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1、平行四边形的性质教案例1 如图，O是ABCD对角线的交点OBC的周长为59，BD=38，AC=24，则AD=_若OBC与OAB的周长之差为15，则AB=_，ABCD的周长=_.分析：由平行四边形对边相等知AD=BC，由平行四边形的对角线互相平分，可知OBC与OAB的周长之差就为BC与AB之差，可得AB，进而可得ABCD的周长OBC的周长-OAB的周长=(OBOCBC)-(OBOA+AB)=BC-AB=15AB=13ABCD的周长=ABBCCDAD=2(ABBC)=2(1328)=82说明：本题条件中的“OBC占OAB的周长之差为15”，用符号语言表示出来后，便容易发现其实质，即BC与AB之差是
2、15例2 判断题(1)两条对边平行的四边形叫做平行四边形 ( )(2)平行四边形的两角相等 ( )(3)平行四边形的两条对角线相等 ( )(4)平行四边形的两条对角线互相平分 ( )(5)两条平行线中，一条直线上任一点到另一条直线的垂线段叫做两条平行线的距离 ( )(6)平行四边形的邻角互补 ( )分析：根据平行四边形的定义和性质判断解：(1)错“两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形”是两组对边，而不是两条对边如图四边形ABCD，两条对边ADBC显然四边形ABCD不是平行四边形(2)错平行四边形的性质定理1，“平行四边形的对角相等”对角是指四边形中设有公共边的两个角，也就是相对的两个角(3)
3、错平行四边形的性质定理3，“平行四边形的对角线互相平分”一般地不相等(矩形的两条对角线相等)(4)对根据平行四边形的性质定理3可判断是正确的(5)错线段是图形，而距离是指线段的长度，是正值，正确的说法是：两条平行线中，一条直线上任一点到另一条直线的垂线段的长度叫做这两条平行线的距离(6)对由定义知道，平行四边形的对边平行，根据平行线的性质可知平行四边形的邻角互补例3如图，在ABCD中，E、F是AC上的两点且AE=CF求证：EDBF分析：欲证DEBF，只需DEC=AFB,转证ABFCDF,因ABCD，则有ABCD，从而有BAC=DCA再由AF=CF得AF=CE满足了三角形全等的条件证明：AE=C
4、FAE+EF=CF+EFAF=CE在ABCD中ABCD(平行四边形的对边平行)BAC=DCA(两直线平行内错角相等)AB=CD(平行四边形的对边相等)ABFCDE(SAS)AFB=DECEDBF(内错角相等两直线平行)说明：解决平行四边形问题的基本思想是化为三角形问题来处理例4 如图，已知在ABC中，DEBCFG，若BD=AF，求证：DEFG=BC分析1：要证DEFG=BC由于它们是平行线，由平行四边形定义和性质考虑将DE平移到BC上，为此，过E(或D)作EHAB(或DMAC)，得到DE=BH、只需证HC=FG，因AF=BD=EH，CEH=A，AGFC，所以AFGEHC此方法称为截长法分析2：
5、过C点作CKAB交DE的延长线于K，只需证FG=EK，转证AFGCKE证法1：过E作EHAB交BC于HDEBC四边形DBHE是平行四边形(平行四边形定义)DB=EHDE=BH(平行四边形对边相等)又BD=AFAF=EHBCFGAGF=C(两直线平行同位角相等)同理 A=CEHAFGEHC(AAS)FG=HCBC=BH+HC=DE+FG即DE+FG=BC证法2： 过C作CKAB交DE的延长线于K.DEBC四边形DBCK是平行四边形(平行四边形定义)CK=BD DK=BC(平行四边形对边相等)又BD=AFAF=CKCKABA=ECK(两直线平行内错角相等)BCFGAGF=AED(两直线平行同位角相
6、等)又CEK=AED(对顶角相等)AGF=CEKAFGCKE(AAS)FG=EKDE+EK=BCDE+FG=BC例5 如图ABCD中，ABC=3A，点E在CD上,CE=1，EFCD交CB延长线于F，若AD=1，求BF的长分析：根据平行四边形对角相等，邻角互补，可得C=F=45进而由勾股定理求出CF，再根据平行四边形对边相等，得BF的长解：在ABCD中，ADBCAABC=180(两直线平行同旁内角互补)ABC=3AA=45，ABC=135C=A=45(平行四边形的对角相等)EFCDF=45(直角三角形两锐角互余)EF=CE=1AD=BC=1例6 如图1，ABCD中，对角线AC长为10cm，CAB
7、=30，AB长为6cm，求ABCD的面积解：过点C作CHAB，交AB的延长线于点H(图2)CAB=30ABCH65=30(cm2)答：ABCD的面积为30cm2说明：由于=底高，题设中已知AB的长，须求出与底AB相应的高，由于本题条件的制约，不便于求出过点D的高，故选择过点C作高例7 如图，E、F分别在ABCD的边CD、BC上，且EFBD求证：SADE=SABF分析：运用平行四形的性质，利用三角形全等，将其转化为等底同高的三角形证明：将EF向两边延长分别交AD、AB的延长线于G、H.ABCD DEABDEG=BHF(两直线平行同位角相等)GDE=DAB(同上)ADBCDAB=FBH(同上)GD
8、E=FBHDEBH，DBEH四边形BHED是平行四边形DE=BH(平行四边形对边相等)GDEFBH(ASA)SGDE=SFBH(全等三角形面积相等)GE=FH(全等三角形对应边相等)SADE=SAFH(等底同高的三角形面积相等)SADESABF说明：平行四边形的面积等于它的底和高的积即=ahaa可以是平行四边形的任何一边，h必须是a边与其对边的距离即对应的高，为了区别，可以把高记成ha，表明它所对应的底是a例8 如图，在ABCD中，BE平分B交CD于点E，DF平分D交AB于点F，求证BF=DE证明：四边形ABCD是平行四边形DEFB，ABC=ADC(平行四边形的对边平行对角相等)1=3(两直线
9、平行内错角相等)1=22=3DFBE(同位角相等两条直线平行)四边形BEDF为平行四边形(平行四边形定义)BF=DE(平行四边形的对边相等)说明：此例也可通过ADFCBE来证明，但不如上面的方法简捷例9 如图，CD的RtABC斜边AB上的高，AE平分BAC交CD于E，EFAB，交BC于点F，求证CE=BF分析：作EGBC，交AB于G，易得EG=BF再由基本图，可得EG=EC，从而得出结论证明：过E点作EGBC交AB于G点EGA=BEFABEG=BFCD为RtABC斜边AB上的高BACB=90BACACD90B=ACDACD=EGAAE平分BAC1=2又AE=AEAGEACE(AAS)CE=EG
10、CE=BF说明：(1)在上述证法中，“平移”起着把条件集中的作用(2)本题也可以设法平移AE(过F点作FGAE，交AB于G)例10 如图，已知ABCD的周长为32cm，ABBC=53，AEBC于E，AFDC于F，EAF=2C，求AE和AF的长分析：从化简条件开始由ABCD的周长及两邻边的比，不难得到平行四边形的边长EAF=2C告诉我们什么？这样，立即可以看出ADF、AEB都是有一个锐角为30的直角三角形再由勾股定理求出解：ABCD的周长为32cm即AB+BC+CD+DA=32AB=CD BC=DA(平行四边形的对边相等)又ABBC=53EAF+AFC+C+CEA=360(四边形内角和等于360)AEBC AEC=90AFDC AFC=90EAF+C=180EAF=2CC=60ABCD(平行四边形的对边平行)ABE=C=60(两直线平行同位角相等)同理ADF=60说明：化简条件，化简结论，总之，题目中哪一部分最复杂就从化简那一部分开始，这是一种常用的解题策略，我们把这种解题策略称为：从最复杂的地方开始它虽简单，却很有效
