，使f(x1)g(x2)成立”等价于“当x时，f(x)maxg(x)max”
