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1、平均数教学再认识渝中区大坪小学 袁懿【聆听平均数】公元前4世纪，关于古印度国王潘纳“估计树上树叶和果实数目”的故事是平均数最早的典型例子。最初的平均数是用来估计大数的，直到19世纪，平均数才作为一种数据处理的方法而出现。平均数是统计学中最基本、最常用的统计量。小学数学里的平均数一般指算术平均数，它是一组数据的和除以这组数据的个数所得的商，表示了统计对象的一般水平。在生活中，常见的有平均速度、平均身高、平均成绩等。一、初识平均数2013年，初出茅庐的我第一次执教了人教版小学数学实验版三年级下册平均数一课。静静地在脑海里翻阅当时的教学场景，通过例1“收集矿泉水瓶”的情境引导学生采用“移多补少”和“
2、计算”的方法求平均数成为了课堂教学的重点，借助“小河平均水深13分米，小马身高14分米，小马能安全过河吗？”的练习题向学生渗透平均数表示一般水平成为了课堂教学的难点和延伸点。从记录的教学后记可看出，课堂更倾向于用“计算”的方法求平均数的教学，导致学生对“移多补少”的方法掌握情况较差，不利于培养学生的几何直观能力；课堂忽略了理解平均数的意义的教学，导致大部分学生对“小马不能安全过河”的原因仍然含糊不清、模棱两可，不利于推进学生对数学本质的探索。二、再识平均数2018年5月，带着自己和团队对数学教学的思考，我参加了渝中区基于“学科核心素养”的小学数学教师优质课竞赛（片区复赛）活动。本次赛课，我执教
3、了人教版小学数学修订版四年级下册平均数一课。再次教学平均数，在教材变化、教学前测、教学设计、教学实践、教学感悟上让我多了一些思考，多了一些成长。（一）平均数教材变化对比人教版小学数学实验版和修订版教材（见图一），平均数的呈现有3个方面的变化：一是年段的变化。在实验版教材中，平均数安排在了三年级下册，改版后的教材则在四年级下册进行学习。平均数具有一定的抽象性，从第一学段到第二学段，这样的调整符合学生的认知基础、思维水平和数学能力，有利于学生深入理解平均数的意义。二是内容的变化。实验版和修订版教材对于例1的表达大抵相同，均采用象形统计图的方式呈现“小组四个学生收集矿泉水瓶的平均数量” 的问题情景，
4、引导学生求平均数、理解平均数。但修订版教材通过“小精灵的话”明确提出了“平均数”这一概念，真正实现了从算法向意义的转变。三是目标的变化。实验版教材教师用书对“平均数”的教学目标要求为“使学生理解平均数的含义，初步学会简单的求平均数的方法，理解平均数在统计学上的意义”。修订版教材依据数学课程标准（2011版）将目标确定为“体会平均数的作用，能计算平均数，能用自己的语言解释其实际意义”。可看出，修订版教材趋向于对数据的分析，更注重学生对平均数意义的理解及其在统计学上的运用。图一：教材的变化即教学的变化。如何通过有效地教学活动顺应教材的变化，如何通过把握学生的学习起点设计教学活动，如何抓住平均数的数
5、学本质达到良好的教学效果成为了关键。（二）平均数教学前测教学设计前，对我校四年级各层次学生共计42名进行了“平均数”前测练习。（见图二）图二：题目的设计主要是为了了解学生在“平均数的意义、平均数的求法、平均数的作用和在生活中的应用”三个方面的已有经验。关于平均数的意义，学生认知情况见表一（第空）和表二（第空）。表一：回答情况人数备注总人数人数7人其中1人表示为 ？=91分。2人评价班级水平15人学生用“成绩中等、有点差、考得不错、班级排在第3名” 等词语来描述。关注学生个体6人学生用“有些人是91分以下；大多数人在91分以下；每个人都考上了91分；上91分的人最多；有几个人把平均分拉低了”等语
6、句来描述。91分是及格分5人91分是平均分7人表二：题号回答情况人数备注多39人第题填“相等”的3人在第题分别填了“91分以下就没上平均分；成绩不是很好；成绩还行”。 第题填“相等”中的1人在第题仍然填“相等”。相等3人少41人相等1人1班1人理由：因为我喜欢4（1）班。2班1人理由：因为4（2）班平均分高。4班1人理由：因为4（4）班91分以上的人最多。3班39人理由：因为4（3）班平均分高。关于平均数的求法，学生完成情况见表三（第空）。表三：回答情况人数备注正确33人其中32人采用“（12+8）2=10（本）”的方法，采用分步计算的学生较多； 1人采用“42=2（本）8+2=10（本）”的
7、方法，此方法可理解为“移多补少”的过程，询问学生解题思路不能表达；无人在统计图上进行“移多补少”。错误9人其中2人数据收集错误，写成“（12+10）2=11（本）”；7人不会做，错误情况五花八门。关于平均数的作用和在生活中的应用，学生回答情况见表四（第空）。表四：回答情况人数备注考试平均分14人对升学有帮助公平4人踢毽人数不同时用平均数很公平平均分东西6人分蛋糕；二年级的“平均分”知识其他18人学生乱回答：家人脾气、开心和生气、笔、平时努力程度等对平均数前测结果的统计有效地反映出学生在这3个方面的真实情况：一是平均数的意义。针对“平均分91分表示什么意思？”这样的问题，大部分学生不能用数学语言
8、进行表达，可看出学生在认知上缺乏对“平均数是什么”的建构。二是平均数的求法。在二年级“平均分”知识的基础上，大部分学生具备了用计算的方法（即总数份数）求平均数的经验，仅1人拥有进行“移多补少”求平均数的能力，前测学生不具备结合统计图不计算求平均数的能力。三是平均数的作用和在生活中的应用。学生熟知的生活中的平均数仅有“考试平均分”和“平均分东西”两种情景，“公平”的作用仅有少数学生提及。可见，对于平均身高、平均寿命、平均气温等生活中的平均数，学生听过但却很少接触，更无从知晓其对生活的作用。（三）平均数教学设计基于教学前测情况，我在顺应 “掌握求平均数的方法，理解平均数的意义”这一教学重点的基础上
9、进行了教学设计，力求结合具体情境从数学本质出发突破“平均数代表一组数据的整体水平，感受平均数的代表性、敏感性、随机性等特点”的难点。通过反复试讲、磨课和修改，形成了平均数一课的教学设计，其设计意图主要从5个维度来思考：一是通过“生活中的平均数”谈话引入，在阅读大量数学信息的过程中筛选平均数，培养学生的数学阅读能力，使学生感受到平均数在生活中的广泛应用，从而思考出想要研究的有关平均数的知识。二是结合学校环保1小队收集的矿泉水瓶情况，掌握求平均数（计算和移多补少）的两种方法，初步感知平均数不代表任何一个人收集的个数，代表了一组同学的整体水平。三是在学校环保2小队收集的矿泉水瓶情境中发现平均数的取值
10、范围，感受平均数的敏感性，进一步理解平均数的代表性。四是对比1、2、3小队的整体水平，在探索小雷收集的矿泉水瓶个数的过程中让学生深入理解平均数的意义。五是通过回顾课前信息渗透平均数随机性的特点，感受与平均数有关的数学文化。（四）平均数教学实践教学要真正走进课堂，课堂要真正走进学生。现选取师生互动的片段对课堂教学进行深入剖析，以求推动课堂的完善，教师的成长。片段一：收集数学信息师：看，今天老师也给大家带来了一些关于平均数的信息。PPT出示信息：6月5日是世界环保日，学校环保1小队的小红、小兰、小亮、小明4位同学平均每人收集了13个矿泉水瓶 。重庆市2018年3月平均最高气温约21 ，4月平均最高
11、气温约26 。“网红脸”重庆在抖音上火了。穿楼而过的轻轨、洪崖洞等热门地标，让这座“8D城市”吸引着众多外地游客的到来。作为“网红中的战斗机”洪崖洞，五一小长假平均每天人流量约4.7万 。师：请同学们静静地读一读！师：通过阅读，谁来说一说这里哪些数是平均数？生1：平均每人收集了13个矿泉水瓶中的13个。生2：3月的平均最高气温约21，4月的平均最高气温约26。生3：五一小长假平均每天的人流量约4.7万。【思考：数学课程标准（2011版）的前言中有这样一句话：数学作为对于客观现象抽象概括而逐渐形成的科学语言与工具，不仅是自然科学和技术科学的基础，而且在人文科学与社会科学中发挥着越来越大的作用。可
12、见，数学也是一种语言。数学学习就要求学生要具备一定的数学阅读能力。上课伊始，借助“重庆天气”、“抖音”等喜闻乐见的生活素材为学生提供大量的文字和数字信息，学生通过静静地阅读筛选出其中的平均数即是对学生数学阅读能力的培养。通过阅读，学生发现居然平均数就在我们的身边，这样的过程激发了学生学习平均数的兴趣。】片段二：初步感知平均数的代表性（代表一组数据的整体水平）小红小兰小亮小明姓名数量 / 个021634578111091213141514121115师：数学上，我们就把得到的这个同样多的数，叫做一组数据的平均数。这里的哪个数是哪一组数据的平均数？生：13是14、12、11、15的平均数。师：13
13、是小红收集的吗？小红收集了多少个？是小兰收集的吗？她收集了多少个？是小亮、小明收集的吗？（生齐答）师：13就在这里，那13到底表示什么呢？生：表示平均每人收集了13个。师：看来，在这里13并不能代表任何一个人收集的矿泉水瓶数量。师：那它能代表这组同学的最高水平吗？能代表最低水平吗？师：13代表了这组同学的什么水平？你说？你说？生1：平均水平。生2：平均水平。师：平均水平就是整体水平。平均数不代表任何一个人的水平，它代表了这组同学的整体水平。（板书）【思考：多次试讲发现，学生无法自我感知平均数代表一组数据的整体水平这一意义。基于此，在学生掌握用“移多补少”和“计算”求平均数的方法后，教师乘胜追击
14、，用急促的语调连续追问：这里的哪个数是哪一组数据的平均数？13是小红收集的吗？小红收集了多少个？是小兰收集的吗？她收集了多少个？是小亮、小明收集的吗？13就在这里，那13到底表示什么呢？它能代表这组同学的最高水平吗？能代表最低水平吗？13代表了这组同学的什么水平？学生在一问一答中初步感受到平均数不代表任何一个人收集的矿泉水瓶，它代表了一组同学的整体水平。数学课程标准（2011版）强调，有效的教学活动是学生学与教师教的统一，学生是学习的主体，教师是学习的组织者、引导者与合作者。在学生不能自主学习的时，教师果断站出来发挥其主导作用，引导学生一步一步逼近问题本源，有利于学生进一步理解和掌握数学知识。
15、】片段三：感知平均数的敏感性师：2小队平均每人收集的个数可能是8吗？15呢？为什么？师：对比1小队和2小队的数据，不进行移多补少，你认为2小队的整体水平比1小队高还是低？为什么？生：我发现，前三个数据是一样的，最后一个变少了，平均数就变少了，整体水平就低了。师：你有什么发现？小结：看来，一组数据中的一个数据变了平均数就（变了），整体水平也就（变了）。其实，平均数非常地敏感，任何一个数据的“风吹草动”，都会使它发生变化。师：再看，这两个12表示的意义相同吗？生：一个12表示小莉实际收集了12个矿泉水瓶，平均数12代表了2小队收集矿泉水瓶的整体水平。师：结合这2个数据，对平均数你又有什么发现？小结：平均数可能与一组数据中的某些数据相等，但是它们表示的意思（不相同）。15小明11
