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1、线段、角的轴对称性知识讲解责编：杜少波【学习目标】 1理解线段的垂直平分线的概念，掌握线段的垂直平分线的性质及判定，会画已知线段的垂直平分线，能运用线段的垂直平分线的性质解决简单的数学问题及实际问题2. 理解角平分线的画法，掌握角平分线的性质，理解三角形的三条角平分线的性质，熟练 运用角的平分线的性质解决问题【要点梳理】要点一、线段的轴对称性1. 线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴.2. 线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；3. 线段垂直平分线的性质定理的逆定理：到线段两个端距离相等的点在线段的垂直平分线 上要点诠释： 线段的垂直平分线的性质是证明两
2、线段相等的常用方法之一.同时也给出了引辅助线的方法，那就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段， 直接或间接地为构造全等三角形创造条件.三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接 圆的圆心外心.要点二、角的轴对称性1. 角的轴对称性（1）角是轴对称图形，角的平分线所在的直线是它的对称轴.（2）角平分线上的点到角两边的距离相等.（3）角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.要点诠释：（1）用符号语言表示角平分线上的点到角两边的距离相等.（2）用符号语言表示角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.若PE丄AD于点E, PF丄B
3、D于点F, PE=PF，则PD平分ZADB2. 角平分线的画法角平分线的尺规作图(1) 以0为圆心，适当长为半径画弧，交0A于D,交0B于E.1(2) 分别以D、E为圆心，大于2 DE的长为半径画弧，两弧在ZAOB内部交于点C.(3) 画射线 0C.射线0C即为所求.【典型例题】类型一、线段的轴对称性a1、(2016天门)如图，在厶ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、BC于E，D两点,EC=4,AABC的周长为23,则厶ABD的周长为()A13 B15 C17 D19【思路点拨】根据线段垂直平分线性质得出AD=DC, AE=CE=4，求出AC=8, AB+BC=15, 求出 ABD的周长为A
4、B+BC，代入求出即可.【答案与解析】解：TAC的垂直平分线分别交AC、BC于E, D两点，.AD=DC, AE=CE=4,即 AC=8，.ABC的周长为23, . AB+BC+AC=23，.AB+BC=23 - 8=15,.ABD 的周长为 AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC=15,故选B.【总结升华】本题考查了线段垂直平分线性质的应用,能熟记线段垂直平分线性质定理的内 容是解此题的关键,注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等. 举一反三：【变式】（2015黄岛区校级模拟）某旅游景区内有一块三角形绿地ABC，如图所示，现要在道路AB的边缘上建一个休息点M,使它到A,
5、C两个点的距离相等.在图中确定休息点M的 位置.A【答案】解：作线段AC的垂直平分线交AB于M点，则点M即为所求.2、如图所示，如果将军从马棚M出发，先赶到河0A上的某一位置P,再马上赶到河 OB 上的某一位置Q,然后立即返回校场N.请为将军重新设计一条路线（即选择点P 和Q），使得总路程MP+PQ+QN最短.【思路点拨】通过轴对称变换，将MP转化为M P, QN转化为QN ,要使总路程MP+PQ+ QN最短，就是指M P+PQ+QN最短，而这三条线段在一条直线上的时候最短.【答案与解析】见下图作点M关于OA的对称点M，作点N关于OB的对称点N，连接MN交OA于P、交0B于 Q,则MPQf N
6、为最短路线.【总结升华】本题主要是通过作对称点的方法得出结论，并利用了对称线段相等，三角形两 边之和大于第三边的性质推得所作的图形符合条件，这是道综合性的应用问题.举一反三：【变式】如图所示，将军希望从马棚M出发，先赶到河OA上的某一位置P,再马上赶到河 OB上的某一位置Q.请为将军设计一条路线（即选择点P和Q）,使得总路程MP+PQ 最短.【答案】作点M关于OA的对称点M，过M作OB的垂线交OA于P、交OB于9 MP类型二、角的轴对称性3、如图，AABC 中，ZC = 90。，AC = BC, AD 平分ZCAB,交 BC 于 D, DE丄AB 于E,且AB = 6cm ,则厶DEB的周长为
7、（）A. 4cm B. 6cm C.10cmD. 以上都不对【答案】B;【解析】由角平分线的性质，DC=DE,ADEB的周长=BD +DE+BE =BD+DC+BE=AC+BE=AE+BE=AB = 6.【总结升华】将ADEB的周长用相等的线段代换是关键.举一反三：【变式】已知：如图，AD是厶ABC的角平分线，且AB : AC =爲迈，则 ABD与厶ACD的面积之比为（ ）A. 3： 2 B.朽：72C. 2： 3 D. x/2:J3【答案】B;提示:TAD ABC的角平分线，.点D到AB的距离等于点D到AC的距离，又TAB : AC二运:迈，贝y ABD与AACD的面积之比为朽:迈.4、如图
8、，0C是ZAOB的角平分线，P是0C上一点，PD丄0A交于点D, PE丄0B交于点 E，F是0C上除点P、0外一点，连接DF、EF，则DF与EF的关系如何？证明你的 结论.【思路点拨】利用角平分线的性质证明PD = PE，再根据“HL”定理证明厶0PD9A0PE,从而得到ZOPD=ZOPE，ZDPF=ZEPF.再证明 DPFEPF，得到结论.【答案与解析】 解：DF=EF.理由如下0C是ZAOB的角平分线，P是0C上一点，PD丄0A交于点D, PE丄0B交于点E,.PD=PE, 由HL定理易证厶0PD9A0PE, AZOPD=ZOPE,AZDPF=ZEPF. 在。卩卩与厶EPF中，PD = P
9、E ZDPF = ZEPF ,PF = PF.DPF9AEPF,DF=EF.【总结升华】此题综合运用了角平分线的性质、全等三角形的判定及性质由角平分线的性 质得到线段相等，是证明三角形全等的关键.5、(2015春启东市校级月考)如图，已知BD为ZABC的平分线，AB=BC,点P在BD 上, PM丄AD 于 M, PN丄CD 于 N,求证：PM=PN.【思路点拨】根据角平分线的定义可得ZABD=ZCBD,然后利用“边角边”证明 ABD和厶CBD 全等，根据全等三角形对应角相等可得ZADB=ZCDB,然后根据角平分线上的点到角的两边 的距离相等证明即可.【答案与解析】证明：.BD为ZABC的平分线
10、，.ZABD=ZCBD,在厶ABD和厶CBD中，rAB=BC ZABD=ZCBD ,、BD二ED.ABD9ACBD(SAS), .ZADB=ZCDB，点 P 在 BD 上, PM丄AD,PN丄CD, .PM=PN.【总结升华】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的判定 与性质，确定出全等三角形并得到ZADB=ZCDB是解题的关键.举一反三：【变式】如图，AD是ZBAC的平分线，DE丄AB,交AB的延长线于点E, DF丄AC于点F,且 DB=DC.求证：BE=CF.答案】证明：TDE丄AE, DF丄AC, AD是ZBAC的平分线,.DE=DF,ZBED=ZDFC = 90 在 RtABDE 与 RtACDF 中，J DB 二 DC DE = DF，.RtABDE9RtACDF (HL).BE=CF
