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1、最新精品资料最新精品资料最新精品资料第四讲 数学归纳法证明不等式4.1 数学归纳法A级基础巩固一、选择题1设f(n)1(nN)，则f(n1)f(n)等于()A.B.C. D.解析：因为f(n)1，所以f(n1)1.所以f(n1)f(n).答案：D2在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n3)条时，第一步检验第一个值n0等于()A1B2 C3D0解析：边数最少的凸n边形是三角形答案：C3在数列an中，已知a11，当n2时，anan12n1.依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是()A3n2 Bn2C3n1 D4n3解析：由条件知：a2a122122，a3a223132，a4a3241
2、42，猜想ann2.答案：B4一个与自然数n有关的命题，当n2时命题成立，且由nk时命题成立推得当nk2时命题也成立，则()A该命题对于n2的自然数n都成立B该命题对于所有的正偶数都成立C该命题何时成立与k取什么值无关D以上答案都不对解析：由题意当n2时成立可推得n4，6，8，都成立，因此该命题对所有正偶数都成立答案：B5对于数25，规定第1次操作为2353133，第2次操作为13333355，如此反复操作，则第2 011次操作后得到的数是()A25B250 C55D133解析：根据第1次，第2次操作规律，可知第3次操作为5353250，第4次操作为235303133，操作后得到的数呈周期性变
3、化，周期为3次，2 01167031，故第2 011次操作后得到的数是133.答案：D二、填空题6用数学归纳法证明“12222n12n1(nN*)”的过程中，第二步假设nk时等式成立，则当nk1时应得到_解析：因为nk时，命题为“12222k12k1”，所以nk1时为使用归纳假设，应写成12222k12k2k12k，又考虑到目的，最终应为2k11.答案：12222k12k2k117观察下列等式：132332，13233362，13233343102，根据上述规律，猜想132333435363_解析：已知等式可写为：132332(12)2，13233362(123)2，13233343102(1
4、234)2，根据上述规律，猜想132333435363(126)2212.答案：2128用数学归纳法证明“nN*时，12222325n1是31的倍数”时，n1时的原式是_，从k到k1时需添加的项是_答案：12222324，25k25k125k225k325k4三、解答题9用数学归纳法证明：(n2，nN)证明：(1)当n2时，左边1，右边.所以等式成立(2)假设当nk(k2，kN)时，等式成立，即(k2，kN)当nk1时，所以当nk1时，等式成立根据(1)和(2)知，对n2，nN时，等式成立10用数学归纳法证明n35n能被6整除证明：(1)当n1时，左边13516，能被6整除，结论正确(2)假设
5、当nk时，结论正确，即k35k能被6整除则(k1)35(k1)k33k23k15k5k35k3(k2k2)k35k3(k1)(k2)，因为k35k能被6整除，(k1)(k2)必为偶数，3(k1)(k2)能被6整除，因此，k35k3(k1)(k2)能被6整除即当nk1时结论正确根据(1)(2)可知，n35n对于任何nN都能被6整除B级能力提升1用数学归纳法证明等式(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)(nN)时，从“nk到nk1”左端需乘以的代数式为()A2k1 B2(2k1)C. D.解析：当nk时，等式为(k1)(k2)(kk)2k13(2k1)当nk1时，左边(k1)1(k1)2(k1
6、)k(k1)(k1)(k2)(k3)(kk)(2k1)(2k2)比较nk和nk1时等式的左边，可知左端需乘以2(2k1)答案：B2用数学归纳法证明34n152n1(nN)能被14整除，当nk1时，对于34(k1)152(k1)1应变形为_解析：34(k1)152(k1)134k552k38134k12552k18134k18152k15652k181(34k152k1)5652k1答案：81 (34k152k1)5652k13已知正数数列an中，前n项和Sn.(1)求a1，a2，a3，a4；(2)推测an的通项公式，并用数学归纳法加以证明解：(1)a11，a21，a3，a4.(2)ana11，a21，a3，a4.猜想an(nN)()当n1时，a11，结论成立；()假设当nk(k1，kN)成立，即ak.则ak1Sk1Sk，整理得(ak1)2k1，所以ak1.综合()()知， an对所有正整数n都成立最新精品资料
