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1、第 5 章 张角定理及应用【基础知识】张角定理 设A , C , B顺次分别是平面内一点P所引三条射线PA , PC , PB上的点，线段AC , CB 对点P的张角分别为a，0，且a + p 0 .在 CPB 中，由余弦定理，得BP /ab)2* b cos/3 - a sin/3 丿ab2b cos/3 - a sin/3-cos(90 + Z3)因 0 /3 + /4 180。，贝y 0 /3 /4 0 .于是， BP + b2)12b cos/3 - a sin /3(b cos/3 - a sin/3)2同理，在ACFP中，有BF b cos/3 + a sin/3又在 Rt ABC
2、 中，AB = a2 + b2，2 2 1 1= . + AB a 2 + b2 BP BF注 此例结论表示AB是BP与BF的调和平均，亦表示PF调和分割弦AB .例6 （第一章例12）任意四边形ABCD的一组对边BA与CD交于M，过M作割线交另一组对边所 在直线于H、L，交对角线所在直线于H、L .求证：丄 +丄 + 丄.MH ML MH，ML证明如图 5-7，/MBL = a，/CML =0，/BMC = a + p，由张角定理得：色沁=血+泌,MH MD MAsin(a + p) sin a sin p=+MH， MC MA sin(a + p) sin a sin p=+ML MD M
3、A sin(a + p ) sina sin p=+ML MC MB由 + - - 得sin(a + p ) sin(a + p ) sin(a + p ) sin(a + p )+ = 0MHMLMH，ML1MH1+ ML11+ MH， HL注 此例也可运用线段的调和分割来证明，可参见第十一章例 9 对于第十一章的例 10，也可运用张 角定理来证请看下例：例7圆内接四边形ABCD一组对边DA、CB延长线交P点，过P点任作直线PF分别交圆于E、F ,交AB、CD所在直线于N、M，求证：丄+丄=丄+丄.PE PF PN PM证明 设ZAPM =a , ZBPM = p，并分别取AD、EF、BC中
4、点R、G、H，如图5-8,显然P、 R、G、H和圆心O五点共圆，由托勒密定理可知：PG - RH = RG - PH + PR - GH .对 RGH三边用正弦定理代入得：PG -sin(a + p)= PH - sina + PR sinP，两边乘 2，即(PE + PF)sin(a + p)=又 PE - PF = PB - PC = PA - PD ，则sin(a + p ) =(11 )r 11)1sina +1PBPC丿(PA PD 丿(PB + PC)sina + (PA + PD)sin psin p 由张角定理：血 +卩）=沁+泌，sin（a + p）sinaPNsin+PB
5、PAin pPMsin p+，PC PD因此丄+丄=丄+丄PE PF PN PM图58当PF与AB、DC的延长线相交同时与圆相交（或相切），如图5-9，例7仍然成立，证法相同.M图5-9当PF与CA , BD相交或与它们的延长线相交，同时也与圆相交(或相切)例题7也成立，证法也相同如图5-10相切时Pe=PfC图5-10例8圆内接AABC,切线C点交BA的延长线于P，过P任作直线交圆于E、F，交AC、BC分别 于N、M，求证：丄 + 丄二丄 + 丄 .PE PF PN PM证明 设ZAPM =u，ZMPC = p，并分别取AB、EF中点G、H，如图5-11，显然P、G、H、C和圆心O五点共圆，由托勒密定理可知PH - GC = GH - PC + PG - HC，对厶GHC三边用正弦定理代 入得 PH - sin (a + P)= PC - sin a + PG - sin 卩，两边乘 2，即(PE+ PT)si(n(+p =) - 2P C- (Xii+（PA + PB ）sin Bsin B .因为 PE - PF = PC =（1PA PB从而+I PE1 PF丿sin（ + B ）=2PCsi a + -1PA1 PB由张角定理，图5-11sin(a + p)sin a sin p= + PN PC PAsin(a + p) sin a sin pPM PC PB因
