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1、导数及其应用吴冰#-、导数的概念及其几何意义(一)变化率与导数、导数的计算1、函数y=f(x)从xi到X2的平均变化率：函数y=f(x)从X1到X2的平均变化率为f(X2)一，若X x2 x1， yf (x2) f (x1),X x1则平均变化率可表示为亠。X2、函数y=f(x)在x=xo处导数：(1) 定义称函数y=f(x)在x=xo处的瞬时变化率lim y为y=f(x)在x=xo处导数，记作X X乂 limx o x x ox(2) 几何意义：函数f(x)在点x处的导数f (xo)的几何意义是在曲线y=f(x)上点(xo，limX 0f(XoX) f(Xo)Xf (Xo)或y |x xo,
2、即f (Xo)limf (Xox) f (Xo)f (xo)处的切线的斜率。相应地，切线方程为y-yo= f (xo) (x=xo).f(x3、函数f(x)的导数：称函数f (x) limXo时也记作y注：求函数f(x)在x=xo处的导数的方法:方法一：直接使用定义;f (Xo)limxf (XoX) f(Xo)；JX方法二：先求导函数f (X) limx) f(x)为函数f(x)的导函数，导函数有 f(x)，再令x=xo求f (xo)xoX4、基本初等函数的导数公式运用可导函数求导法则和导数公式，求函数y f(x)在开区间(a,b)内的导数的基本步骤： 分析函数y f (x)的结构和特征；
3、选择恰当的求导法则和导数公式求导； 整理得结果。I函数导数y cy 0rn*y f (x) x (n Q )Ii!n 1y nxJy sin xy cosx1y cosx1ysin x1y f (x) ax1y ax ln a (a 0):y f (x) exw !Jy ef(x) logax1f(x)(a 0且 a 1)xln af (x) In x1if (x)-x例题解析:2例1求函数y= x的导数。解析:lim-limx 0 xx 02x xx2(x x)28=-x例2一质点运动的方程为s 8 3t2(1) 求质点在1 , 1 + A t这段时间内的平均速度；(2) 求质点在t=1时的
4、瞬时速度(用定义及求求导两种方法) 分析：(1)平均速度为;t(2) t=1时的瞬时速度即s 8 3t2在t=1处的导数值。解答：(1)v s 8 3t2A s=8-3(1 + A t)2-(8-3 X 12)=-6 A t-3( A t)2,v 6 3 t.t(2)定义法：质点在t=1时的瞬时速度vslimlim( 6 3 t) 6求导法：质点在t时刻的瞬时速度v s(t) (8 3t2) 6t，当 t=1 时，v=-6 X 1=-6.s与时间t注：导数的物理意义建立了导数与物体运动的瞬时速度之间的关系。对位移的关系式求导可得瞬时速度与时间t的关系。根据导数的定义求导数是求导数的基本方法,诮
5、按照“一差、二比、三极限”的求导步骤来求。例3已知曲线y lx3 4 ,33(1) 求曲线在点P(2,4)处的切线方程；(2) 求曲线过点P(2,4)的切线方程；(3) 求斜率为4的曲线的切线方程。分析：切点坐标切线斜率点斜式求切线方程解答：(1) QP(2,4)在曲线y lx3 4上，且yx233 在点P(2,4)处的切线的斜率k= y |x2=4;曲线在点P(2,4)处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.1 q41 q4(3)设曲线y-x3与过点P(2,4)的切线相切于点A(xo,-x。3),3333则切线的斜率k y |x xo x02，切线方程为y ( - x03 4
6、 ) =xf ( x-x。),33xjgx 3X3 彳点P(2,4)在切线上,即 x0 3x0 4 0, x0 x0 4x0 4 0 ,( X0+I) (X0-2)2=0 解得 X0=-1 或 X0=2故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0.(3)设切点为(X0,y0)则切线的斜率为 k=X02=4, X0= 2切点为(2, 4), (-2, -4/3)切线方程为 y-4=4(x-2)和 y+4/3=4(x+2)即 4x-y-4=0 和 12x-3y+20=0注：(1)解决此类问题一定要分清“在某点处的切线”，还是“过某点的切线” ；(2)解 决“过某点的切线”问题，一般是设出切点
7、坐标解决。二、导数的运算 i_导数运算法则例4（1）y x(x 求（3）求y x sin3x2（5）求y=分析:的导数中间变量,注意要逐层求导不能遗漏,步对谁求导,不能混淆。1. f(x) g(x) f(x) g(x)I1I2. f(x) g(x) f(x)g(x) f(x)g(x)ii i L f(x) f(x)g(x) f(x)g(x), ,、丨3. 2(g(x) 0)g(x)g(x)I复合函数的导数：复合函数y f g x的导数和函数y f u , u g x的导数间的关 系为yx yu ?Ux，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积。复合函数的求导方法：求复合函数的导数，一
8、般是运用复合函数的求导法则，将问题转化为求基本函数的导数 解决。 分析清楚复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成的，适当选定中间变量； 分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中特别要注意的是中间变量； 根据基本函数的导数公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量转换 成自变量的函数； 复合函数的求导熟练以后，中间步骤可以省略，不必再写出函数的复合过程。 例题解析：1 一 17）的导数；（2）求 y叫x 的导数;x cos_22的导数；（4）求y=sinx的导数;解：（1）3x2y（2）先化简,丄2x2 x先正确地分析函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成；求导时，可
9、设出#3y =3 * (x2 )-xz+5z-91(x )lx22!x22(3)先使用三角公式进行化简.xx 1 .y x sin cos x sin x2 2 21 .y x sin x2丄(sin x)21cosx.2(4)(x2 )sin x x2 * (sin x) 2xsinx x2 cosx -2sin x ；7y=sin2x(5)31y= 3x2 x +5 9x 2313 *2x2 1 + 0 91(-)2#9x(1 A) 12x三、导数的应用1、函数的单调性与导数：在某个区间(a,b)内，如果f (x) 0，那么函数y f (x)在这个区间内单调递增；如果f (x)0 ,那么函
10、数y f (x)在这个区间内单调递减。如果f (x)0 ,那么函数y f (x)在这个区间上是常数函数。注：函数y f (x)在(a,b)内单调递增，则f (x) 0，f (x) 0是y f (x) 在(a,b)内单调递增的充分不必要条件。2、函数的极值与导数：(1)曲线在极值点处切线的斜率为 0,并且，曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右 侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正一般地，当函数 f(x)在点X0处 连续时，判断f(X0)是极大(小)值的方法是：(1)如果在X0附近的左侧f (x)0，右侧 f (x) 0,那么f(X0)是极大值.(2)如果在X0附近的左侧f (x)
11、0,那 么f(x0)是极小值.注：导数为0的点不一定是极值点3、函数的最值与导数：函数f(x)在a,b上有最值的条件：如果在区间a,b上函数y f (x)的图象是一条连续不断 的曲线，那么它必有最大值和最小值。4、生活中的优化问题：解决优化冋题的基本思路是：优化冋题用函数表示的数学问题用导数解决函数问题优化问题答案。例题解析:例5(安徽合肥168中高三段考(理)(本小题满分13分)已知函数4x27x 2 x x 01()求X的单调区间和值域;22小1，函数 g x x 3a x 2a，01 ,若对于任意x101，总存在*01 ,使得g X。成立，求a的取值范围解：对函数求导，得4x216x 7
12、22 x2x 1 2x22 x0解得X1x 0,丄 所以，当2时,X是减函数;时,X是增函数;当x变化时，f x、f x的变化情况如下表:X0%121f，X0+f X7243当x 01时，f X的值域为4, 3(U)对函数g X求导，得g x3 x2因此a1，当x0,1时，g x p 3 1 a20因此当x0,1时,gx为减函数，从而当x 01时有gxg1，g0又g 11 2a3a2g 02a即当xo,1时有gx12a 3a2， 2a任给x10，fX14,3，存在x01使得g xf x1，则1 2a3a2，:2a4，312a 3a24(153即2a 3(2)解（）式得aa1或3a _解式得21 a ?1 a 又a 1，故：a的取值范围为2例设x=1与x=2是f xaln x bx x函数的两个极值点（1）试确定常数a和b的值;（2）试判断x=1,x=2是函数f x的极大值点还是极小值点，并求相应极值。3#例解析：（1） f由已知得:2bx 1,a 2b 101a 4b 1022316x(0，1)1(1, 2)2
