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1、数值分析第8章 数值积分与数值微分 8.1 填空题（）n+1个点的插值型数值积分公式abf(x)dxj=0nAjf(xj)的代数精度至少是 n ，最高不超过 2+ 。【注：第1空,见定理8.】(2)梯形公式有1次代数精度,Simps公司有 3 次代数精度。【注：分别见定理,8.3】（3）求积公式0hf(x)dxh2f0+fh+ah2f0-f(h)中的参数a/2 时,才干保证该求积公式的代数精度达到最高，最高代数精度为 3 。解:令f()=1，x,x2带入有,h21+1+ah20-0=hh20+h+ah21-1=12h2h20+h2+ah20-2h=13h3注：x的导数=1解之得，a1/12，此
2、时求积公式至少具有2次代数精度。积分公式为：0hf(x)dxh2f0+fh+h212f0-f(h)令f(x)= x3带入求积公式有：h20+h3+h2120-3h2=14h4，与f（x)x的定积分计算值14h4相等，因此，此求积公式至少具有次代数精度。令f(x)= x4带入求积公式有,h20+h4+h2120-4h3=16h5，与（x)= x的定积分计算值15h5不相等,因此，此求积公式的最高代数精度为3次代数精度。. 拟定下列求积公式的求积系数和求积节点,使其代数精度尽量高，并指出其最高代数精度。解题思路：按照P149 中8.3式进行求解，根据求积公式中未知量n的数量决定代入多少f()，当积
3、分公式代入求积节点的计算成果与定积分的计算成果一致,继续代入求积节点Xn+1,若计算成果与相应的定积分计算成果不一致时，求积公式拥有最高n次的代数精度。(）02hf(x)dxA0f0+A1fh+A2f(2h)解：令(x）=1,x,x2代入有，【注：本例中需求解0、1、A2共3个未知量,故需3个相异求积节点f(）】A0+A1+A2=2hA1h+A22h=122h2A1h2+A22h2=132h3求解得A0=13h，A1=43h，A2=13h，求积公式为：02hf(x)dx13hf0+43hfh+13hf(2h)该求积公式对个相异节点，x,x均有余项Ef=0， /注:参见P149定理8.该求积公式
4、至少具有2次代数精度。令f()= x,代入求积公式有:43hh3+13h2h3=4h4 函数f（x) = x的定积提成果为:02hx3dx=142h4=4h4 ,与求积公式计算值相等,该求积公式具有3次代数精度。令f(x)= x4,代入求积公式有:43hh4+13h2h4=203h5函数f() = x4的定积提成果为02hx4dx=152h5-05=325h5,与求积公式计算值不相等，该求积公式的最高代数精度为次代数精度。(2）-11f(x)dxAf-1+2fx1+3f(x2)解：令（x)=,x代入有，【注:本例中需求解A、1、2共个未知量,故需个相异求积节点f(x)】A1+2+3=2A-1+
5、2x1+3x2=0A-12+2x12+3x22=1313-13=23求解得A=13，x1=0.6899，x2=-0.1260，或A=13，x1=-0.2899，x2=0.5266求积公式为：求积公式:-11fxdx13f-1+2f0.6899+3f-0.1260求积公式1：-11f(x)dx13f-1+2f-0.2899+3f0.5266该求积公式对3个相异节点1,x,x2均有余项Ef=0，/注:参见P14定理8.1该求积公式至少具有2次代数精度。令f(x)=x3代入求积公式1有：13-13+20.68993+3-0.12603=-0.2245令f(x)=x3代入求积公式2有：13-13+2-
6、0.28993+30.52663=-0.2928函数f（) x3的定积提成果为:-11x3dx=1414-14=0 ,与求积公式计算值均不相等，该求积公式的最高代数精度为2次代数精度。(3)-11f(x)dxA1f-1+A2f-13+A3f(13)解:令f()=1，x，x2代入有,【注:本例中需求解A1、A2、3共3个未知量，故需个相异求积节点f()】A1+A2+A3=1-1=2A1-1+A2-13+A313=1212-12=0A1-12+A2-132+A3132=1313-13=23求解得A1=12，A2=0，A3=32，求积公式为： -11f(x)dx12f-1+32f(13) 该求积公式
7、对3个相异节点1,x,x均有余项Ef=0,/注:参见P14定理8. 该求积公式至少具有2次代数精度。令f(x)= x3,代入求积公式有：12-13+32133=-0.4444 函数（x) x3的定积提成果为:-11x3dx=1414-14=0,与求积公式计算值不相等， 该求积公式的最高代数精度为2次代数精度。（4)-11f(x)dxA1fx1+A2f0+A3f(1)解：令f(x）=,x，x2,x3代入有,【注:本例中需求解A1、A2、A、1共4个未知量，故需4个相异求积节点f()】A1+A2+A3=2A1x1+0+A3=0A1x12+0+A312=23A1x13+0+A313=0 求解得A1=
8、13，A2=43，A3=13，x1=-1求积公式为： -11f(x)dx13f-1+43f0+13f(1)该求积公式对4个相异节点,x,2,x3均有余项Ef=0，/注：参见49定理8.1该求积公式至少具有3次代数精度。令（)x4，代入求积公式有:13-14+0+1314=23 函数f(x) 4的定积提成果为:-11x4dx=1515-15=25,与求积公式计算值不相等, 该求积公式的最高代数精度为3次代数精度。(5）02f(x)dxfx1+fx2解：令f（x),x,代入有, 1+1=2x1+x2=2x12+x22=83 求解得x1=1-33x2=1+33 或x1=1+33x2=1-33求积公式
9、为: 02f(x)dxf1-33+f1+33该求积公式对3个相异节点1，,x均有余项Ef=0，/注：参见149定理.该求积公式至少具有2次代数精度。令f(x)= x3，代入求积公式有：1-333+1+333=142404=4 函数() =x的积提成果为:02x3dx=142404=4 ，与求积公式计算值相等,该求积公式具有3次代数精度。令(x)= 4,代入求积公式有：1-334+1+334=6.2函数f(x)= x4的积提成果为:02x4dx=152505=6.4 ,与求积公式的计算成果不相等，该求积公式的最高代数精度为3次代数精度。8. 分别用复化梯形公式，复化impson公式,复化Coes
10、公式计算下列积分：解题要点：复化梯形公式【T,Un】-P15P15，复化Simp公式【S】-P15P15,复化Cote公式【Cn】-56。若在积分范畴内划分的社区间数n=，则直接用相应的公式从T1、1开始计算，然后按照T2、T4n的公式运用前面计算的数据进行计算,若n2,在直接运用梯形求积公式7直接计算Tn和Un,再运用T、Un求解n、C。（1）01x4+x2dx， n=8解:由题，设f(x)=x4+x21）用复化梯形公式求解有/由于n=23,本题从T1、U1开始计算，然后按照Tn、4n的公式运用前面计算的数据进行计算得到10 T1=12f0+f(1)=0.1 ， /见P14 公式8.,n=1
11、 U1=f12=0.11764706 /见4 Un的计算公式，n1T2=12T1+U1=0.10882353 /见55 公式8 U2=12f14+f(34)=0.11296096T4=12T2+U2=0.11089224 U4=14f18+f(38)+f(58)+f(78)=0.11191244T8=12T4+U4=0.111402352)用复化impson公式求解有：Sn=4T2n-Tn3/见1 公式.12S8=4T16-T83/由此可知，规定出S8,必须先求出T1,进而得先求出U8 U8=18i=17f(xi+1/2)=18f116+f(316)+f(516)+f(716)+f(916)+
12、f(1116)+f(1316)+f(1516)=0.11165540T16=12T8+U8=0.11152888S8=4T16-T83=0.11157106）用复化Cote公式求解有： Cn=16S2n-Sn15/见P16 公式8.14 C8=16S16-S815由此可知需先求出S16,由复化imon公式可知需先求出32，进而得知需先求U1。 U16=116i=115f(xi+1/2)=116f132+f(332)+f(532)+f(732)+f(932)+f(1132)+f(1332)+f(1532)+f(1732)+f(1932)+f(2132)+f(2332)+f(2532)+f(273
13、2)+f(2932)+f(3132)=0.11159294T32=12T16+U16=0.11156091S16=4T32-T163=0.11157159C8=16S16-S815=0.11157163(）01e-x2dx， n=10解:由题,设f(x)=e-x2)用复化梯形公式求解有 /由于n12n,故本题直接用复化梯形公式直接计算得到T0Tn=h2fa+fb+2i=1n-1f(xi) ， h=b-an=110 T10=120f0+f1+2i=19f(xi)，其中xi=a+ih=0.1iT10=120f0+f1+2f0.1+f0.2+f0.3+f0.4+f0.5+f0.6+f0.7+f0.8
14、+f0.9.7421002)用复化ipson公式求解有:Sn=4T2n-Tn3/见P155 公式81S10=4T20-T103/由此可知,规定出10,必须先求出T0，进而得先求出U10 U10=110i=17f(xi+1/2)=110f0.05+f(0.15)+f(0.25)+f(0.35)+f(0.45)+f(0.55)+f(0.65)+f(0.75)+f(0.85)+f(0.95)=0.74713088T20=12T10+U10=0.74667084S10=4T20-T103=0.746824193)用复化Cts公式求解有： Cn=16S2n-Sn15/见1 公式.1 C10=16S20-S1015/由此可知需先求出S2，由复化Simpson公式可知需先求出T40，进而得知需先求U20。 U20=120i=119f(xi+1/2)=120f0.025+f(0.075)+f(0.125)+f(0.175)+f(0.225)+f(0.275)+f(0.325)+f(0.375)+f(0.425)+f(0.475)
