万能公式答题模板（亦称为Sn法）必备理论：（整体代换）数列｛a*｝中，Sn= 3n? — 2n，则 Si =3一 2=1 , Sn_i= 3 （ n — 1））— 2 （n — 1） =3n?— 8n+5 【题头】数列｛an｝中，Sn与an （或Sn与n）的关系式形式，求an的表达式（通项公式） 【模板】当 n=1 时，a1=s1 = 二 a1= 当 n》2 时，an = Sn 一 Sn-1二an= 一 （代题头，自身变换成 Sn-1）= 化简为最简形式（* ）（* ）部分经常见到的为四种形式，【形式一】••• an=关于n的表达式（#） --譬如an=2n-1结论答法一：经检验 n=1时，满足an,：数列｛an｝的通项公式为（#）a的值，n = 1结论答法二：经检验 n=1时，不满足an,：数列｛an｝的通项公式为丿（（#）, 22【形式二A】• an= an-1 +常数 --譬如an= an-1 +1二数列｛an｝为等差数列，且公差为 常数•- an= a1+ （n — 1）汉公差【形式二-B】--an+1 =常数an --譬如an= 2an-1二数列｛an｝为等比数列，且公比为 常数•- an= a1x 公比 n-1【形式三】 • an= Aan-1 +B或者 --譬如an= 2an-1+3(an + 常数)=A ( an-1 + 常数)常数为二数列｛ an+常数｝为等比数列，且公比为 A二 an+ 常数=（a1 + 常数）H A n-1 • an =【形式四A】• an= an-1 + f （n） 【形式四B】• an= f （n） an-1譬如an= an-1+n （方法：累和法） 譬如an= nan-1 （方法：累积法）• a2 一 a1= f (2)a?:-2 = f (2)aia3 一 a2= f (3)a 3—=f (3)a2a4 ― a3= f (4)a44 =f (4)a3an — an-1= f (n)ann = f (n)a n—1将以上各式相加，整理得将以上各式相乘，整理得an — a1= f (2) + f (3) + …+ f (n)n = f (2) X f (3) X ai•••Xf (n)…an =…an=证明等差（比）数列模板必备理论：（整体代换）数列｛an｝中，an= 3n2-2n，则 ai=3 — 2=1 , an-i = 3 （n- 1） 2-2 （n — 1） =3n2— 8n+5【题头1】数列｛an｝中，条件A,条件B,条件C ,求证：数列｛bn｝是等差（比）数列【模板说明】由定义出发，倒序法进行证明，即证明 n_1 , bn+1 -bn=常数 或证明n 一2 , bn-bn-1=常数，通过逆推：条件C,条件B,条件A,得到常数，即证明等差（比）数列 【模板】自身替换是指，将 n换成n+1 ,或n换成n-1（1）等差数列bn+1 - 5= 自身代换（2）等差数列bn-bn-1= 代入题头代入题头 = 不动 - 代入题头 =常数，结论（抄题）如果化简困难：代入 n=1 ,求解常数自身代换 = 代入题头 — 不动 =常数，结论（抄题）如果化简困难：代入 n=2，求解常数不动不动（3）等比数列bn 自身代换不动（4）等比数列bn-代入题头-代入题头bn代入题头代入题头二常数，结论（抄题）bnJ自身代换不动二常数，结论（抄题）【样题】•数列；£n [满足a1 =1, a^3anj 2n -3 n _2 , bn -an n，求证：数列｛bn｝是等比数列【分析】由于出现的为 n和n-1，所以采用（4）完成模版证明证明： 电=an n 3a2 2n 3 n =3 ,.数列｛bn｝是等比数列bn J an-1 +（n-1） an-i +（n-1）温馨提示：如果常数你化不出来，可以代入 n=2,利用a1进行求解常数冷是等差数列;,2n【练习1】数列 春满足a^5 , an1 =2an，3n n・N* , b^an-3n求证：数列｛bn｝是等比数列【练习2】数列 订鳥满足a1 =1, an = 2an4 - 2n n _2，求证：数列【题头2】数列｛an｝中，Sn与an （或 Sn与n）的关系式形式，求证：数列｛an｝是等差数列【模板】万能公式法（也叫作 Sn法）当 n=1 时，a1=Si = 二 a1= 当 n> 2 时，an = Sn- Sn-1【形式A】••• an= an-1 +常数二an= - （代题头，自身变换成 Sn-1），二 化简 （会出现两种情况）且公差为 常数• an= a1+ （n - 1）兀公差 H1 --譬如 an= 2an-1 ►抢分环节n 1且公比为 常数• an= a/公比---譬女口 an= an-1 +1二数列｛an｝为等差数列，【形式二B] • an+1 =常数二数列｛an｝为等比数列，1【样题】•数列Can ?的前n项和Sn，且Sn二一an -1 ，证明数列等比数列31 1证明： 当 n=1 时，ai=Si = a^ — 1 二 ai= - —(1 分)3 2当 n> 2 时，an = Sn— Sn-i (1 分)11 1 a 1…an= an - 1 — an-1 - 1 二 an an J (2 分)3 3 2 an j 21 11 1二 数列:an /等比数列 一-(1 分) 且公比为--••• an= -- (-- ) n-1 = ( -- ) n -----(1 分)2 2 2 2【练习1】数列 春的前n项和为Sn, a1 =1 ,正整数n对应的n,an,Sn成等差数列.证明'Sn - n ■ 2』成等比数列【练习2】数列 订鳥,Sn是它的前n项和，且Sn ^4an 2 N*, a^1(i)设0二a. 1 -2an N*，求证：数列lb/是等比数列；(n)设G ，求证：数列 ◎是等差数列；A【练习3】数列:an沛，a1 =3,前门和S^-(n 1)(an 1)-1，求证：数列 忌［是等差数列【练习4】数列 订鳥中，a1 =5, Sm二5 • n，5(n・N*)，证明数列：an -是等比数列.【练习5】设数列｛an｝的前n项和Sn =2昂-a，且a1,a2 1,直成等差数列.证明数列｛an｝是等差数列•并求｛an｝的通项公式；【练习6】已知数列｛务｝, an >0, a2 an = 4Sn 3,证明数列｛务｝是等差数列。