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1、第五章特征值和特征向量矩阵对角化习题511.解：（A丿设1Q,B=2,因为秩（4）二秩（）所以人与B等价，但是由02nt1-_04于trA与trB不相等，所以A与B不相似.因此（A）不正确.4与3相似，即冇在可逆矩阵P使得P-1AP=B,所以秩（4）二秩（），因此4与3等价.（E丿是正确的.ri010（C）与（A丿一样，设4=,B=2，秩（4）二秩（B）,但是由于世4与tL02,ain=(2-an)(2-a21)-(A-ann),002d“证因为A的主对角线上元素互异，所以4有门个互异的特征值.因此A能与对角矩阵相似.4设A为“阶方阵，证明M与人7有相同的特征多项式。证A7的特征多项式为AE-
2、Ar|=|（征厂-A）T=（AE-A）T=AE-A,而AE-A是A的特征多项式，所以A与A有相同的特征多项式.*5.设盘,金分别是方阵A的属于琉，入的特征向量，若琉工入，证明：奇+長不可能是A的特征向屋.证（反证）假设玄+菟是A的属于特征值兄的特征向量，则有4（盘+竟）=2（盘+益），又因为盘屋分别是A的属于&,入的特征向量，所以有A=l9A=2.又因为+，由此可知话严入7=站严人,即有（2-琉）血+（2-入疋2=0,因为入M，所以-入）和亿一入）不全为零，这表明盘g线性和关，这与属J：不同特征值的特征向最必线性无关矛盾！所以假设不成立，即有玄+&不是A的特征向量.6*.已知3阶矩阵A的特征值为1,2,2,且A不能与对角矩阵相似，则秩（民4尸；秩（2E-A尸,并说明理由.解因为1是A的一重根，所以（E-A丿X的基础解系含有1个向量，因此3-秩（E-A尸1,从而可知秩（E-A尸2.又因为2是A的二重根，所以（2&4必二0的基础解系含有向量的个数为1或2,由J：A不能与对角矩阵相似，则可知A的线性无关的特征值个数小于3,所以（2E-A）X=0的基础解系含有向龟的个数只能为1,故有3-秩（2E-A尸1,所以秩（2E-A尸2.0D17.已知4=X12x-3能与对角矩阵相似,求儿10020-1A-1-1A解|征-A|=-XA-l3-2x=U-1)=（乂一1）2+1）,4的特征值为-102
