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1、第 9讲 最值问题之费马点与加权费马点知识点精讲 到三个定理的三条线段之和最小，夹角都为120旋转与最短路程问题主要是利用旋转的性质转化为 两点之间线段最短的问题，同时与旋转有关路程最短的问题，比较重要的就是费马点问题皮耶德费马(Pieere de Fermat)是一个17世纪的法国律师，也是一位业余数学家.之所以称业 余，是由于皮耶德费马具有律师的全职工作.他的姓氏根据法文与英文实际发音也常译为“费尔 玛”费马最后定理在中国习惯称为费马大定理，西方数学界原名“最后”的意思是：其它猜想都证实 了，这是最后一个.著名的数学史学家贝尔(E. T. Bell)在20世纪初所撰写的著作中，称皮 耶德费
2、马为“业余数学家之王”.贝尔深信，费马比皮耶德费马同时代的大多数专业数学家更 有成就，然而皮耶德费马并未在其他方面另有成就，本人也渐渐退出人们的视野，考虑到17世纪是 杰出数学家活跃的世纪，因而贝尔认为费马是17世纪数学家中最多产的明星.费马点问题最早是由法国数学家皮埃尔德费马在一封写给意大利数学家埃万杰利斯塔托里拆 利(气压计的发明者)的信中提出的.托里拆利最早解决了这个问题，而19世纪的数学家斯坦纳重新发 现了这个问题，并系统地进行了推广，因此这个点也称为托里拆利点或斯坦纳点，相关的问题也被称作 费马托里拆利斯坦纳问题，这一问题的解决极大推动了联合数学的发展，在近代数学史上具有里程 碑式的
3、意义.结论：(1) 平面内一点P到/EC三个顶点的之和为PA+PB+PC，当点P为费马点时，距离之和最小. 特殊三角形中：(2) 三内角皆小于120的三角形，分别以AB、BC、CA为边，向三角形外侧作正三角形ABC， ABC， BCA，然后连接AA, BB, CC,则三线交于一点P,则点P就是所求的费马点.(3) 若三角形有一内角大于或等于120，则此钝角的顶点就是所求的费马点.(4) 当ABC为等边三角形时，此时内心与费马点重合.下面简单说明如何找点P使它到ABC三个顶点的距离之和PA+PB+PC最小？这就是所谓的费尔马问 题.这时 ZBPA = 180ZAPP=18060=120,ZAPC
4、=ZAPC=180ZAPP=18060 = 120，ZBPC=360-ZBPA-ZAPC=360-120-120=120，因此，当ABC 的每一个内 角都小于120时，所求的点P对三角形每边的张角都是120，可在AB、BC边上分别作120的弓形 弧，两弧在三角形内的交点就是P点；当有一内角大于或等于120时，所求的P点就是钝角的顶点. 费尔马问题告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离之和最小，解决问题的方法是运用旋转变换.解析：如图1,把APC绕A点逆时针旋转60得到AP C，连接PP,则AAPP为等边三角形，AP =PP, p C=PC，所以 PA+PB+PC=PP +PB+P C.点C可
5、看成是线段AC绕A点逆时针旋转60而得的定点，BC为定长，所以当B、P、P、C四点在同 一直线上时，PA+PB+PC最小.BC图1C，加权费马点模型“加权”的意思就是“乘以权重”，即“乘以系数”的意思 加权费马点指三角形三个顶点的距离乘以系数时和的最小值问题 限于初中知识的局限性，加权费马点问题三角形三个顶点的距离乘以的系数是特殊的勾股系数，及他们的 平方关系，而出题角度上由于最后计算部分只能是特殊角如120，135，150的角度通过旋转变换，可以改变线段的位置，优化图形的结构，将不规则图形变为规则图形，或将分散的条件集 中在一起，以便挖掘隐含条件，使问题得以解决【模型解析】在ABC中有一点F
6、,连接AP, BP, CP,求aP4 + bPB+cPC的最小值.数据处理原则求aPA + bPB+cPC的最小值（a、b、c为整数） 先将aPA + bPB+cPC的系数化简成一个系数为一的系数，通常这条线段不作为旋转P与另两个端点的 三角形进行旋转特殊角度进行分析. 常见角度处理原则ZACB 为 30 和旋转角 ZACA=60。形成ZBCA=90；ZACB 为 30 和旋转角 ZACA=90。形成ZBCA=120；ZACB 为 30 和旋转角 ZACA =120 形成ZBCA =150；ZACB 为 45 和旋转角 ZACA =90。形成ZBCA =135；ZACB 为 60 和旋转角 Z
7、ACA =60。形成ZBCA =120；ZACB 为 60 和旋转角 ZACA =90。形成ZBCA =150；ZACB 为 90 和旋转角 ZACA =60。形成ZBCA =150.这些较为常见的特殊角组合,在初中的知识结构中能在直角三角形中进行求解线段长度.一般需要将加权 的线段转化为首尾顺次相接,在运用两点之间线段最短解题. 【解题套路】处理数据aPA + bPB+cPC,这里我们以左右同时除以b,进行说明.处理后得a AP+BP+bC CP.BCABC以A, C为旋转中心，进行旋转，我们以C为旋转中心为例，如上图 W A” CsM，A C,在得到P A 与PA的关系，由勾股定理与特殊三
8、角形关系得到PP与PC的关系，当B、P、P、A共线时运用两点间线段最短进行求解. 加权费马点模型典例等边三角形ABC中，边长为m, P为ABC内部一点，求-AP+BP+ - CP的最小值(a、b、c为勾股数 aa或相等bWaWc).解析将/CF绕点C旋转90得ACP,取CP和CA的点P，A使CPn= - CP, A C=a-A C,连接 PP.aACP 绕点 C 旋转 90 得 CP, :.PC=P C,：ZACB=60, ZACA =90,ZA CB= 150,-ZACG=30,TCP= CP, A C=HAC,ZACP=ZACP,；MACsM a c,； aaP A= - PA,TAC=m
9、,.A C= bm , CF= 3 , a f= bm ,.在RtAPCP中，CP= - CP,a a 22 aa.PP= - PC,.求-AP+BP+ - CP 的最小值为 B、P、P、A 共线，最小值 BA = JAF2+BF2aaa典型例题【例 1】阅读下列材料对于任意的ABC,若三角形内或三角形上有一点P、若PA+PB+PC有最小值，则取到小值时，点P为 该三角形的费马点. 若三角形内有一个内角大于或等于120，这个内角的顶点就是费马点； 若三角形内角均小于120，则满足条件ZAPB=ZBPC=ZAPC= 120时，点P即为费马点. 解决问题：(1) 如图，ABC中，三个内角均小于12
10、0,分别以AB、AC为边向外作等边ABD、ACE,连接CD、 BE 交于点 P.证明：点 P 为AABC 的费马点，(即证明 ZAPB=ZBPC=ZAPC=120)且 PA+PB+PC=CD.(2) 如图，点Q为三角形内部异于点P的一点，证明：QA+QC+QBPA+PB+PC.(3) 若ZABC=30, AB=3, BC=4,直接写出 PA+PB+PC 的最小值.EE答案】(1)详细证明过程略：提示，如图EE图二E在线段CD上取点F,使得PF =BP.第一阶段：如图以，先证明AACD AEB，可得 CD =BE，ZADC =ZABE，因此ZBPD =ZBAD =60， AZBPC =120，得
11、证明.第二阶段：如图二，因为PB=PF，ZBPF =60，可证AEPF为等边三角形，则ZDFB =120.第三阶段：如图三，证明 ABP DBF，则 PA=DF，ZBPA=ZDFB =120，/.ZBPC =ZBPA=ZAPC = 120。，且 CD =DF +PF +PC =PA +PB +PC .为边构造等边BQG，连接DG，证明AEGD BQA，则DG = + QC DC，则 QA +QC +QB PA +PB +PC .(2) 详细证明过程略，如图四，以BQ QA，根据两点之间线段最短，DG +QG(3) 最小值为 5E图四E图五【例2】在等边三角形ABC中，边长为4, P为三角形AB
12、C内部一点，求AP+BP + PC的最小值.解析过C作AC的垂线截取AC=AC, C作PC的垂线截取PC=PC.:PC丄PC, AC丄AC,ZACA=ZPCP=90,ZACP=ZACP,TAC=AC,ZACP=ZACP，, PC=PC,AACP9AACP,AP=AP,TPC 丄 PC, PC=PC,PP = q2 pc,ap+BP+迈 PC的最小值为B、P、P、A四点共线时取最小值为A B,VZACA =90,ZACB=60,ZBCA = 150,Z A CH = 30,T A C = 4, A H = 2, CH=、岚，: A B = x BH2+AH2 =V（4+213）2 +22 =4
13、*2+y3 .A【例3】在ABC中，BC为4, AC=3 込, ZACB=45, P为三角形ABC内部一点，求AP+BP+逅PC 的最小值.将/CF绕点C旋转90得A CP,连接PP.ACP 绕点 C 旋转 90 得 CP，:PC=P C, PA=P A ,T/ACB=45,/ACA =90,AZ A CB= 135,：ZA CG=45,：PA=P A，/PCP =90,：PP =、込PC,：A C=3 2 , :.AG=CG =3,.求AP+BP+込PC的最小值为B、P、P、A共线即可，.最小值为BA =、: AO+bg 2=(4+3)2 +32 = 58 .【例4】在ABC中，BC为4,
14、AC=3 2 , ZACB=45, P为三角形ABC内部一点，求1AP+BP+竺2 2PC 的最小值.将AACP 绕点 C 旋转 90 得A CP,取 CP和 CA的中点 P , A,则 CP = 1 CP, CA = 1 CA22,连接 PP .:ACP 绕点 C 旋转 90 得AA CP，:PC=P C, *：ZACB=45, ZACA =90,/.ZA CB=135, ZA CG=45,： CP = 1 CP, CA = 1 CA, ZA CP =ZA CP, :. PA CsP A C,22:P A = 1P A, :A C=3、込,:A C=包,CF=AF= 3 , :在 RtAPCP，中，CP =1 CP,2 2 2 2 ：.PP = 1I PC,：求1AP+BP+匡PC的最小值为B、P、P、A共线即可，：最小值为BA= 2 2 2AF 2+BF 23=4 CA,连接 PP，、A P
