《广东省南民私立中学高三数学第一轮复习函数的连续性》由会员分享，可在线阅读，更多相关《广东省南民私立中学高三数学第一轮复习函数的连续性（5页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第四节 函数的连续性一、知识归纳1、知识精讲： (1)函数连续性的概念:如果函数f(x)在x=x0处及其附近有定义,而且,就说函数f(x)在x=x0处连续。注：函数f(x)在x=x0处连续必须具备三个条件：）函数f(x)在x=x0处及其附近有定义；）函数f(x)在x=x0处有极限；）函数f(x)在x=x0处的极限值等于这一点处的函数值f(x0)。右连续（或左连续）：如果函数f(x)在x=x0处及其右侧（或左侧）有定义，而且（或）。若函数f(x)在(a,b)内每一点都连续,且在a点右连续，b点左连续，则称f(x)在闭区间a,b上连续。注：函数f(x)在(a,b)内连续，只要求在(a,b)内每一点
2、都连续即可，对在端点处是否连续不要求。(2)函数连续性的运算:若f(x)，g(x)都在点x0处连续，则f(x)g(x)，f(x)g(x)，(g(x)0)也在点x0处连续。若u(x)都在点x0处连续，且f(u)在u0=u(x0)处连续,则复合函数fu(x)在点x0处连续。(3)初等函数的连续性:基本初等函数（指数函数，对数函数，三角函数等）在定义域里每一点处都连续。基本初等函数及常数经过有限次四则运送所得到的函数，都是初等函数，初等函数在其定义域里每一点处的极限都等于该点的函数值。（3）图甲表示的是f(x)在点x0处的左、右极限存在但不相等，即不存在图乙表示的是f(x)在点x0处的左极限存在、右
3、极限不存在，也属于不存在图丙表示的是存在，但函数f(x)在点x0处没有定义图丁表示的是存在，但它不等于函数f(x)在点x0处的函数值。2、重点难点：判断函数在某点（区间）的连续性是难点。3、 思维方法： 4、 特别注意：函数f(x)在x=x0处连续与函数f(x)在x=x0处有极限的联系与区别。“连续必有极限，有极限未必连续。” 二、 问题讨论例1：讨论下列函数在给定点或区间上的连续性 （1） ，点x=0； （2），区间0,2。 （3），点x=1。解：（1）当x0时，因此=1，而=1，在x=0处极限不存在，因此在x=0处不连续。（2）在x=2处无定义，在x=0处不连续，因此在0,2上不连续。（3
4、），因此函数在x=1处连续。【思维点拨】函数在某点连续当且仅当函数在该点左、右连续（闭区间的端点例外）。【变式】（1）指出下列函数的不连续点：； ； （2）已知，确定常数a，使存在。（3）利用函数的连续性求下列函数的极限：求；求；，求。【解】（1）x=1或x=2；x=k（kZ）；f(x)在x=1处不连续。（2）a=-2； （3）由于在处连续，所以；由于在处连续，所以；由于在处连续，所以；例2：讨论函数的连续性；适当定义某点的函数值，使在区间(3,3)内连续。 解：显然函数的定义域为，当时，在上连续，在上连续。而在处不连续。又，不妨设，于是此时，在区间(3,3)内连续。【思维点拨】定义该点的函数
5、值等于该点的极限值，可使得函数在该点连续。例3：已知函数(1) 讨论f(x)在点x=-1,0,1处的连续性；（2）求f(x)的连续区间。【分析】讨论函数在某点的连续性要依靠定义，先研究函数在此点的左、右极限是否存在。【解】(1) ，所以不存在，所以f(x)在x=-1处不连续。但，所以f(x)在x=-1处右连续，左不连续。不存在，所以不存在。所以f(x)在x=1处不连续，但左连续，右不连续。，所以f(x)在x=0处连续。（2）f(x)中，区间上的三个函数都是初等函数。因此f(x)除不连续点x=1外，再无不连续点，所以f(x)的连续区间是。（易证f(x)在x=5处左连续）【探究】处理函数的连续性问
6、题，若能画出图象，可先作出函数的图象。对照图象能较准确地解决这类问题。讨论：，（1）求在点处的左右极限，在点处的极限是否存在。（2）在点处是否连续？（3）求 函数的连续区间。（4）求解：（1）不存在。（2）由（1）知在点处不连续；（3）函数的连续区间为（4）点均在连续区间内，例4：利用连续函数的图象特征，判断方程：是否存在实数根。 解：设，则在R上连续，又，因此在3，0内必存在点x0使得，所以x0是方程的一个实数根，因此方程有实根。 【思维点拨】要判断方程是否有实根，即判断对应的连续函数的图象是否与x轴有交点。三、课堂小结1函数f(x)在x=x0处连续必须具备三个条件：）函数f(x)在x=x0处及其附近有定义；）函数f(x)在x=x0处有极限；）函数f(x)在x=x0处的极限值等于这一点处的函数值f(x0)。2如果函数f(x)在闭区间a,b上是连续函数，那么函数f(x)在闭区间a,b上有最大值和最小值。四、布置作业：P467能力提高五、课后小结- 4 -用心 爱心 专心
