《新编高考数学文科二轮训练【专题2】第3讲平面向量含答案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《新编高考数学文科二轮训练【专题2】第3讲平面向量含答案（16页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第3讲平面向量考情解读1.平面向量基本定理和向量共线定理是向量运算和应用的基础，高考中常以小题形式进行考查.2.平面向量的线性运算和数量积是高考的热点，有时和三角函数相结合，凸显向量的工具性，考查处理问题的能力1平面向量中的五个基本概念(1)零向量模的大小为0，方向是任意的，它与任意非零向量都共线，记为0.(2)长度等于1个单位长度的向量叫单位向量，a的单位向量为.(3)方向相同或相反的向量叫共线向量(平行向量)(4)如果直线l的斜率为k，则a(1，k)是直线l的一个方向向量(5)向量的投影：|b|cosa，b叫做向量b在向量a方向上的投影2平面向量的两个重要定理(1)向量共线定理：向量a(a
2、0)与b共线当且仅当存在唯一一个实数，使ba.(2)平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2，其中e1，e2是一组基底3平面向量的两个充要条件若两个非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，则(1)ababx1y2x2y10.(2)abab0x1x2y1y20.4平面向量的三个性质(1)若a(x，y)，则|a|.(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|.(3)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，为a与b的夹角，则cos .热点一平面向量的概念及线性运算例1(1)(20xx福建)在下列向量组中
3、，可以把向量a(3,2)表示出来的是()Ae1(0,0)，e2(1,2)Be1(1,2)，e2(5，2)Ce1(3,5)，e2(6,10)De1(2，3)，e2(2,3)(2)如图所示，A，B，C是圆O上的三点，线段CO的延长线与线段BA的延长线交于圆O外的点D，若mn，则mn的取值范围是()A(0,1)B(1，)C(，1)D(1,0)思维启迪(1)根据平面向量基本定理解题(2)构造三点共线图形，得到平面向量的三点共线结论，将此结论与mn对应答案(1)B(2)D解析(1)由题意知，A选项中e10，C、D选项中两向量均共线，都不符合基底条件，故选B(事实上，a(3,2)2e1e2)(2)依题意，
4、由点D是圆O外一点，可设(1)，则(1).又C，O，D三点共线，令(1)，则(1，1)，所以m，n.故mn(1,0)故选D.思维升华对于平面向量的线性运算问题，要注意其与数的运算法则的共性与不同，两者不能混淆如向量的加法与减法要注意向量的起点和终点的确定，灵活利用三角形法则、平行四边形法则同时，要抓住两条主线：一是基于“形”，通过作出向量，结合图形分析；二是基于“数”，借助坐标运算来实现(1)(20xx陕西)设0，向量a(sin 2，cos )，b(cos ，1)，若ab，则tan _.(2)如图，在ABC中，AFAB，D为BC的中点，AD与CF交于点E.若a，b，且xayb，则xy_.答案(
5、1)(2)解析(1)因为ab，所以sin 2cos2，2sin cos cos2.因为00，得2sin cos ，tan .(2)如图，设FB的中点为M，连接MD.因为D为BC的中点，M为FB的中点，所以MDCF.因为AFAB，所以F为AM的中点，E为AD的中点方法一因为a，b，D为BC的中点，所以(ab)所以(ab)所以b(ab)ab.所以x，y，所以xy.方法二易得EFMD，MDCF，所以EFCF，所以CECF.因为ba，所以(ba)ab.所以x，y，则xy.热点二平面向量的数量积例2(1)如图，BC、DE是半径为1的圆O的两条直径，2，则等于()A BC D(2)(20xx重庆)在平面上
6、，|1，.若|，则|的取值范围是()A. B.C. D.思维启迪(1)图O的半径为1，可对题中向量进行转化，；(2)利用|，寻找，的关系答案(1)B(2)D解析(1)2，圆O的半径为1，|，()()2()()201.(2)，()()20，2.，.|1，21122()222(2)22，|，0|2，022，22，即|.思维升华(1)数量积的计算通常有三种方法：数量积的定义，坐标运算，数量积的几何意义；(2)可以利用数量积求向量的模和夹角，向量要分解成题中模和夹角已知的向量进行计算(1)(20xx江苏)如图，在平行四边形ABCD中，已知AB8，AD5，3，2，则的值是_(2)已知点G是ABC的重心，
7、若A120，2，则|的最小值是_答案(1)22(2)解析(1)由3，得，.因为2，所以()()2，即222.又因为225，264，所以22.(2)在ABC中，延长AG交BC于D，点G是ABC的重心，AD是BC边上的中线，且AGAD，|cos 1202，|4，2，()，2()22222|2(2)，2，|，|的最小值是.热点三平面向量与三角函数的综合例3已知向量a(cos ，sin )，b(cos x，sin x)，c(sin x2sin ，cos x2cos )，其中0x.(1)若，求函数f(x)bc的最小值及相应x的值；(2)若a与b的夹角为，且ac，求tan 2的值思维启迪(1)应用向量的数
8、量积公式可得f(x)的三角函数式，然后利用换元法将三角函数式转化为二次函数式，由此可解得函数的最小值及对应的x值(2)由夹角公式及ac可得关于角的三角函数式，通过三角恒等变换可得结果解(1)b(cos x，sin x)，c(sin x2sin ，cos x2cos )，f(x)bccos xsin x2cos xsin sin xcos x2sin xcos 2sin xcos x(sin xcos x)令tsin xcos x，则2sin xcos xt21，且1t.则yt2t12，1t，t时，ymin，此时sin xcos x，即sin，x，x，x，x.函数f(x)的最小值为，相应x的值为
9、.(2)a与b的夹角为，cos cos cos xsin sin xcos(x)0x，0x，x.ac，cos (sin x2sin )sin (cos x2cos )0，sin(x)2sin 20，即sin2sin 20.sin 2cos 20，tan 2.思维升华在平面向量与三角函数的综合问题中，一方面用平面向量的语言表述三角函数中的问题，如利用向量平行、垂直的条件表述三角函数式之间的关系，利用向量模表述三角函数之间的关系等；另一方面可以利用三角函数的知识解决平面向量问题，在解决此类问题的过程中，只要根据题目的具体要求，在向量和三角函数之间建立起联系，就可以根据向量或者三角函数的知识解决问题
10、已知向量a，b(cos x，1)(1)当ab时，求cos2xsin 2x的值；(2)设函数f(x)2(ab)b，已知在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b2，sin B，求f(x)4cos(2A)(x0，)的取值范围解(1)ab，cos xsin x0，tan x.cos2xsin 2x.(2)f(x)2(ab)bsin，由正弦定理，可得sin A，A.f(x)4cossin，x0，2x，1f(x)4cos(2A).故所求范围为1，1当向量以几何图形的形式出现时，要把这个几何图形中的一个向量用其余的向量线性表示，就要根据向量加减法的法则进行，特别是减法法则很容易出错，向量
11、(其中O为任意一个点)，这个法则就是终点向量减去起点向量2根据平行四边形法则，对于非零向量a，b，当|ab|ab|时，平行四边形的两条对角线长度相等，此时平行四边形是矩形，条件|ab|ab|等价于向量a，b互相垂直3两个向量夹角的范围是0，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可能是0或的情况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不单纯就是其数量积小于零，还要求不能反向共线4平面向量的综合运用主要体现在三角函数和平面解析几何中，在三角函数问题中平面向量的知识主要是给出三角函数之间的一些关系，解题的关键还是三角函数问题；解析几何中向量知识只是给出一些几何量的位置和数量关系，在解题中要善于根据向
12、量知识分析解析几何中的几何关系真题感悟1(20xx湖南)在平面直角坐标系中，O为原点，A(1,0)，B(0，)，C(3,0)，动点D满足|1，则|的最大值是_答案1解析设D(x，y)，由(x3，y)及|1知(x3)2y21，即动点D的轨迹为以点C为圆心的单位圆又O(1,0)(0，)(x，y)(x1，y)，|.问题转化为圆(x3)2y21上的点与点P(1，)间距离的最大值圆心C(3,0)与点P(1，)之间的距离为，故的最大值为1.2(20xx天津)已知菱形ABCD的边长为2，BAD120，点E，F分别在边BC，DC上，BEBC，DFDC.若1，则()A. B.C. D.答案C解析，()()22()4422()24()21.2().(1)(1)(1)22()(1)2()1，()1，即().由解得.押题精练1在Rt
