空间点直线平面之间的位置关系

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1、一、知识要点：1. 平面的基本性质：公理 1 ：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。公理 2 ：过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面。公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线2. 空间中直线与直线之间的位置关系：空间两条直线的位置关系有且只有三种：如图：AB与BC相交于B点，AB与AB平彳f,AB与BC异面。公理 4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行。定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。3. 空间中直线与平面之间的位置关系：(1)直线在平面内有无数个公共点；(2)直线与平面相交有且只有一个公共点；

2、(3)直线与平面平行没有公共点。其中直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外。注意，我们不提倡如下画法4. 平面与平面之间的位置关系：(1)两个平面平行没有公共点；(2)两个平面相交有一条公共直线。二、例题讲解：例 1 、 根据图形，写出图形中点、直线和平面之间的关系2可以用几何 符号表示为：分析： 本题关键是找出图中基本元素点、直线、平面，然后再仔细分析点与直线、点与平面、直线与平面的位置关系，最后用文字语言和符号语言写出解： 图 1 可以用几何符号表示为：相 交 于 直 线 AB ， 直 线 a 在 平 面直线在平面线 AB内，直线a平行于直线AR直线b平行于直三个顶点满足条件相交于直

3、线 MNABC的顶点A在直线M肚,内但不在直线 MN上，点 C在平面内但不在直线MN.例 2 、 观察下面的三个图形，说出它们有何异同分析： 图 1 既可能是平面图形，也可能是一个空间图形的直观图；图 2 、图 3均用了一条直线衬托，它们都是空间图形的直观图解：图1可能是平面图形，也可能是空间图形的直观图；图 2是MN凸在外面的一个空间图形的直观图；图 3是MNH在里面的一个空间图形的直观图.点评： （ 1）本题隐含了三个平面两两相交的直观图画法及平面的画法、立体几何图的画法而这些画法的掌握程度将影响对空间结构的认识、对空间图形的分析和对立体几何的学习（ 2 ）与本题类似的其它变形还有：用虚线

4、画出图 4 正方体和图 5 三棱锥中被遮挡的棱，完成图形例 3 、 正方体ABCD-A1B1C1D1 中，（ 1 ） DD1 和 A1B1 的位置关系如何DiB和AC的位置关系如何AiC和DB的位置关系如何（ 2）和AD成异面直线的棱所在直线有几条（ 3）和BD成异面直线的棱所在直线有几条（ 4 ）六个面的正方形对角线共i2 条，这些对角线所在直线中，异面直线共有 多少对解析： 我们知道空间两条直线的位置关系有且只有三种，判断的依据是看两条直线是共面还是异面及是否有公共点。（ 1 ）异面直线；异面直线；相交直线；（ 2） 4 条分别是A1B1、B1B、C1D1、C1C；（ 3） 6 条分别是A

5、A1、CC1、A1B1 、B1C1、AD、 CD；（ 4 ） 30 对。例4、已知：如图，立体图形 A BCD的四个面分别是 ABC AACtD 4ABD和 BCD , E、F、G分别为线段 AB AC AD上的点，EF/ BC, FG/ CD求证： EFS BCD证明：:在平面 ABC中，EF/ BC ,又 在 平 面 ACD 中FGCD，EG / BD.，/ EFG =/ BCD同理/ FGE =/CDB EFS BCD与本例类似变形还有：已知：将一张长方形的纸片ABCD对折一次，EF为折痕再打开竖直在桌面上,如图所示，连结AD、 BC求证： ADBG /AD氏/ BCF （证明略）三、练

6、习：1下列图形中，满足)A)B)D)C)）表示平面，下列命题和表示方法都正确的是B)A)C)D)内的两点,3 用符号表示“若A、 B 是平面内”，即是C 是直线 AB 上的点，则 C 必在4“ a， b 为异面直线”是指：1)且 a 不平行于 b；4)5） 不存在平面， 使立上述结论中，正确的是（ ）A）（ 1 ）（ 4）（5 ）B）（1 ）（ 3 ）（ 4）C）（ 2 ）（ 4）D）（1 ）（ 5 ）5一条直线和两条异面直线的一条平行，则它和另一条的位置关系是（A）平行或异面（B）异面（C）相交（D）相交或异面6 .如图，空间四边形 ABC前，M N分别是ABCffiAACD的重心，若 BD

7、= m, 贝（J MN =.7 .如图，是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么AF、BG DE这三条线段所在直线是异面直线的是，它们所成的角为 度。四、练习答案：1. 提示 : 根据平面的无限延展性及平面画法来判断答案 : （C）2. 提 示根据点与平面应用”连接排除A； 根据公理两个平面相交为一条直线，排除B;再跟据图形可排除 D,因为A有可能在平面上.答案：（C）3. 提 示 : 熟 悉 点 与 线点与平面的关系正确使用”等符号答案 :.4 . 提示： 根据异面直线定义“不同在任何一个平面内， 没有公共点的两条直线叫异面直线”，结合图形可排除（2）、（ 3）、（ 4） . （二（

8、 2）中可能有all b, （3）中可能有all b, （4）可能有a与b相交或平行.）（ 5）是正确的，再由直线位置关系可得（1）也是正确的答案：（D）5 .提示：由公理可排除（A）,再结合图形可利用平移方法验证.答案：（D）6 .提示：重心是三条中线的交点，并分每条中线的比为 2 ： 3.连结AM并延长 交BC于E,连结AN并延长交CD于F,再连结MN EF,根据三角形重心性质得 BE = EC, CF= FD.MNEF， EFBDUI=NIAI aaNIAI答案：m7 . 解析：展开图还原成正方体如图所示（ C 点与 D 点重合），成异面直线的是AF与BC（或BD）, AF与BC所成角即为CE与BC所成角，为60度。