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1、iQie4：i-oP1=2,2=1，所以习题解析6-7在坐标原点及（、.3,0）点分别放置电量Qi=-2.010-C及Q2=1.010JC的点电荷，求PC3-1）点处的场强。解如图6.4所示，点电荷Qi和Q2在P产生的场强分别为1Q22EEE1Qi11Qi1匕总=E1E2厂4%i*1-2.0106一j24二pi2i1.0io-64二；022-3.9i6.8j103N2i26-8长为I=15cm的直导线ab上，设想均匀地分布着线密度为=5.0010C，的正电荷,如图6.5所示，求:(1)在导线的延长线上与B端相距d1=5.0cm处的P点的场强;(2)在导线的垂直平分线上与导线中点相距d2二5.0
2、cm处的Q点的场强。解（1）如图6.5（a）所示，以AB中点为坐标原点，从A到B的方向为x轴的正方向。在导线AB上坐标为x处，取一线元dx，其上电荷为dq=，dx它在P点产生的场强大小为dE4二；0rXdx4叭iz|22lx方向沿x轴正方向。导线AB上所有线元在P点产生的电场的方向相同，因此P点的场强大小为门J匚丄-丄亍牛讼l40dil-didi-x2=5.00109910912101Eq02201075102Vm方向沿(2)x轴正方向。如图6.5（b）所示，以AB中点为坐标原点，从A到B的方向为x轴正方向，垂直于AB4：i-o22的轴为y轴，在导线AB上坐标为x处，取一线元dx,其上的电荷为
3、dq二dx它在Q点产生的电场的场强大小为1dq1兀dxdE22224二；0r4二；0d2x方向如图6.5(b)所示。在导线AB上坐标为-x处取另一线元dx，其上电荷为dq二dx它在Q点产生的电场场强大小为dE,二14二；dqr1dx4二；0d；x2方向与坐标x处电荷元在Q点产生的电场方向相对与y轴对称，因此dE1XdE2X丄鼻sin.丄鼻sin“04二；0d2x4二；0d2xdE1与dE2的合场强dE的大小为dE=dEydE2y=2dE_!cos：dxd2dxd23/225d2x2方向沿y轴正方向，因此Q点的场强的大小为p_J.1223/2?2二；0d2xdxd2/24d22匸499丄m0.0
4、500.052I49.00105.0010-0=1103v方向沿y轴正方向。补充一根玻璃棒被弯成半径为R的半圆形，其上电荷均匀分布，总电量为q，求半圆中心O点的场强。解建立如图6.6所示的坐标系，在弧线上取线元dl其上电荷为ddl，它在Q点处产生的场兀R强41dqRdE2-4哗R2R由于半圆形上电荷对y轴呈对称性分布，电场分布也对y轴呈对称性，所以Ex，M11qqE=222sinrdq二-222sinRd22y04二;0R204二;0R2二R2二2；0R2E=ExiEyj22j2兀0R6-9一根细有机玻璃棒被弯成半径为R的半圆形，上半截均匀带有正电荷，电荷线密度为;下半截均匀带有负电荷线密度为
5、-，如图6.7所示。求半圆中心0点的场强。解建立如图6.7所示的坐标系，根据电荷分布的对称性，0点的场强沿y轴方向正方向，任意电荷元dq在O点产生的场强大小为dE1dq4-；0R2此场强在y轴方向的分量为dEy=dEcost14二；costd二4二；0R（dq=，RdJ半圆形上半部分和下半部分在O点产生的场强，在x轴方向合场强为零，在y轴方向分量大小相等，方向相同。因此灵、E二Ey=22cosd04四0R2兀R方向沿y轴的正方向。6-11（1）一半径为R的带电球体，其上电荷分布的体密度为一常数t,试求此点球体内、外的场强分布；（r）若（1）中带电球体上点电荷分布的体密度为P=P1-，其中为一常
6、数P。，r为球上IR丿任意一点到球心的距离，试求此带点球体内、外的场强分布。解（1）当r:R时，建立如图6.8（a）所示的高斯面，根据高斯面定理E乳q式中q：川二r3，所以VV3?rE=3；o当rR时，建立如图6.8（b）图所示的高斯面，根据高斯面定理s0式中q：IIIFdVVdV43R3，所以3-PR3E二23；r(2)当r:R时,建立如图6.8(a)所示的高斯面，根据高斯面定理：Es式中q：in卜dVV卩01_二42古=也4一竺所以IR丿3奄IR丿当r-R时，建立如图6.8(b)所示的高斯面，根据高斯面定理EdS=qs；04rr2dr=空冬，所以3%GR312；r26-12根据量子力学,正
7、常状态的氢原子可以看成由一个电量为+e的点电荷，以及球对称分布在其周围的电子云构成。已知电子云的电荷密度为；=-Cer/a0其中a0=5.310，m，3C二e/:ao是为使点电荷总量等于-e所需要的常量。试问在半径为a。的球内净电荷是多少？距核远a0处的电场强度是多大?解半径为a0的球内净电荷为q二e亠iidV二e-Cer/a04：r2dr=0.667e=1.0810(C)V在距核a远处做半径为a球形高斯面，根据高斯面定理E爲s0所以E1y0=3.461011V4二a。；o6-13:的均匀带电解利用补偿法求解，球形空腔中任意一点的电场强度E可看作半径为R、体密度为44球体和半径为r、体密度为-
8、的均匀带电球体所分另ij产生的场强E1和E2的矢量和。所以而;-聶=a，上式可改写为6-14有一对点电荷，所带电量的大小为q，它们间的距离为21。试就下述两种情形求这连线中点的场强和电势：(1)2个点电荷带同种电荷；(2)2个点电荷带异种电荷。解(1)以2个点电荷连线中点为原点，建立如图6.10所示的坐标系。2个点电荷在原点O产生的场强大小相等，方向相反，合场强为零。2个点电荷在原点O电势大小相等，合电势为uLq口q4兀g0l4兀名0q2兀名01(2)以2个点电荷连线中点为原点，建立如图6.10(b)所示的坐标系。2个点电荷在原点O产生的场强大小相等，方向相同，合场强为2个点电荷Ed占tH2个
9、点电荷在原点O的合电势为亠V丄丄=04二；0l40q补充一均匀带电球壳，它的面电荷密度为二，半径为R。求球壳内、外的电势分布。解：利用高斯定理可求得球壳内、外的电场强度大小分布为1I4二；02-4-R,(rR)当r：R时Up:Rr山=.心.rE-r2:=1r4:R.rR2dr士4二；or；oUdrfr；r4二:1Up二Edr二Jr*r6-15电荷Q均匀分布在半径为R的球体内，试证明离球心r(reacq2；o；oS；oSA,B两板间及A,C两板间的电势差分别为UAB=EABdAB,UAC=EACdAC而UAB=UAC，所以EABdAB=EACdAC连立（1）、（2）、（3）式，代入数值S=20c
10、m2,dAB=4.0mm,dAC=2.0mm,q=3.0xIOC,，得qi=1.010_C,q2=2.010_C相应地，B板上的感应电量为-q-1.010JC，C板上的感应电量为-q2=-2.010C，A板相对于地的电势为Ua二Uab-EABdABqpSdAB1.0104.0108.851022010*-2.27104(V)6-19如图6.13所示，2个均匀带电的金属同心球壳，内球壳（厚度不计）半径为R二5.0cm，带电荷q1=0.610*C；外球壳内半径&二7.5cm，外半径R3=9.0cm，所带总电荷q?-2.010JC，求：（1）距离球心3.0cm,6.0cm,8.0cm,10.0cm各
11、点处的场强和电势；（2）如果用导线把2个球壳连结起来，结果又如何？解由于静电感应，外球壳内表面上均匀分布着电荷，球壳外表面上均匀分布着电荷qq2。（1）根据高斯定理，苛求得不同空间的场强分布。当r:R时EdS=0SE1=0所以当R|:r:R2时所以当R2:r:R3时dS1q1,245rEdS=OSE0所以当rR3时GE-dSSqiq2基0所以1q1q2E4二2r4二；0利用电势的定义，可求得不同空间的电势分布。r:R1Ui=Edr=：Edr亠iEdr亠Edr1q1q1+1q1g4.fR14.bR24R3Ri:r:R2时U21q1_4心0Ri4：7.oR24”；.oF3R2:r:R时:r3：1U
12、3S7=代3册拝4心=5q24二；0Rg当rR3时Edr二R3E4dr1q1q24二；0Rg代入相应的数值：r=0.03m时E=0=91090.6。计0.050.6010*0.6010-2.00100.0750.09-1.04103(V)r=0.06m98910.610-=1.5104(Vm)(0.06)24二；01RR2R，31q10100.050.601080.6010一0.075880.6010一一2.0010一0.093=-1.2210(V)(2)如果用导线把两个球壳连结起来，则部分电荷中和q1q2，剩余电荷分布于大球壳外表面上。在大球壳的外表面以内的3个点，场强均为零，在处，场强人为E=4二；0q12q-1.26104(Vrm)在大球壳外表面以内的3个电势相等，为4二；0在处，电势仍为U=q1q2=“a103V4二；0r6-21在一半径为a的长直导线的外面，套有半径为b的同轴导体薄圆筒，它们之间充以相对电容率为；的均匀电介质，设导线和圆筒都均匀带电,且沿轴线单位长度所带电荷分别为和-，求（1）空间个点的场强大小；（2）导线和圆筒间电势差。解（1）以导线为轴，在空间不同区域做半径为当ra时，EdS=0S所以r，高为I的圆柱面形高斯面。根据高斯定理:当arb时,EdSS；0；r所以E22:r2-rl；0；r当r
