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1、常微分方程王高雄著课后习题答案21dy=2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。 dx解：dy=2xdx 两边积分有：ln|y|=x2+c y2y=ex+ec=cex2另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0 原方程的通解为y= cex2,x=0 y=1时 c=1 特解为y= ex2. 2. y2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。 解：y2dx=-(x+1)dy dydy=-1dx y2x+1两边积分: -1=-ln|x+1|+ln|c| y=y1 ln|c(x+1)|另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e 特解：y=1 ln|c(
2、x+1)|3dy=1+y2 解：原方程为：dy=1+y21 dxxy+x3ydxyx+x31+y2dy=1dx 两边积分：x(1+x2)(1+y2)=cx2yx+x34. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解：原方程为： 1-ydy=-x+1dx yx两边积分：ln|xy|+x-y=c另外 x=0,y=0也是原方程的解。 5dy+(x-y)dx=0 解：原方程为：dy=-x-y dxx+y令y=u 则dy=u+xdu 代入有：-u+1du=1dx xdxdxu2+1xln(u2+1)x2=c-2arctgu 即 ln(y2+x2)=c-2arctgy. x26. xdy-y+x2-y2=
3、0 dx 解：原方程为： dy=y+|x|-1-(y2 dxxxx)则令y=u dy=u+ xdu xdxdx1 du=sgnx 1dx arcsiny=sgnx ln|x|+c 1-u2xx7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为：dy=dx tgyctgx两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny=1=c另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0. ccosxcosx所以原方程的通解为sinycosx=c. 28 dy+ey2+3x=0 解：原方程为：dy=eye3xdxydxy2 e3x2-3e-y=c. 9.x(lnx-lny)dy-ydx=0 解：
4、原方程为：dy=ylny dxxx令y=u ,则dy=u+ xdu u+ xdu=ulnu xdxdxdxln(lnu-1)=-ln|cx| 1+lny=cy. x10. dy=ex-y解：原方程为：dy=exe-y ey=cexdxdx11 dy=(x+y)2 解：令x+y=u,则dy=du-1 dxdxdxdu-1=u21du=dx arctgu=x+c arctg(x+y)=x+c dx1+u212. dy=1解：令x+y=u,则dy=du-1 dx(x+y)2dxdxdu-1=1 u-arctgu=x+c y-arctg(x+y)=c. dxu213. dy=2x-y+1 解: 原方程
5、为：dy=(2x-y+1)dx dxx-2y+1 xdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=0 dxy-d(y2-y)-dx2+x=c xy-y2+y-x2-x=c 14: dy=x-y+5 解：原方程为：dy=(x-y+5)dx dxx-y-2 xdy+ydx-(y+2)dy-(x+5)dx=0 dxy-d(1y2+2y)-d(1x2+5x)=0 22 y2+4y+x2+10x-2xy=c. 15: dy=(x+1) 2+(4y+1) 2+8xy+1解：原方程为：dy=2+3 dxdx令x+4y=u 则dy=1du-1 1du-1=u2+3 dx4dx44dx4du=4 u2+13
6、 u=3tg(6x+c)-1 tg(6x+c)=2(x+4y+1). dx2316:证明方程xdy=f(xy),经变换xy=u可化为变量分离方程，并由此求下列方程：ydx1） y(1+x2y2)dx=xdy 2） xdy=2+x2 y2 ydx2-x2y2 证明： 令xy=u,则xdy+y=du 则dy=1du-u，有：xdu=f(u)+1 dxdxdxxdxx2udx1du=1dx 所以原方程可化为变量分离方程。 u(f(u)+1)x1） 令xy=u 则dy=1du-u (1)原方程可化为： dxxdxx21 2） dydx=yx1+2 将1代入2式有： 1du-u=u(1+u2) u=u2
7、+2+cx xdxx2x17.求一曲线，使它的切线坐标轴间的部分初切点分成相等的部分。 解：设为所求曲线上任意一点，则切线方程为：y=y(x- x )+ y 则与x轴，y轴交点分别为： x= x0 - y y= y0 - x0 y 0y则x=2 x = x - y0所以 xy=c 5:(y+x)dy+(y-x)dx=0dyy-xydydu解：=,令=u,y=ux,=u+xdxy+xxdxdxduu+1u+11则u+x=,变量分离，得：-du=dx2dxu+1xu+1两边积分得：arctgu+12ln(1+u)=-lnx+c。2y18.求曲线上任意一点切线与该点的向径夹角为0的曲线方程，其中a
8、=p 。 解：由题意得：y= 002dy2=y+x-ydxydydu解：令=u,y=ux,=u+x,则原方程化为：xdxdx6：xay 1dy=1 dx ln|y|=ln|xc| y=cx. 4xyaxx 所以 c=1 y=x. =p 则y=tgdu=dxx2(1-u)x211,分离变量得：du=sgnxdx2x1-u-y=sgnxlnx+cx419.证明曲线上的切线的斜率与切点的横坐标成正比的曲线是抛物线。 证明：设(x,y)为所求曲线上的任意一点，则y=kx 则：y=kx两边积分得：arcsinu=sgnxlnx+c代回原来变量，得arcsin另外，y=22 +c 即为所求。 x2也是方程
9、的解。常微分方程习题2.1 1.dy,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解. 7：tgydx-ctgxdy=0解：变量分离，得：ctgydy=tgxdx两边积分得：lnsiny=-lncosx+c.y2dx=2xy 解：对原式进行变量分离得 212dy=2xdx,两边同时积分得：lny=x+c,即y=cex把x=0,y=1代入得 ydy8:=-dxe+3xy解：变量分离，得c=1,故它的特解为y=ex。2ey13xdy=-e+c23y2.ydx+(x+1)dy=0,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解. 解：对原式进行变量分离得： 2-1111dx=2dy,当y0时，两边同时积分得；lnx
10、+1=+c,即y=x+1yc+lnx+1y9:x(lnx-lny)dy-ydx=0yy解：方程可变为：-lndy-dx=0xxy1lnu令u=,则有：dx=-dlnuxx1+lnuy代回原变量得：cy=1+ln。xdyx-y10：=edx解：变量分离edy=edx两边积分e=e+c yxyx当y=0时显然也是原方程的解。当x=0,y=1时，代入式子得c=1,故特解是1y=。1+ln1+xdy=dxex-y解：变量分离，edy=yexdx3 1+dy=dxxy+yx2y两边积分得：e=11.dy=dxyex+c3 解：原式可化为： 1+ydy1+y1y1=显然0,故分离变量得dy=dx323dx
11、yyx+xx+x1+y1两边积分得ln1+222(x+y)2dydt=+1dxdxdt1原方程可变为：=+12dxt解：令x+y=t,则2y2=lnx-21ln1+22x22+lnc(c0),即(1+y2)(1+x)=cx2变量分离得：21+1tdt=dx,两边积分arctgt=x+c故原方程的解为代回变量得：arctg(x+y)=x+c4：(1+x)ydx+(1-y)xdy=01+x1-y解：由y=0或x=0是方程的解，当xy0时，变量分离dx=dy=0xy两边积分lnx+x+lny-y=c,即lnxy+x-y=c,故原方程的解为lnxy=x-y=c;y=0;x=0. 12dy1=dx(x+
12、y)2解令x+y=t，则2dydtdt1=-1，原方程可变为=2+1dxdxdxt变量分离tdt=dx，两边积分t-arctgt=x+c，代回变量t2+1x+y-arctg(x+y)=x+c 2 13.dy2x-y-1=dxx-2y+111,y=332-2t2=0时，即t=1，是方程(2)的解。得y2=x2-2或y2=-x2是原方程的解 解：方程组2x-y-1=0,x-2y+1=0;的解为x=-令x=X-令11dY2X-Y,y=Y+,则有=33dXX-2Y2当3+2t12-2t20时，分离变量得dt=dz两边积分的y2+x2=(y2-x2+2)5cz2-2t22-2U+2UYdU=U，则方程可化为：X=XdX1-2U变量分离另外 y2=x2-2，或y2=-x2，包含在其通解中，故原方程的解为y2+x2=(y2-x2+214,dyx-ydx=+5x-y-2解：令x-y=5=t,则dydtdx=1-dx,原方程化为：1-dtdx=tt-7,变量分离(t-7)dt-7dx两边积分122t-7t=-7x+c代回变量12(x-y+5)2-7(x-y+5)=-7x+c.15dydx=(x+1)2+(4y+1)2+8xy+1解：方程化为dy=x2+2x+1+16y2+8y+1+8xy+1=(x+4y+1)2+2 dx令1+x+4y=u，则关于x求导得1
