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1、第十一节导数在研究函数中的应用基础达标一、选择题(每小题5分，共30分)1. (2015内江一模已知函数f(x)斗x=x2+cx+d有极值,则实数c的取值范围为()a.(9C.&+X)D.($ + R1. A【解析】由题意可知f(x)=x2-x+c=0有两个不同的实根，所以 Y1-4c0,即卩1cv_.2. (2016湖南师大附中月考)|函数y=F的图象大致为()Zx2. D【解析】由y= 得y,因此可知函数y=在区间(0,1),(1,e)内单调递减,在区间e, +旳上单调递增，故选项D正确.3. (2015北京海淀区期末考试)已知函数f(x)是定义域为 R的偶函数，当x 0 时,f(x)=
2、(x+1)3ex+1,那么函数f(x)的极值点的个数是()A.5B.4C.3D.23. C【解析】当 x0,故 x=-1 不是 f(x)的极值点；当 x (-,-4)时,f(x)0,故x=-4是f(x)的一个极值点.又因为f(x)是定义域为R的偶函数.所以当x0时,x=4为f(x)的一个极值点,所以f(x)在x=0左右两侧函数的单调性不一致，故x=0也为f(x)的一个取值点,综合可得f(x)的极值点个数为3个.4. (2016福建大田一中月考)|已知函数f(x)=ln x -ax-b,若函数f(x)在区间(0,+马上单调递增，则实数a的取值范围为()A.(f0)B.(-旳0c.(sD.+co)
3、4.B【解析】由f(x)= ln x-ax-b,得f(x)= +吉-a，因为函数f(x)在区间(0,+为XX-X上单调递增，所以对？x (0,+都有f(x). -a0恒成立，即对?x0,都有aw丄+屯，因为-0所以a0, a f(x)=1 无负实根，故有=1-t.令 g(x)=，则 g(x)=,由 g(x)0得 0x e,由 g(x)e,A g(x)在(0,e)内单X调递增,g(x)在(e,+冷上单调递减，二g(x)max=g(e)=2 ,a g(x)的值域为.要使得 方程f(X)=1无实数根，则1-t ,即t0,b0)的图象在x=0处的切线与圆x2+y2= 1相切，则a+b的最大值是()A.
4、4B.2C.2D.6. D 【解析】由 f(x)=- eax(a0,b0)得 f(x)=- eax,因为当 x=0 时,f(x)=，所以切点为- ,k=-,故切线方程为 y+ =-x,即ax+by+仁0.由于切线与圆 x2+y2=1 相切所以 d= 丁-： = 1 即 a2+b2=1,所以-，即 a+b2时的单调递增区间为.8. (0,1)和【解析】由f(x)=x2-(a+2)x+aln x可知,函数的定义域为x|x0,且 f(x)=2x-(a+2)+E E“ 丄丄二，因为 a2,所以当 0x0,故f(x)的单调递增区间为(0,1)和.9. (2015西北师大附中三诊)已知函数f(x)= x3
5、+ax2+2bx+c有两个极值点 X1,X2,且-1X11X2 0,且-1xiv1vx22,所以f(-D A 0：.f(l) 0,即 1 + 2a + 0.1 而直线.bx-(a-1)y+3=0的斜率为k=，其表示不等式组 构成的平面区域内的动点P(a,b)到定点(1,0)的连线的斜率，利用线性规划知识易求得k=-.三、解答题(共10分)10. (10分)(2015新课标全国卷U )|已知函数f(x)=ln x+a(1-x).(1)讨论f(x)的单调性；当f(x)有最大值,且最大值大于2a-2时，求a的取值范围.10. 【解析】(1)f(x)的定义域为(0,+旳,f(x)=-a.若a0所以f(
6、x)在(0,+为单调递增.若 a0,则当 xil 时,f(x)0;当 x：f=：时,f(x)0,所以 f(x)在一.单调递增在：单调递减.由(1)知，当a0时,f(x)在x=取得最大值，最大值为 fI - 丨=In； - I +aI 1 二丨=-ln a+a-1.因此 f2a-2,等价于 ln a+a-10.令 g(a)=ln a+a-1,则 g(a)在(0,+ 马单调递增,g(1)=0. 于是，当 0a 1 时,g(a)1 时,g(a)0. 因此,a的取值范围是(0,1).高考冲关1. (5分)(2015新课标全国卷U )|设函数f(x)是奇函数f(x)(x R)的导函数,f(-1)=0,
7、当x0时,xf(x)-f(x)0成立的x的取值范围是()A.(-旳-1)U (0,1)B.(-1,0)U (1,+ 马C.(-旳-1)U (-1,0) D.(0,1)U (1,+ 刃1. A 【解析】当x0时,_ =0等价于蹈益農叢故其解集为(-1)U (0,1).2. (5分)(2015福建高考)若定义在R上的函数f(x)满足f(0)=-1,其导函数f(x)满足f(x)k1,则下列结论中一定错误的是()A.f ：B.f 二一诚总*占Df*昙2. C 【解析】由于f(沪k1,则f(x)是R上的增函数，构造函数g(x)=f(x)-kx(k1), 则有g(x)=f (x)-k0,即g(x)是R上的
8、增函数，而g(0)=f(0)=-1,又k1,则有士 0,可得 g：怎;=f _ g(0)=-1,则有f亠-1=,故选项C 一定错误.3. (5 分)(2015湖南雅礼中学月考)已知函数f(x)=x+ s in x(x R),且f(y2-8x+ 11)+f (x2-6y+10) 0,二f(x)为增函数，二 f(y2-8x+11)wf(-x2+6y-10),二 y2-8x+1iw-x2+6y-10,即(x4)2+(y-3)24,又 y3,则 (x,y)对应可行域是以(4,3)为圆心,2为半径的上半圆面,易求得 F(X,y)min=13,F(X,y)max=49,其和为 62.4. (12分)(20
9、15河北衡水调研)|已知函数f(x)W x2+aln x.(1)若a=-1,求函数f(x)的极值,并指出是极大值还是极小值.若a=1,求函数f(x)在1,e上的最大值和最小值；并求证在区间1, +马上函数f(x)的图象恒在函数g(x)J x3的图象的下方.4. 【解析】(1)由题可知函数f(x)的定义域为(0,+旳，当 a=-1 时,f(x)=x-,XX令 f(x)=0得 x=1 或 x=-1(舍去).当x (0,1)时,f(x)0,函数f(x)单调递增,所以f(x)在x=1处取得极小值，极小值为.当a=1时,易知函数f(x)在1,e上为增函数,I:2所以 f(x)min=f (1)= ,f(
10、x)max=f(e)=e + 1.设 F(x)=f(x)-g(x)=x2+ln x- x3,则 F(x)=x+ 加=2 ,xx当x1时,F(x)0,故 F(x)在区间(1, +马上是减函数.又因为 F(1)=- 0,所以在区间1,+马上F(x)0恒成立，即f(x)g (x)恒成立.因此，当a=1时,在区间1,+马上函数f(x)的图象性在函数g(x)图象的下方.5. (13分)(2014新课标全国卷II)已知函数f(x)= e0 时,g(x)0,求 b 的最大值;(3)已知1.41420,等号仅当x=0时成立, 所以f(X )在(-旳+马单调递增. g(x)=f(2x)-4bf(x)= e2x-
11、e-2x -4b(ex-e-x)+ (8b-4)x, g(x)=2e2x+ e-2x-2b(ex+ e-x)+ (4b-2) = 2(ex+ e-x-2)(ex+ e-x-2b+ 2). 当b 0,等号仅当x= 0时成立，所以g(x)在(-%+旳单调递增，而g(0)=0,所以对任意x0,g(x)0; 当b2时若x满足2ex+e-x2b-2,即 0xvln(b-1+-)时,g(x)0,而 g(0)=0.因此当 0xIn(b-1+一 )时,g(x)0,ln 2 0.6928;当 b=+ 1 时,In(b-1+ 一)=ln,g(l n)=-2+(3+2)ln 20,ln 20.6934所以ln 2的近似值为0.693.
