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1、浅谈数学美与数学教学 【标题】?浅谈数学美与数学教学 【作者】李 书 杰 【关键词】?数学美数学审美数学教学 【指导老师】王 玲 芝 【专业】数学与应用数学 【正文】1. 引言数学蕴涵着丰富的美，在数学教育中，深入挖掘并艺术地表现出数学美的特征，不仅能够促使学生对数学学习的兴趣和探求知识的欲望，而且能够培养学生感受美、鉴赏美、创造美和运用美的能力。其实，对于“数学美”，数学家普洛克斯就说过：“哪里有数学，哪里就有美。”，古希腊最伟大的哲学家亚里士多德也曾说过：“虽然数学没有明显地提到善和美，但善和美也不能完全分离，因为美的主要形式就是秩序、匀称和确定性，这些正是数学研究的原则。”而在我国古代的
2、著作庄子?天下篇中，对“变量的极限是零”这个“无穷小”定义是这样进行描述的：“一尺三棰，日取其半，万世不竭”。即当天数无限增加时，棰长这个变动的量，就是一个“无穷小量”，美妙的形象思维，给人以无限的遐想。当今，数学美越来越受到人们的重视，但是现在依然没有数学美的专门文章或论著。我国数学家徐利治曾指出：“由于数学中的美学方法的研究，毕竟属于科学的美学方法的一个新兴分支，许多理论尚未完全成熟，需要有一个发展阶段。”?所以，一直到今天“数学美”仍然是一个值得我们研究的课题，而把数学教学与其联系起来探讨却是本文的主要思想。2. 数学美数学美这一名词在数学教育界已不算是什么新概念。但如果要问：数学美不美
3、？肯定有人感到茫然，认为似乎数学无美可言。假如数学教学能使学生感受到数学中的美，以至于对数学产生很深的感情，那么学生在学习数学时就不会再觉得枯燥而无味。在孙子算经中，记述了这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”由于它富有趣味性和思考性，一直到现在，师范课本中在讲述“同余理论”时，一般就用它来作引例。这就不得不让人感叹数学是多么的美妙！而最容易为人们所接受的数学中的美是来自于几何图形中的美。我们从古墓里挖出的大量文物中，无论是淘器，青铜器还是丝织品，上面的图案往往是几何图形；在古建筑中，特别是寺庙和宫殿的天花板上的藻井图案也大多是几何图形，这些图形
4、的局部对称以及整体的重复，构成了千变万化的连续图案。在教学中，就可以不失时机地培养学生对基本图形强烈的美感。如圆显得柔和而完美无缺，等腰三角形具有稳定感，正方形不偏不斜显示安祥，正弦曲线的流畅感，边数越多的正多边形就显得越加丰满那么，到底什么是数学美呢？美国麻省理工大学的柔塔（GC.Rota）教授就数学美所涉及的具体对象而言，首先指出，最经常的是数学定理，其次则是数学证明。但是，数学美也可被用于其它的数学对象，包括整体性的数学理论，证明中的某个特定步骤，以及数学定义等。“作为科学语言的数学，具有一般语言的文学与艺术所共有的美的特征，即数学在其内容结构上和方法上也都具有其自身的某种美，即所谓数学
5、美的含义是丰富的，如数学概念的简单性，统一性，结构系统的协调性，对称性，数学命题与数学模型的概括性、典型性和普遍性，还有数学中的奇异性等等都是数学美的具体内容。”这是我国数学家徐利治所说过的一段话。虽然数学美有着丰富的含义，我们并不能给它下一个明确定义，也不能认为它有一种绝对的意义，但我们却可以这样说：数学具有一般语言文学与艺术所共有的美的特点，即数学在其内容结构上、方法上都具有自身的某种美即所谓数学美。它是数学对象与人脑等认识器官交互作用而在二者之间建立起来的某种良好的条件反射，其形态特征是作为人脑思维产物的数学概念、数学定理和数学公式等所呈现出来的简单性、对称性、和谐性、奇异性以及相似性。
6、于是，数学美可以说是客观存在的，只是因为我们每个人在审美观和理解力水平上存在着不可以避免的差异，由此而产生的美感必然是因人而异的。在教学中，如果能使学生获得美感，就可以提高他们的学习兴趣，培养他们的数学审美能力。3.利用数学美培养学生的数学审美能力利用数学中的美可以培养学生的审美意识乃至审美能力。假使在数学教学过程中，可以使学生拥有了数学审美能力，那么他们就会发现数学的美好，便会越来越喜欢数学，从而更轻松的学习好他们原本认为枯燥而无味的数学学科。审美意识是人们感受、鉴赏和创造各种美好事物的一种自觉心理状态；审美能力则是它的外部表现,即人们在实践中审美行为，作为人类大脑独特创造的数学，其中充满了
7、美好的事物，理应成为人们的审美对象(之一)。一般来说，人们的审美意识和审美能力（包括数学审美能力）是各不相同的，大致可以分为这样几种：一是感受美的能力，二是鉴赏美的能力，三是创造美的能力，四是运用美的能力。3.1?培养学生感受美的能力数学审美感受能力的培养，是数学审美的启蒙教育，幼儿对形体、形象的美感，几乎是同他们的数感同时发生和发展的。有人曾对23岁的婴儿做过一些实验，许多不同形状的物体，他们最喜欢的是球形，“球球”，“1”，“2”，等，是他们最早学会的词汇中的几个，“苹果”，“球球”，“香蕉”，“果冻”等的美丽形体和鲜艳色彩以及“1个”，“2个”等数词，一同进入他的头脑，所谓“审美之心，人
8、皆有之”，正是与这种审美的启蒙教育有关。如此看来，在我们还是幼儿之时就已经接受了美的教育。而数学美又有别于我们对自然美的那种感觉，可以说鲜花在每个人的眼里都是美丽的，但对于三角形的三条高交于一点的现象所呈现出的美，是否每个人都感受到了呢？不。而对于这类人我们也不能同日而语：其中的一类人，他们对于这一现象知之甚少，自然使得他们无法体会到这种现象中的美，但如果对他们能加以合理的引导和教育，我想他们是能有所感悟的；而另一类人，他们则是因早已掌握了这一现象的原委，知晓了其中所蕴涵着的理论依据，在他们看来这只不过是三角形一个固有的性质，无法再感受到发现这一现象时的惊异之情，从而也就无法产生本文所论及的美
9、感了。数学教学中，运用美的形式去感染、诱发学生，引导学生掌握数学美的特点，发现美的规律，感知美的客观存在。?已知且?，?求?的最大值。析解因，?则有?，（称此式为（1）式），即有，所以?4，而等号在当且仅当?时?，也就是时等号成立。这道题的方法美表现在公式?与具体公式（1）的和谐性、对称性与恰到好处的平衡，还表现在?拆开为?的形式美和井然有序，这样就使学生在教学中得到了美的感知。3.2?培养学生鉴赏美的能力数学美的鉴赏能力是指在感受到数学之美的基础上，对美好对象加以鉴别、玩味、欣赏、评价的能力。这不仅是对美的更深切的感受，而且有了对审美对象的分析思考，对美丑程度有了识别，对美的类型，形态有所领
10、悟和按某种（自己心目中的）标准进行的评价。由于审美鉴赏能力有了更多的理性因素的参与，因而是由感受和赞叹自然美上升到了鉴赏人类自己的创造物之美。数学美是一种科学美，是潜藏于自然的感性美之后的理性美，而理性美是具有理性的人才能把握的，因而科学美必然带有浓厚的主观色彩，所以我们说，虽然文学、艺术、音乐、绘画、雕塑，甚至是体育比赛，鉴赏起来也需要一定的相关的素养和鉴赏力，也有“外行看热闹，内行看门道”之说，那么数学美呢？“外行”也许连“热闹”也看不成。这说明，数学美的鉴赏力需要通过数学教学着意地培养，它是不会在数学教学过程中自发地形成的。在数学教学中，学了数学，却对数学美茫然无知，更缺乏数学美的鉴赏能
11、力，这样的事情多了，恐怕现在还常有发生。然而数学审美鉴赏力是可以培养的。学生通过数学学习是可以形成和发展的。在义务教育阶段，就可以培养对数学结构美，奇异美，语言美等能力。?在?中，求证：?。析解欲证的数学问题的左边是边的关系，右边是边与角的关系，表面上看其左右两边既不对称也不简洁，更不协调统一，一看无从下手，有“山重水复无疑路”之感，然而，等式两边都是关于?和?的对称式。在教学中，让学生从美的问题中找到美，发掘美。事实上，利用余弦定理，把角转化为边,?由不对称到对称，从不协调到协调，从不统一到统一，使学生受到数学美的陶冶。通过总结规律让学生发现数学的内在美，因为反映三角形边，角关系的有正弦定理
12、和余弦定理，所以既可以把角之间的关系转化为边之间的关系，也可以把边之间的关系转化成角之间的关系。3.3?培养学生创造美的能力审美创造力是一种表现美、创造美的能力，我们的数学教育当然不是把每一个学生都培养成数学家，但培养创新精神以及创造力则是不能不考虑的。关于数学审美创造力的培养需要从日常教学中的点滴做起，要象“知时节”的好雨，抓住适当时机，点滴参透，这样才能在学生心灵中播下创造美的火种。一个“幼稚”的问题，一条“奇怪”的思路，甚至在错答解题中，都可能蕴藏着合理的成分，珍贵的幼芽。所以教学中，就得抓住学生思维的点滴火花。在解题过程中，就要时刻注意培养学生的审美创造能力。过椭圆?上的任意一点?做线
13、段?，且?被直线?垂直平分，求?的轨迹方程。析解?因为点?与?关于直线?是对称点，所以用?及?，代入上面的椭圆方程得：即，为?的轨迹方程。可见，利用数学美的对称性我们就能出奇制胜地找出最佳解题途径。这样，学生在解题过程中，就有了审美创造的过程，于是便可以使学生自觉地主动地追求美，提高创造美的能力。3.4?培养学生运用美的能力数学美的表现形式有很多，而最主要的特性有简单性、对称性、相似性、和谐性以及奇异性，在教学中，让学生学会运用这五种基本特性，可以帮助他们理解和应用所学知识，寻求奇妙、简洁的解决问题的方法。而在解题过程中，充分展示数学的简洁美、对称美、和谐美等各种数学美，可使学生对数学产生好奇
14、心，使他们惊叹“如此绝妙”之后，为之折服，从而就有了追求数学美的欲望。在数学教学过程中，让学生理解数学的美，通过数学概念的概括，公式的推导，方法的获得，让学生知道数学美表现在哪里，如何从数学美的角度来评判解题方法的优劣，怎样在美的启迪下，寻求新的解题方法，这就要求学生有运用数学美的能力。数学的简单性是指数学的表述形式和理论体系结构的简洁。法国哲学家狄德罗说“算学中所谓美的问题，是指一个难以解决的问题而所谓美的回答，则是指对于困难而复杂的问题的简单回答”。有许多数学题，表面形式很复杂，但其本质总是存在简单的一面，在解题中，如果能引导学生探求解题方法的简捷性，那么就可以激发学生的兴趣，培养他们的积
15、极探索精神。?.1若?1,?求方程?=?的实数根。析解不少资料介绍过此题的解法，即两次平方整理成关于?的一元二次方程来解，凭知觉判断这种解法似乎不太简单，于是我们就寻求更为简捷的做法，如果充分运用算术平方根的定义，则有下述解法：令 y=?，则，代入原方程，两边平方，整理可得?：?，由已知有?，则?，即?，于是就可求出：.2已知?，求?的值。析解此题是已知等式，求代数式的值，若将?解出来，再带入求值，过程不免有些麻烦，可把?先变形，再求解：?，已知?，所以?，这样岂不简单？由此可见数学的迷人之处，就在于能用最简单的方式来揭示现实世界中的量及其关系，而最简单的数学结构最能给人以美的享受。当然我们还
16、能在数学教学中找出许多简洁美的例子来。如代数运算中的乘法与幂的运算，它们就分别是加法与乘法的简化形式；同样，对数运算也可视为是出于对运算的简洁美的追求所得的结果；又如二进制的出现，就是从逻辑关系的简洁性所引出的结果，而最终它导致了计算数学的革命，并为数学的发展开创了一个新的领域。?对称美数学的对称性被数学家看作是数学美的最重要特征。几何图形，数量关系结构的对称，数学概念，数学方法的对偶无不显示着数学美的魅力，于是，通过构造使问题转化为完善美的对称问题，从而使问题化繁为简，化难为易。.1如图所示?，?为?上一点，?；?为?上一点，?=8?；?为?上任意一点；?为?上任意一点，求折线?长度的最小值。析
