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1、第六节空间向量及其运算2017考纲考题考情考纲要求真题举例命题角度1.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置；会推导空间两点间的距离公式；2.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；3.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；4.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直；5.理解直线的方向向量与平面的法向量；6.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系；7.能用向量方法证明有关直线和平面关系的一些定理。2016，全国卷，18,12分(面面垂直、二面角)2015，全国卷，18()，6分
2、(求二面角)2015，全国卷，19()，6分(求线面角)2014，全国卷，18,12分(平行、二面角问题)以解答题为主，主要考查空间直角坐标系的建立及空间向量坐标的运算能力及应用能力，有时也以探索论证题的形式出现。微知识小题练自|主|排|查1空间向量及其有关概念(1)空间向量的有关概念空间向量：在空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量。相等向量：方向相同且模相等的向量。共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量。共面向量：平行于同一个平面的向量。(2)空间向量中的有关定理共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b0)，ab存在唯一一个R，使ab。共面向量定理：若两个向量a、
3、b不共线，则向量p与向量a，b共面存在唯一的有序实数对(x，y)，使pxayb。空间向量基本定理：如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z使得pxaybzc。2两个向量的数量积(1)非零向量a，b的数量积ab|a|b|cosa，b。(2)空间向量数量积的运算律结合律：(a)b(ab)；交换律：abba；分配律：a(bc)abac。3空间向量的坐标表示及其应用设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，向量表示坐标表示数量积aba1b1a2b2a3b3共线ab(b0)a1b1，a2b2，a3b3垂直ab0(a0，b0)a1b1a2b2a3b30
4、模|a|夹角a，b(a0，b0)cosa，b4.向量法证明平行与垂直(1)两个重要向量直线的方向向量直线的方向向量是指和这条直线平行(或重合)的非零向量，一条直线的方向向量有无数个。平面的法向量直线l平面，取直线l的方向向量，则这个向量叫做平面的法向量。显然一个平面的法向量有无数个，它们是共线向量。(2)空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2l1l2n1n2n1n2l1l2n1n2n1n20直线l的方向向量为n，平面的法向量为mlnmmn0lnmnm平面、的法向量分别为n、mnmnmnmnm0微点提醒1用向量知识证明立体几何问题，仍然离不开立体几何中的定
5、理。如要证明线面平行，只需要证明平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，即化归为证明线线平行，用向量方法证明直线ab，只需证明向量ab(R)即可。若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外。2用向量证明立体几何问题，写准点的坐标是关键，要充分利用中点、向量共线、向量相等来确定点的坐标。小|题|快|练一 、走进教材1(选修21P97A组T2改编)如图，平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AC与BD的交点为点M，设a，b，c，则下列向量中与相等的向量是()AabcB.abcCabcDabc【解析】()abc。故选C。【答案】C2(选修21P111练习T3改编)如图所
6、示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线ON，AM的位置关系是_。【解析】以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设DA2，则A(2,0,0)，M(0,0,1)，O(1,1,0)，N(2,1,2)，所以(2,0,1)，(1,0,2)，2020，所以AMON。【答案】垂直二、双基查验1(2016沈阳模拟)O为空间任意一点，若，则A，B，C，P四点()A一定不共面 B一定共面C不一定共面 D无法判断【解析】由1知，A，B，C，P四点共面。故选B。【答案】B2(2017赤峰模拟)已知a(
7、3,2,5)，b(1，x，1)，且ab2，则x的值为()A3 B4C5 D6【解析】因为a(3,2,5)，b(1，x，1)，所以ab32x52，解得x5。故选C。【答案】C3(2016重庆模拟)若A，B，C是平面内的三点，设平面的一个法向量a(x，y，z)，则xyz()A23(4) B111C11 D324【解析】，(3,2,0)，因为平面的一个法向量为a(x，y，z)，所以取y3，则x2，z4。所以xyz23(4)。故选A。【答案】A4若直线l的方向向量为a(1,0,2)，平面的法向量为n(2,0，4)，则直线l与平面的位置关系为_。【解析】an，l。【答案】l5已知点P是平行四边形ABCD
8、所在的平面外一点，如果(2，1，4)，(4,2,0)，(1,2，1)。对于结论：APAB；APAD；是平面ABCD的法向量；。其中正确的是_。【解析】0，0，ABAP，ADAP，则正确。又与不平行，是平面ABCD的法向量，则正确。(2,3,4)，(1,2，1)，与不平行，故错误。【答案】微考点大课堂考点一 空间向量的线性运算【典例1】如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，设a，b，c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：(1)；(2)；(3)。【解析】(1)P是C1D1的中点，aacacb。(2)N是BC的中点，abababc。(3)M是AA
9、1的中点，aabc。又ca，abc。【答案】(1)acb(2)abc(3)abc反思归纳确定要表示的向量的终点是否是三角形边的中点，若是，利用平行四边形法则即可。若不是，利用封闭图形，寻找到所要表示的向量所对应的线段为其一边的一个封闭图形，利用这一图形中欲求向量与已知向量所在线段的联系，进行相应的向量运算是处理此类问题的基本技巧。一般地，可以找到的封闭图形不是唯一的，但无论哪一种途径结果应是唯一的。【变式训练】在三棱锥OABC中，M，N分别是OA，BC的中点，G是ABC的重心，用基向量，表示，。【解析】()()。【答案】，考点二 共线、共面定理的应用【典例2】如图所示，已知斜三棱柱ABCA1B
10、1C1，点M，N分别在AC1和BC上，且满足k，k(0k1)。(1)向量是否与向量，共面？(2)直线MN是否与平面ABB1A1平行？【解析】(1)k，k，kkk()k()kkk()(1k)k，由共面向量定理知向量与向量，共面。(2)当k0时，点M、A重合，点N、B重合，MN在平面ABB1A1内，当0k1时，MN不在平面ABB1A1内，又由(1)知与、共面，所以MN平面ABB1A1。【答案】(1)共面(2)平行反思归纳三点(P，A，B)共线空间四点(M，P，A，B)共面xy对空间任一点O，t对空间任一点O，xy对空间任一点O，x(1x)对空间任一点O，xy(1xy)【变式训练】(2017抚州模拟
11、)如图在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是平行四边形，E，F，G分别是A1D1，D1D，D1C1的中点。(1)试用向量，表示；(2)用向量方法证明平面EFG平面AB1C。【解析】设a，b，c，(1)由图得cbabc。(2)证明：由题图得：ab，ba，与无公共点。EGAC，EG平面AB1C。又ac，ca，与无公共点，FGAB1，FG平面AB1C，又FGEGG，平面EFG平面AB1C。【答案】(1)(2)见解析考点三 空间向量数量积的应用【典例3】如图所示，在平行四边形ABCD中，ABACCD1，ACD90，把ADC沿对角线AC折起，使AB与CD成60角，求BD的长。【解析】AB与C
12、D成60角，60或120。又ABACCD1，ACCD，ACAB，| ，|2或。BD的长为2或。【答案】2或反思归纳1.利用向量的数量积可证明线段的垂直关系，也可以利用垂直关系，通过向量共线确定点在线段上的位置。2利用夹角公式，可以求异面直线所成的角，也可以求二面角。3可以通过|a|，将向量的长度问题转化为向量数量积的问题求解。【变式训练】已知空间四边形OABC各边及对角线长AC，OB都相等，E，F分别为AB，OC的中点，求异面直线OE与BF所成角的余弦值。【解析】如图所示，设a，b，c，且设各棱长及对角线长均为1，故|a|b|c|1，abacbc，且|。()()acbcab|b|2，cos，。异面直线所成角的范围为，异面直线OE与BF所成角的余弦值为。【答案】考点四 利用空间向量解决平行与垂直问题【典例4】(2016昆明模拟)如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1AD1，E为CD的中点。(1)求证：B1EAD1；(2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由。【解析】以A为原点，
