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1、北京市朝阳区-高三年级第二学期统一考试 数学试卷（理工类) 5(考试时间120分钟 满分150分)本试卷分为选择题（共40分)和非选择题(共1分)两部分第一部分(选择题共40分)一、选择题：本大题共8小题,每题5分,共40分在每题给出的四个选项中,选出符合题目规定的一项已知集合,则A B C D.2.复数（为虚数单位)在复平面内相应的点位于 .第一象限 .第二象限 C第三象限 D.第四象限开始输出的值结束是否3.执行如图所示的程序框图，输出的值为 A.6 B.10 C.14 D15已知非零向量，,“”是“”的.充足而不必要条件 B必要而不充足条件C充要条件 D.既不充足也不必要条件同步具有性质
2、:“最小正周期是；图象有关直线对称; 在区间上是单调递增函数”的一种函数可以是. 6.已知函数且的最大值为,则的取值范畴是 A. C. D.7.某学校高三年级有两个文科班,四个理科班，现每个班指定1人,对各班的卫生进行检 查若每班只安排一人检查,且文科班学生不检查文科班,理科班学生不检查自己所在的班，则不同安排措施的种数是 A B C D.8.已知正方体的棱长为2，是棱的中点，点在正方体内部或正方体的表面上，且平面,则动点的轨迹所形成的区域面积是 C D.第二部分（非选择题 共10分)二、填空题：本大题共6小题,每题分，共3分把答案填在答题卡上. 9双曲线的渐近线方程是 ;若抛物线的焦点与双曲
3、线的一种焦点重叠,则 1.如图,为外一点，是的切线,为切点,割线 与相交于两点,且,为线段的中点, 的延长线交于点.若,则的长为_；的值是 . 11已知等边的边长为3，是边上一点,若，则的值是_ 2已知有关的不等式组所示的平面区域为三角形区域，则实数的取值范畴是 .为了响应政府推动“菜篮子”工程建设的号召，某经销商投资60万元建了一种蔬菜生产基地第一年支出多种费用8万元，后来每年支出的费用比上一年多2万元.每年销售蔬菜的收入为26万元.设表达前年的纯利润(=前年的总收入前年的总费用支出-投资额),则 (用表达）;从第 年开始赚钱.14.在平面直角坐标系中,以点,曲线上的动点,第一象限内的点,构
4、成等腰直角三角形,且,则线段长的最大值是 三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字阐明,演算环节或证明过程.5.（本小题满分1分）在中，角,的对边分别是，,，已知， ()求的值; （) 若角为锐角,求的值及的面积.16.（本小题满分13分) 交通指数是交通拥堵指数的简称,是综合反映某区域道路网在某特定期段内畅通或拥堵实际状况的概念性指数值交通指数范畴为,五个级别规定如下：交通指数级别畅通基本畅通轻度拥堵中度拥堵严重拥堵某人频率组距交通指数值0.250.100.050.1502468100.2013579在工作日上班出行每次通过的路段都在同一种区域内,她随机记录了上班的4个工作日早高
5、峰时段(上午7点至9点)的交通指数（平均值)，其记录成果如直方图所示()据此估计此人60个工作日中早高峰 时段(上午7点至9点)中度拥堵的 天数；（)若此人上午上班路上所用时间近似为： 畅通时3分钟，基本畅通时35分钟， 轻度拥堵时4分钟,中度拥堵时50 分钟，严重拥堵时70分钟，以直方图 中多种路况的频率作为每天遇到此种 路况的概率，求此人上班路上所用时间的数学盼望.17（本小题满分14分） 如图1,在等腰梯形中,，为中点,点分别为的中点将沿折起到的位置，使得平面平面(如图)()求证：；（)求直线与平面所成角的正弦值；（）侧棱上与否存在点,使得平面? 若存在,求出的值；若不存在,请阐明理由.
6、ECDBA图1BFOCDA1E图28 (本小题满分13分)已知函数，（）当时，求曲线在点处的切线方程;（)当时,若曲线上的点都在不等式组所示的平面区域内，试求的取值范畴.9.（本小题满分1分） 在平面直角坐标系中,点在椭圆上，过点的直线的方程为.()求椭圆的离心率；(）若直线与轴、轴分别相交于两点，试求面积的最小值；（)设椭圆的左、右焦点分别为，点与点有关直线对称,求证:点三点共线.20.(本小题满分13分）已知集合,且若存在非空集合,使得，且，并，均有，则称集合具有性质,（）称为集合的子集.(）当时，试阐明集合具有性质，并写出相应的子集;（)若集合具有性质，集合是集合的一种子集,设，求证：,
7、，均有;(）求证：对任意正整数，集合具有性质北京市朝阳区-第二学期高三年级统一考试 数学答案（理工类) 5一、选择题:(满分4分） 题号3567答案ABBCDADC二、填空题:(满分30分)题号91011211答案,1,（注:两空的填空,第一空3分，第二空2分)三、解答题:（满分80分）(本小题满分分）解:()由于，且 ， 因此.由于, 由正弦定理，得6分() 由得. 由余弦定理,得 解得或(舍负）. 因此 13分解： (）由已知可得：上班的40个工作日中早高峰时段中度拥堵的频率为.5， 据此估计此人26个工作日早高峰时段(上午7点至点）中度拥堵的天数为 60.25=天 5分（)由题意可知的也
8、许取值为 且;；; ;；因此 13分ECDBA图117(本小题满分14分)解:(）如图，在等腰梯形中,由，,为中点,所觉得等边三角形如图2,CBFODA1E由于为的中点，因此.又由于平面平面,且平面平面，因此平面,因此.4分()连结，由已知得，又为的中点， 图2 因此A1xzXyzXzzXFOBCDEP由（）知平面，因此,因此两两垂直觉得原点,分别为轴建立空间直角坐标系(如图）.由于,易知因此，因此.设平面的一种法向量为， 由 得 即 取,得.设直线与平面所成角为，则因此直线与平面所成角的正弦值为. 分（)假设在侧棱上存在点，使得平面. 设,.由于，因此.易证四边形为菱形,且,又由（)可知,，
9、因此平面所觉得平面的一种法向量由,得因此侧棱上存在点，使得平面，且 14分18（本小题满分13分）解：(）当时, , 则,而因此曲线在点(，)处的切线方程为，即 4分()依题意当时，曲线上的点都在不等式组所示的平面区域内，等价于当时，恒成立. 设，因此(1）当，即时，当时，,为单调减函数,因此. 依题意应有解得因此（2)若 ,即时,当，,为单调增函 数， 当，为单调减函数 由于,因此不合题意 (3)当,即时,注意到，显然不合题意. 综上所述，. 13分9(本小题满分14分)解:(）依题意可知,， 因此椭圆离心率为. 3分（)由于直线与轴,轴分别相交于两点,因此令,由得,则 令,由得，则. 因此
10、的面积. 由于点在椭圆上,因此 因此即,则.因此.当且仅当,即时，面积的最小值为9分（）当时,.当直线时，易得,此时，. 由于，因此三点共线. 同理,当直线时，三点共线.当时,设点，由于点与点有关直线对称， 因此整顿得解得 因此点 又由于， 且 因此.因此点三点共线. 综上所述,点三点共线 14分20.(本小题满分3分)证明:（)当时，,令，,则， 且对,均有,因此具有性质相应的子集为,. 3分(）若,由已知,又,因此.因此若,可设,且， 此时. 因此,且.因此若, ，则,因此.又由于,因此.因此因此综上,对于，,均有. 8分（）用数学归纳法证明(1）由（）可知当时，命题成立，即集合具有性质（2）假设(）时,命题成立即,且,均有.那么 当时，记，, 并构造如下个集合：,，,， 显然.又由于,因此.下面证明中任意两个元素之差不等于中的任一元素. 若两个元素,则,因此 若两个元素都属于，由（）可知,中任意两个元素之差不等于中的任一数.从而,时命题成立综上所述,对任意正整数，集合具有性质.1分
