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1、23.1一元二次方程教学目标知识与技能：知道一元二次方程的定义，能熟练地把一元二次方程整理成一般形式（0）过程与方法：通过观察，归纳一元二次方程的定义情感态度与价值观：在分析、揭示实际问题的数量关系并把实际问题转化为数学模型（一元二次方程）的过程中使学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具，增加对一元二次方程的感性认识。重点：一元二次方程的意义及一般形式，会正确识别一般式中的“项”及“系数”。难点：理解用试验的方法估计一元二次方程的解的合理性。教具:粉笔教学过程：一 做一做：1问题一 绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的
2、长和宽各为多少？分析：设长方形绿地的宽为x米，不难列出方程x(x10)900 整理可得 x210x900=0.（1）2问题2 学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增长率.解：设这两年的年平均增长率为x，我们知道，去年年底的图书数是5万册，则今年年底的图书数是5（1x）万册；同样，明年年底的图书数又是今年年底的（1x）倍，即5（1x）(1x)5(1x)2万册.可列得方程5（1x）2=7.2, 整理可得 5x210x2.2=0.（2）3思考、讨论这样，问题1和问题2分别归结为解方程（1）和（2）.显然，这两个方程都不是一元一次方程.那么这两个方程与一元一
3、次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？（ 学生分组讨论，然后各组交流 ）共同特点：（1） 都是整式方程 （2） 只含有一个未知数 （3） 未知数的最高次数是2二、 一元二次方程的概念上述两个整式方程中都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的方程叫做一元二次方程）.通常可写成如下的一般形式：ax2bxc0(a、b、c是已知数，a0)。 其中叫做二次项，叫做二次项系数；叫做一次项，叫做一次项系数，叫做常数项。.三、 例题讲解与练习巩固1例1下列方程中哪些是一元二次方程？试说明理由。（1） （2） （3） （4）2例2 将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和
4、常数项：1） 2）（x-2）(x+3)=8 3）说明： 一元二次方程的一般形式（0）具有两个特征：一是方程的右边为0；二是左边的二次项系数不能为0。此外要使学生意识到：二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都是包括符号的。3例3 方程（2a4）x2 2bx+a=0, 在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一次方程？本题先由同学讨论，再由教师归纳。解：当2时是一元二次方程；当2，0时是一元一次方程；4例4 已知关于x的一元二次方程(m-1)x2+3x-5m+4=0有一根为2，求m。分析：一根为2即x=2,只需把x=2代入原方程。5练习一 将下列方程化为一般形式，并分别
5、指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项 2x(x-1)=3(x-5)-4 练习二 关于的方程，在什么条件下是一元二次方程？在什么条件下是一元一次方程？四：本课小结：1、只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程。2、一元二次方程的一般形式为（0），一元二次方程的项及系数都是根据一般式定义的，这与多项式中的项、次数及其系数的定义是一致的。3、在实际问题转化为数学模型（ 一元二次方程 ） 的过程中，体会学习一元二次方程的必要性和重要性。五：布置作业：1、基础差的做练习P19 。课本第23页习题1、2、3（基础好的同学做）六：板书设计：1、引入例1例32、自主探究例2例
6、43、一元二次方程定义：练习小结、作业七：反思：23.2.1一元二次方程的解法（共2课时）第一课时教学目标1.知识与技能(1)熟练运用直接开平方解形如X2=n的方程，知道它的依据是平方根的定义；(2)熟练运用因式分解法解某些一元二次方程，它的依据是：“若两个因式的积等于0,则这两个因式中至少有一个等于0；反之，若两个因式中有一个等于0,则它们的积就等于0.”2.过程与方法通过观察讨论，发现和获取用直接开平方法和因式分解法解一元二次方程的思想方法，体会“降次”化归的思想。3.情感、态度与价值观通过学生自主、合作学习，激发学生学习数学的热情。教具:粉笔教学重点难点1.重点直接开平方法和因式分解法。
7、2.难点运用直接开平方法和因式分解法解一元二次方程。教与学互动设计（一）创设情景，导入新课1.填空，并说明理由。(1)，则x；(2)，则x；(3)，则x。【点评】通过以上练习，让学生进一步认识“一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。”2.将下列各式因式分解：(1) (2) (3) (4) 3.同学们都已经学会了解一元一次方程，那么对于上节课所列出的一元二次方程你会解吗？（二）合作交流，解读探究1.直接开平方法试求下列等式中的x的值，并说说你所用的方法，与同伴进行交流。(1) (2) 【点评】学生通过尝试，从而明确如以上方程的解法依据是数的开方。如(1)中
8、x是的平方根，所以即.像这种解方程的方法就叫直接开平方法。2.因式分解法试求下列等式中的x的值，并说说你所用的方法，与同伴进行交流。(1) (2) 【点评】学生通过尝试，明确对于一个左边可分解成因式的积的形式，右边为0的一元二次方程可依据“若两个因式的积等于0,则这两个因式中至少有一个等于0；反之，若两个因式中有一个等于0,则它们的积就等于0”来求解，像这种解方程的方法就叫做因式分解法。【做一做】试用两种方法解方程解：方法1：因式分解法方程左边分解因式得 所以，或。 原方程的解是，。方法2：直接开平方法移项，得 直接开平方，得 所以原方程的解是，。【点评】通过练习，掌握运用直接开平方法和因式分
9、解法解一元二次方程的方法步骤.【自主探索】让学生独立阅读教材第29页的例题和例题（三）应用迁移，巩固提高例解下列方程：(1) ； (2)3x2 +2x=0(3)x2=3x练习P22 1、（1）、（3）、（5）2（四）总结反思，拓展升华小结 1.直接开平方法可解形如：的一元二次方程。解法的依据是平方根的意义。2.用因式分解法解一元二次方程的基本步骤是：先把一个一元二次方程变形，使它的一边为零，另一边可分解成两个一次因式的乘积，再使每一个一次因式等于零，分别解两个一元一次方程，得到的两个解就是原一元二次方程的解。3.通过“降次”把一元二次方程转化为两个一元一次方程的方法有：(1)开平方法；(2)因
10、式分解法。布置作业：1、基础差的做练习P22 1、（2）、（4）、（6）。 课本第31页习题23.2、1、2、3、4、（五）板书设计：创设情景试用两种方法解方程例1直接开平方法小结.因式分解法练习作业（六）、教学后记：第二课时例解下列方程：（1）（X+1）2-4=0 (2) ； (3)；(4) ；解：（1）原方程可变形为： （2）移项，得（X+1）2=4 直接开平方得： 直接开平方得： X+1= 2 所以 X1=1 X2=-3 所以 （3）原方程可变形为：因式分解得：所以 或 得： 练习 解下列方程： （1） (2)（x+2）2-16=0 (3) （x-1）2-18=0(4) （1-3x）2=
11、1 (5) （1-3x）2-25=1 例2.关于x的一元二次方程的一根是0，求a的值。解：把x=0代入原方程得：-a2+10a2-1=0 即 9a2-1=0 (3a+1)(3a-1)=0 所以 因为：3a+10 即 所以小结：1.直接开平方法可解形如： a(x+b)2=n的一元二次方程。2.用因式分解法解一元二次方程的基本步骤是：先把一个一元二次方程变形，使它的一边为零，另一边可分解成两个一次因式的乘积，再使每一个一次因式等于零，分别解两个一元一次方程，得到的两个解就是原一元二次方程的解。3.通过“降次”把一元二次方程转化为两个一元一次方程的方法有：(1)开平方法；(2)因式分解法。布置作业：
12、课本第31页习题23.2 1（5）、（6）2、（1）、（2）板书设计：例1例2小结练习作业教学后记： 23.2.2一元二次方程的解法（共2课时）第一课时教学目标：知识与技能：掌握用配方法解数字系数的一元二次方程情感态度与价值观：启发学生学会观察分析寻找解题途径、提高他们分析问题解决问题的能力。过程与方法：使学生掌握配方法的推导过程，熟练地用配方法解一元二次方程。在配方法的应用过程中体会 “转化”的思想，掌握一些转化的技能。教具:粉笔重点：用配方法解数字系数的一元二次方程难点：使学生掌握配方法，解一元二次方程。把一元二次方程转化为教学过程：一、复习提问解下列方程，并说明解法的依据：（1） （2） （3） 通过复习提问，指出这三个方程都可以转化为以下两个类型：根据平方根的意义，均可用“直接开平方法”来解，如果b 0，方程就没有实数解。如请说出完全平方公式。二、引入新课我们知道，形如的方程，可变形为，再根据平方根的意义，用直接开平方法求解那么，我们能否将形如的一类方程，化为上述形式求解呢？这正是我们这节课要解决的问题三、探索：1、例1、解下列方程：2x5； （2）4x30.思考：能否经过适当变形，将它们转化为= a 的形式，应用直接开方法求解？解（1）方程两边同时加上1得： （2）方程两边同时加上4得：2x16， 4x434_,_,_. _,_,_.四、归纳上面，我们把方
