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1、问题06如何运用导数解决参数范畴问题一、考情分析导数是研究函数图象和性质的重要工具,有关导数问题是每年高考的必考试题之一，且相称一部分是高考数学试卷的压轴题.其中以函数为载体,以导数为工具,考察函数性质及应用的试题,已成为近来几年高考中函数与导数交汇试题的明显特点和命题趋向.随着高考对导数考察的不断进一步，运用导数拟定含参数函数中的参数取值范畴成为一类常用的摸索性问题,由于含参数的导数问题在解答时往往需要对参数进行讨论,因而它也是绝大多数考生答题的难点,具体表目前：她们不知何时开始讨论、如何去讨论.对这一问题不仅高中数学教材没有简介过,并且在众多的教辅资料中也很少有系统简介,本文通过某些实例简
2、介此类问题相应的解法，盼望对考生的备考有所协助.二、经验分享(1)研究含参数的函数的单调性，要根据参数对不等式解集的影响进行分类讨论(2）划分函数的单调区间时,要在函数定义域内讨论,还要拟定导数为0的点和函数的间断点.(3)函数在某个区间存在单调区间可转化为不等式有解问题(4)求函数f（x)极值的环节拟定函数的定义域；求导数f()；解方程f(x)0，求出函数定义域内的所有根;列表检查(x）在(x)=0的根x0左右两侧值的符号,如果左正右负,那么(x)在0处取极大值,如果左负右正,那么f(x)在x处取极小值（5)若函数yf(x)在区间(a,)内有极值，那么y=f（x)在(，b)内绝不是单调函数,
3、即在某区间上单调函数没有极值(）求一种函数在闭区间上的最值和在无穷区间（或开区间）上的最值时,措施是不同的.求函数在无穷区间(或开区间)上的最值,不仅要研究其极值状况,还要研究其单调性,并通过单调性和极值状况,画出函数的大体图象,然后借助图象观测得到函数的最值.运用导数研究方程的根(函数的零点）的方略三、知识拓展(1)个别导数为0的点不影响所在区间的单调性,如()3,(x）=3x2(f(x)0在x=时取到）,f（x)在R上是增函数()运用集合间的涉及关系解决：yf(x)在(a,b）上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集.（3） f()为增函数的充要条件是对任意的x（a，)均有f()且在(
4、,b）内的任一非空子区间上f（x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略,否则漏解（)研究方程的根或曲线的交点个数问题,可构造函数,转化为研究函数的零点个数问题可运用导数研究函数的极值、最值、单调性、变化趋势等,从而画出函数的大体图象，然后根据图象判断函数的零点个数四、题型分析(一）与函数单调性有关的类型用导数研究函数的单调性,这是导数最为基本的运用，有关结论是：若函数在区间上可导,则在区间上递增；递减.根据函数单调性求参数（函数中含参数或区间中含参数)的取值范畴（一般可用不等式恒成立理论求解),一般环节是:一方面求出后，若能因式分解则先因式分解,讨论=0两根的大小判断函数的单调性,若不能因
5、式分解可运用函数单调性的充要条件转化为恒成立问题.【例1】已知函数f（x)=exln-ae(）,若f(x)在(0，)上是单调函数,求实数a的取值范畴.【分析】运用导数判断函数的单调性,先拟定在此区间上是单调增还是单调减函数.若 f(x)为单调递减函数,则f(x)0,若(x)为单调递增函数，则f(x)0,然后分离参数,转化为函数求最值.故(x)在(，)上为单调递减函数,在1,+)上为单调递增函数，此时g(x)的最小值为g(x)1,但g(x)无最大值(且无趋近值)故f(x)不也许是单调递减函数若f()为单调递增函数,则f()0,在x时恒成立,即anx0，在x时恒成立,因此a+lx,在x时恒成立，由
6、上述推理可知此时a.故实数a的取值范畴是(-,1【点评】已知函数单调性,求参数范畴的两个措施(1）运用集合间的涉及关系解决：y=f(x)在(,b)上单调,则区间(,b)是相应单调区间的子集.(2)转化为不等式的恒成立问题：即“若函数单调递增,则f（x）;若函数单调递减,则f(x)0”来求解【小试牛刀】【广东深圳上学期期中】若函数在区间内单调递增,则a的取值范畴是. B. C. D 【答案】(二) 与不等式有关的类型以导数作为工具,以具有参数的不等式作为载体在知识交汇处命题已成为如今各地联考和高考命题的热点之一,在运用不等式恒成立求参数取值范畴时，常运用如下结论：若值域为，则不等式恒成立;不等式
7、有解;若值域为,则不等式恒成立；若值域为则不等式恒成立.【例2】已知函数()判断函数的单调区间;()若对任意的,均有,求实数的最小值【分析】()先求导可得,由于分母,可直接讨论分子的正负即可得导数的正负,根据导数不小于0可得其单调增区间,导数不不小于0可得其单调减区间()可将转化为,设函数,即转化为对任意的， 恒成立,即函数的最大值不不小于.先求函数的导数,讨论其正负得函数的单调区间，根据单调性求其最值,根据函数的最大值不不小于即可求得的范畴.（）等价于，设函数,对于函数,不妨令.因此, 当时，在时,因此在为增函数,因此,不符合题意;当,在时,，因此在为增函数，因此,不符合题意;当时，在时,因
8、此在为减函数,因此,即在上成立，符合题意;综上，实数的最小值为【点评】本题重要考察导数的运算、运用导数研究函数的单调性、运用导数研究函数的极值与最值、恒成立问题等数学知识,考察综合分析问题解决问题的能力和计算能力,考察函数思想和分类讨论思想运用“要使成立,只需使函数的最小值恒成立即可；要使成立，只需使函数的最大值恒成立即可”.在此类问题中分类讨论往往是一种难点,这需要通过平时不断的训练和结累方可达到的.【小试牛刀】【福建省莆田市第一中学高三上学期第一次月考】已知函数,若存在，使得,则实数的取值范畴是（ )A. B C D. 【答案】C(三) 与极值有关的类型极值这个概念在高中数学中可以说是一种
9、与导数紧密相连的概念,基本上只要提到极值或极值点就会想到导数，极值点个数的鉴定,一般是转化为使方程根的个数，一般状况下导函数若可以化成二次函数,我们可以运用鉴别式研究，若不是,我们可以借助图形研究.在完毕此类题目时一定要注意极值与最值的区别,它们有本质的不同:极值是一种局部的概念，而最值是一种整体的概念【例3】【湖北荆州高三上学期第一次质量检测】已知函数,为自然对数的底数(）当时，试求的单调区间;(2）若函数在上有三个不同的极值点，求实数的取值范畴.【分析】(1）借助题设条件运用导数求解;(2)根据题设进行转化,构造函数运用导数知识探求.【解析】（1)函数的定义域为，当时,对于恒成立,因此,若
10、，若 ,因此的单调增区间为,单调减区间为 .【点评】导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具.本题就是以函数解析式为背景,精心设立了两个问题,旨在考察导数知识与函数单调性和极值的关系等方面的综合运用以及分析问题解决问题的能力.本题的第一问是求函数的单调区间,求解时运用求导法则借助的范畴及导数与函数的单调性的关系,分别求出求出其单调区间；第二问则通过构造函数,运用求导法则及转化化归思想,分析推证建立不等式,从而求出,使得问题获解【小试牛刀】【江西省南昌上学期第三次月考】若函数存在唯一的极值点,且此极值不不小于0,则实数的取值范畴为（ )A B. C D 【答案】(四） 与方程有关的
11、类型在目前高中数学命题中常浮既有关参数的方程问题、根的分布问题，有时甚至出目前某些高考试题的压轴题中.完毕此类问题对的的转化是解题最为核心的地方,基本较差的学生也许浮现复杂问题简朴化的现象（固然是错误的理解而已）,这种题型往往能较好的考察学生运用所学知识解决新问题的能力,这也正是它的魅力所在【例4】【山东省安丘市高三10月份质量检测】若存在正实数,使得有关x的方程有两个不同的根，其中e为自然对数的底数,则实数a的取值范畴是A. .C 【答案】B【分析】根据函数与方程的关系将方程进行转化,运用换元法转化为方程的有解,构造函数求函数的导数，运用函数极值和单调性的关系进行求解即可【解析】由题意得,令
12、，则,当时，当时，,因此,因此,而时，则要满足,解得,故选B. 【点评】本题考察了常用函数的导数、导数的运算法则、导数函数单调性关系、导数的综合应用和运用导数证明不等式，考察了学生的转化能力和运算求解能力在某一区间内有关方程根的分布状况，所波及方程往往有两类：一类为一元二次方程,它可充足运用三个二次的关系进行解决问题;另一类为非一元二次方程，此时一般要构造新的方程或函数进行研究,运用导数作为工具,数形结合解决此类问题.【小试牛刀】若存在正实数,使得有关的方程有两个不同的根,其中为自然对数的底数,则实数的取值范畴是 ( ）. C. D.【答案】五、迁移运用1.【四川省成都市第七中学高三上学期半期
13、考】已知，若有关的方程正好有个不相等的实数解,则实数的取值范畴为. . . D. 【答案】C【解析】,当时, , ,当时，即在内为增函数，当时, ,即在内为减函数,当时, ,即在内为减函数作出,函数的图象如图所示:2【广东省五校高三2月联考】已知函数,若有且只有两个整数,使得,且，则的取值范畴是（ )A. C. D. 【答案】C【解析】3【陕西省西安中学高三上学期期中】已知函数,若对于任意的，均有成立,则实数的取值范畴是（ ）. B C. . 【答案】A【解析】运用排除法,当时， ， ,函数在定义域上单调递增， ,满足题意,排除CD选项，当时, ,函数在定义域上单调递减, ,满足题意,排除B选
14、项,故选A.【陕西省西安高三上学期期中】若函数在单调递增,则的取值范畴是( ）. B C. D. 【答案】D【解析】函数的导数为由题意可得恒成立，即为即有 设,即有由题意可得,且,解得的范畴是，故选D. 5 【天津市耀华中学高三上学期第二次月考】若函数在区间上有最小值,则实数的取值范畴是( ）A. B. C. 【答案】C6【东北师范大学附属中学高三第五次模拟】已知函数，,当时,不等式恒成立，则实数的取值范畴为. B. D 【答案】D【解析】不等式即,结合可得恒成立，即恒成立，构造函数，由题意可知函数在定义域内单调递增，故恒成立，即恒成立,令，则,当时，单调递减;当时，单调递增;则的最小值为,据此可得实数的取值范畴为.本题选择选项.7【贵州省铜仁市第一中学高三上学期第二次月考】设函数，其中,若存在唯一的整数,使得,则的取值范畴是（ ) C D. 【答案】B 直线恒过点,设过的直线与曲线相切于点且切线方程为：，代入,故，解得或者，当时,，因此当时，直线可与在轴下方的图像相交.由于有且只有一种整
