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1、A表：内蒙古自治区高等学校科学研究项目申 请 书项目类别（在相应选项上划）1、自然科学研究（ ）重点项目（）一般项目 2、人文社会科学研究（ ）重点项目（ ）一般项目学 科 门 类：一 级（110.5710 线性算子理论）课 题 名 称：耦合边界条件下的特征值的下标问题项目负责人： 杨树生 所 在 学 校： 河套大学 （盖章） 申 请 日 期： 2008年8月12日内蒙古自治区教育厅科学技术处制2008年8月填表说明1学科门类按照国家质量技术监督局1992年公布的学科分类与代码，填写一级和二级学科。2申请书一律用A4纸单面打印，于左侧装订，A表一式2份，B表一式5份。3本表各栏除特别规定外，均
2、可以自行加行、加页。4为填报内容提供的证明材料，统一装订在申请书最后部分。 项目负责人承诺我确认本申请书及附件内容真实、准确。如果获得资助，我将认真履行项目负责人职责，积极组织开展研究工作，合理安排研究经费，按时报送有关材料并接受检查。若申请书及附件内容失实或在项目执行过程中违反科研项目管理的有关规定，本人将承担全部责任。 负责人签字： 2008 年 9 月 12 日项目依托学校承诺已经按照项目申报要求对项目申请人的资格及项目申请书内容进行了审核。项目如获资助，我单位将根据教育厅要求和项目申请书内容，落实项目研究所需配套经费及其他条件；按照科研项目管理有关规定，认真履行项目承担单位的管理职责。
3、学校公章 负责人签章2008年 9 月 15 日 申请者姓 名杨树生性 别男出生年月1963.12职 称副教授所在院系河套大学机电与信息工程学院职 务院长最后学历研究生最后学位硕 士外语语种英语外语水平相当于六级专业领域微分算子谱理论通讯地址河套大学机电与信息工程学院邮政编码015000办公电话移动电话项目组其他成员情况（最多不能超过9人）姓名职称年龄所在单位专业项目分工签名张晓军副教授 44河套大学机电与信息工程学院数学负责特征值间的不等式及等式的证明申请者承担省级以上项目及完成情况项目批准单位项目名称批准时间是否完成内蒙古自治区科技厅非自伴微分算子的谱及其应用2004.8 参与 正在进行广
4、东省科技厅J-自伴微分算子的谱2005.6 参与 正在进行中国教育技术协会数学教育专业整体优化教学改革实验研究2007.3课题组长正在进行申请者本人进三年来的主要研究成果1、代数系统的同态与同构. 发表在内蒙古民族大学学报 2004年 第6期.2、无界线性算子的谱 待发表. 3、Fultons猜想的另一种证法. 发表在肇庆学院学报 2008年 第二期.4、自伴Sturm-Liouville问题边界条件空间的一些性质. 发表在内蒙古民族大学学报2008年第4期.5、 Sturm-Liouville问题特征值间的不等式的另一种证法-首项系数为正的情况. 内蒙古师范大学学报，待发表.项目计划进度 1
5、、2008.9-2009.1 通过分析综合近几年来关于特征值下标问题的成果，给出一个关于特征值下标问题的综合报告. 2、2009.1-2009.9 在上一年度的基础上，找出问题的突破口，为解决问题做准备工作. 3、2009.9-2010.9 进一步深入研究特征值的下标问题. 4、2010.9-2011.9 继续深入研究特征值的下标问题，写出总结报告.项目成果形式研究工作的成果以科研论文的形式加以反映，形成系列研究成果，在前沿问题上有所突破，拟在国内学术期刊上发表论文3-5 篇.B表：内蒙古自治区高等学校科学研究项目匿 名 评 审 书项目名称耦合边界条件下的特征值的下标问题起止时间2008.9.
6、2011.9研究方向微分算子谱理论一、 本项目国内外研究现状及趋势，研究本课题的实际意义和理论意义（限1000字）Sturm-Liouville 算子是一类十分重要的对称微分算子, 在经典物理学和近代量子物理学中均有重要的应用背景. 在量子力学中, 微分算子理论是描述微观粒子的主要数学工具, 能量算符是空间上的一个自伴算子, 其特征值对应着该系统束缚态的能级, 特别地, 光谱就是某个算子的特征值的分布.谱是算子的精髓.1999年Q.Kong 、H. Wu和A.Zettl给出了常微分算子的边界条件所组成的空间上的一个几何结构(即Grassman流形结构), 从这个几何结构又诱导出耦合自伴边界条件
7、空间上的一个几何结构. 这个几何结构在证明Sturm-Liouville问题的特征值间的不等式与等式时起到了决定性的作用(给出了一种新的证明方法). 这是几何的、整体的观点和方法第一次被引入到常微分算子的谱的研究中. 2005年A.Zettl 指出: 这些几何结构对这个古老的学科来说似乎是一种新的方法. H. Wu等教授只利用Prfer角的思想方法首次解决了耦合自伴的边界条件下的特征值的下标问题. 在Sturm-Liouville方程的首项系数大于零的情况, 所用的方法比用特征函数的零点个数作为下标的估计和用特征值间的不等式的方法决定下标更有效; 在改变符号的情况下, 所用的方法也是很适用的方
8、法. H. Wu等教授在给出耦合自伴边界条件下特征值下标的确定方法时, 用到了他们给出的在耦合自伴边界条件下第个特征值在自伴边界条件空间上的连续性与不连续性、连续集与不连续集的有关概念及相应的定理，用到了他们给出的连续性特征值分支的概念及连续性特征值分支的单调性的相应的定理. H. Wu等教授是在关于的上的连续函数的方面考虑并给出相应的定理, 其中用到的分离自伴边界条件是与及其对应的特征值. 确定耦合边界条件下的特征值的下标需要突破传统的方法和引用新的思想，不但问题的本身有一定的意义，而且所用的方法本身也是开创性的.二、 项目研究的内容，预计突破哪些难题（限1000字）谱问题中有如下三类计算问
9、题是很重要的: 一是逼近给定区域（或区间）中所有特征值及对应的特征函数; 二是给定耦合自伴的边界条件下的特征值, 求其下标; 三是给定一个下标, 求耦合自伴的边界条件下的特征值及对应的特征函数.在谱问题的第二类计算问题中, 特征值间的不等式与等式发挥着重要的作用.Sturm-Liouville问题的特征值间的不等式至少有四方面的应用. 一是对给定了耦合自伴的边界条件下的特征值的一个下标, 能够得到一个计算相应的特征值的算法; 对分离自伴边界条件情形, 由特征值的Prfer角得到. 二是对分离自伴边界条件情形与耦合自伴的边界条件情形, 能够得到特征值的渐近公式. 三是能够决定自伴边界条件空间的第
10、个特征值的范围. 四是能够得出决定耦合自伴的边界条件下的特征值的下标的方法.由于特征值间的不等式应用广泛, 所以讨论特征值间的不等式及其证明就一直引起人们的高度重视. 当然, 讨论特征值间的等式问题(等号成立的充要条件)自然就有重要的意义. 本项目是准备在关于的上的连续函数的方面考虑并借助行列式和矩阵的有关性质得出与H. Wu的结论平行的结论, 其中用到的分离自伴边界条件是与及其对应的特征值. (1) 研究耦合自伴边界条件下第个特征值在自伴边界条件空间上的连续性问题.(2) 研究连续特征值分支的单调性问题.(3) 研究有关边界条件的自然圈、边界条件空间上的解析圈、边界条件的极限问题.(4) 研
11、究首项系数函数大于零的Sturm-Liouville 问题的特征值间的不等式与等式.(5) 研究首项系数函数改变符号的Sturm-Liouville 问题的特征值间的不等式与等式.(6) 研究耦合边界条件下的特征值的下标的确定方法. 三、现有研究基础，课题组开展此项研究具备的条件（限500字）该项目申请人已有了充分的知识储备与思想准备，已购置了一些国内外该领域的最新资料. 并且已初步进入该研究领域. 项目申请人近几年一直坚持微分算子理论这一数学分支学科的研究, 曾两次次参加内蒙古自然科学基金项目与广东省自然科学基金项目, 积累了一定的经验. 能与美国北伊利诺大学的H. Wu教授及我的导师保持密
12、切的学术交流，参加过“第二届谱理论和微分方程（国际）学术会议”，接触了在该研究方向的国内外的专家、学者，他们能够提供项目审请人一些意见及资料，另外，选题所需要的图书资料, 中国科学院情报中心大体上都可以查到. 所需文献H. Wu与导师还能提供一些.三、 研究思路、工作方案、技术路线（限600字）1、研究思路关于确定耦合边界条件下的特征值的下标问题的研究，拟采取前沿领域运用的边界条件的自然圈、边界条件的解析圈、边界条件的极限及连续特征值分支的单调性等理论. 2、工作方案 项目组成员之间每两周讨论一次，讨论围绕所读论文等资料进行，做到讨论前有准备，讨论后有总结，逐步地去发现问题、解决问题，再到彻底
13、解决问题. 3、技术路线 在研究工作的步骤和总体安排上，拟采用由近及远的路线. 首先对近几年国内外在该领域内的文章进行系统地分析研究，做出概括性地评述；关注现代物理学、量子力学所提出的新问题，以及其理论本身的前沿问题，找出行之有效的研究方法. 其次采用由简到繁逐步推进的办法，研究从方程的首项系数为正的情况，再到方程的首项系数改变符号的情况.五、项目经费预算（单位：万元） 项目经费总额申请资助数额配套资金数额开支项目经费备注论证调研费 1人均外出调研二次（主要去中科院情报中心） 25004 研究材料费 0.5购资料、复印资料及版面费 参加学术会议费 0.5项目经费合计六、项目研究预计达到的目标对“确定耦合边界条件下特征值的下标”问题的研究方面做一些开创性的工作。 / 文档可自由编辑打印
