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1、第五章 连通性XX(0,1)BA(0,-1)(1,0)普通几何中的图形“连通”性是一个非常直观的概念，似乎无需给出数学的定义。然而，对于一些复杂的图形，单凭直观是不行的，例如：例： 设的一个子集（曲线）有两部分构成，其中 如右图，细线为，粗线为，我们很难判断它们是否连通的。有两种描述图形连通的方法：1）、利用集合是否相交来判定； 2）、利用任何亮点是否有图形内的线段相连。前者称为“连通性”，后者称为“道路连通性”。在上例中，是连通的，但是，不是道路连通的。5-1 连通空间先看一个例子：考虑上的两个子集与。它们是不交的，（即交为空集）。但是，它们的并为却构成了一个“整体”； 而与也是不相交的，但
2、它们的并仍是两个部分。原因是：的一个聚点1，属于，而不属于。为此，给出一个“分离”的概念。定义1 设和是拓扑空间的两个非空子集，如果与，则称与是分离的。 定义2 称拓扑空间是连通的，如果不能表示为两个非空分离集合的并。 显然，连通与下面几种说法是等价的。 不能分解为两个非空不相交开集的并； 不能分解为两个非空不相交闭集的并； 没有既开又闭的非空真子集； 中只有和是既开又闭的。上述的四种说法与连通是等价的，可以作为习题，有同学们自己去证明。例1 （1）是连通的，因为它的任意两个非空开集一定相交。（2）双曲线不连通，它的两支是互不相交的的非空闭集。（3）空间是连通的。结论（3）是明显的。但是，人们
3、常常里利用已知连通空间论证其它空间的连通性，所以，常常被作为论证一维流形连通的出发点。因此，有必要去证明一下。 证明的思路：中任何非空真子集不可能既是闭的又是开的，则是连通的。 以下是证明： 不妨设是的非空真闭集，于是只要证明不会是开集。设的下确界为，上确界为。因为是闭集，则有。又设，不妨假定（对于情形可作类似的讨论），由于，即不是的内点，从而不是开集。证毕。下面讨论连通空间的性质。定理1 连通空间在连续映射下的象也是连通的。证明： 设连通，连续，我们要证明也连通。不妨设（否则也可以考虑）。又设是的既开又闭的非空子集，则是的既开又闭的子集（这是根据连续映射的性质）。又由于非空，并且是连通的，故
4、只要（不可能为），因为映射是满射，从而，这说明的既开又闭的非空子集只能有。于是，是连通的。 例2 单位圆是连通的。 因为是连通的，且有映射，有。 例3 设，则连通 是区间。 例3可作为定理1的推论。 推论1 连通空间上的连续函数取到一切中间值（即，象集是区间）。事实上，这个推论适于上的映射，而对于其他的拓扑空间，应该有“序”的概念。所以只作理解即可。即，设连通，根据例3。推论立证。引理1 若是的既开又闭子集，是的连通子集，则或者，或者。证明：显然。由于是连通的，则不可能存在既开又闭的子集，则要么，要么，即。定理2 若有一个连通的稠密子集，则连通。证明：思路：证明的既开又闭子集只有和。设是的连通
5、稠密子集，且是的既开又闭子集。如果，则必有。由引理1，有。于是，从而。因此，的既开又闭子集只有和。推论2 若是的连通子集，且，则连通。注释：这是因为是的稠密子集，由定理2，立得推论。下面的定理给出判断连通性的一个常用法则。Au1u2u3u4u5定理3 如果有一个连通覆盖（即中每个成员都是连通的），并且有一连通子集，与中每个成员都相交，则连通。定理意义的解释：中每个成员都是连通集，它们构成的覆盖，它们之间不一定都有交，但是存在一个的子集，与它们都相交。 证明： 证明思路：的既开又闭子集只有和。 设是的既开又闭子集，是的一连通子集。根据引理1，要么，要么。如果，则，因，所以 ，并且由引理，必有（注
6、：是连通子集），则 又，如果，则，由引理，必有，则 又，故有，即。 证毕。YXABxx 例4 我们可以利用定理3的方法去证明是连通的。记，显然，。即是的覆盖，而，是连通的（连通）故是的连通覆盖。记，则连通，。由定理3知，连通。利用归纳法，可以证明连通。定理4 连通性是可乘的。证明： 设都是连通空间，则是的连通覆盖。取，则连通，且与每个都相交。由定理3知，连通。证毕。5-2 连通分支与局部连通空间连通分支是研究不连通空间时引出的一个概念。定义3 拓扑空间的一个子集称为的连通分支，如果它是连通的，并且不是其他连通子集的真子集。注释：说是的一个连通分支，即，若的子集，且，则一定不连通。也就是说，连通
7、分支是极大连通子集。如果是连通的，则它只有一个连通分支，即自身。命题1 连通分支是闭集。证明： 设是的一个连通分支，由定理2，也是连通的。由的极大性推出。因此，是闭集。例如，在中，区间是连通的，则也是连通的。定义4 拓扑空间称为局部连通的，如果，的所有连通邻域构成的邻域基。注释：关于“局部连通的”有多种定义表达形式。粗略地说：局部连通性就是每一点处都有一个“任意小”的连通邻域。“对于，的每一个邻域，存在的一个连通邻域，使得，此时称处局部连通的；如果的每一点都是局部连通的，称是局部连通的”。这一解释可以从定义4直接推出。连通与局部连通的关系：（1）局部连通的空间不一定是连通的。例如，的子空间是不
8、连通的，但它是局部连通的。XX(0,1)AB(0,-1)p（2）连通的空间未必是局部连通的。例如，设是的子空间：，其中 这里被称为“拓扑学家的正弦曲线”，事实上，可以看出。因为，是在连续映射下的区间的象，故是连通的。又（即是的极限点或称聚点集合），故也是连通的。而在的每一点处都不是局部连通的，因而，不是局部连通的。命题2 局部连通空间的连通分支是开集。证明：设局部连通，是的一个连通分支，有一连通邻域使得，所以是的内点。因此，为开集。5-3 道路连通性（弧连通性）一、关于道路（或弧）的概念道路是“曲线”概念的抽象化。曲线可以看作点的运动轨迹。如果将运动的起点、终点时刻分别记为0和1，则运动就是闭
9、区间到空间的一个连续映射，曲线就是这个映射的象。拓扑学中把这个连续映射称作道路或弧。定义5 设为拓扑空间，从闭区间到的一个连续映射称为中连接点到的弧或道路。和分别称为道路的起点和终点（统称端点）。注释： 道路或弧是指映射，而不是它的象。象集是中的曲线。两者不是同一个概念，有区别。定义6 对于中任意两点，都存在中的道路,，则称为道路连通的。例：是道路连通的。因为对于任意，定义道路, ， 中任一区间也是道路连通的。定理5 若则一定是连通的。证明： 设是道路连通的，,则有中的道路，使得,.于是在的同一连通子集中，从而它们属于同一连通分支。由于的任意性，故只有一个连通分支，即连通。 注：定理5说明：
10、道路连通 连通， 但是连通 （未必）道路连通例如，在前面讨论过的例子中，中图形记为，上闭区间记为。我们知道，且是连通的，则也是连通的（即连通）。但是，中任一点与中任一点不能用道路连接，即不是道路连通的。定理6 道路连通空间的连续映象是道路连通的。证明：设是道路连通的，连续，取。由于道路连通，故有道路，使得，于是是中的道路，且。这即证明了是道路连通的。二、道路连通分支在拓扑学中规定它的点之间的一个关系：若点与可用上的道路连接，则说与相关，记做（弧连通的）。可以证明，是一个等价关系。定义7 拓扑空间在等价关系下分成的等价类，称为是道路连通分支，简称道路分支。根据定义7，下面的结论是显然的：（1），
11、仅属于的某一个（唯一的）道路分支。（2）的每个道路连通子集包含在某个道路分支中。（3）是道路连通的 它只有一个道路分支。（4）拓扑空间的道路分支是它的极大道路连通子集。附录：代数拓扑学中常见概念介绍（一）关于流形概念球面、环面以及我们所熟悉的其它曲面，它们往往比平面复杂得多。但是，从局部上分析，有些曲面上的每一点近旁都有一块区域同胚与平面。具有这种局部欧氏特性的拓扑空间成为流形。定义1 一个Hausdorfrf空间称为维（拓扑）流形，如果的任一点都有一个同胚于的开邻域。二维流形称为曲面。如，（球面），（环面），平面和Mbius带都是曲面。没有边界点（全是内点）的紧致连通曲面称为闭曲面。研究曲面
12、分类问题是代数拓扑的一项重要内容。（二）关于同伦与基本群概念同伦与基本群概念也是研究曲面分类中提出的概念。在拓扑学中，利用道路概念替代曲线，道路本身是一种映射。同伦是一种描述连续映射变形（道路收缩变形）的概念。定义2 设是的两个道路，且和都以为起点，以为终点。如果存在连续映射使得对于每一个和， 则称与是道路同伦的，称为与之间的一个道路同伦，记。解释：所谓与同伦，意味着可以“连续的”变为。Fx0x1ffXst101易知，同伦关系是等价关系。的所有道路在下分成的等价类称为的道路类。从分析知，所谓与同伦，即上存在道路到的连续变形。从道路变形角度看，球面上闭曲线可以连续的变形收缩成一点，而环面上则不可以。见下图。f这种差别可以反映闭曲面的不同几何特征。关于道路的乘法和逆设是拓扑空间点到的道路连接，是到的道路连接，定义道路，的乘法是从到的道路连接。（是道路，的乘法）。当从连接，则是从连接的道路，称为的逆。于是，下属结论是正确的。（1）若，则。（2）若，且有意义，则。在拓扑空间上，利用上述定义的乘法和逆，以起点和终点均为的闭合道路为对象，在道路同伦类的集合上，乘法运算构成一个群，称为的基本群。代数拓扑学的一项重要内容即是研究基本群的性质（不同流形，等上的基本群性质）。
