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1、矩阵的特征值与特征向量 摘要 本文介绍了矩阵的特征值与特征向量的一些基本性质及定理，通过分析基本性质和定理来得出它们的基本求解方法，并延伸到一些特殊求解法。接下来还介绍了一类特殊矩阵实对称矩阵的特征值与特征向量，这让读者对矩阵的特征值与特征向量有更进一步的理解。最后给出了矩阵的特征值与特征向量在实际中的应用例子。这让我们明白研究它们不仅仅因为它们是学术知识,更是为了将它们应用到实际中去，解决实际问题，让我们的社会得到更快的发展。通过阅读这篇文章,可以使读者在以后的学习中对矩阵的求解更容易掌握。关键词: 矩阵、特征值、特征向量、正交、线性相关、线性无关、特征多项式 / Matri eienval
2、ue digenvtor Zg ueyuan （Sinc andinfomatonsciene departent 200 vlf atheac an appliematheati atSaoangvrty n Huan）Abstract Ti pperitrdue thevaluend some basic poprties d theremsof egnvctr o the matrix charcti， roughtnalyi of thebas rpertis ad theorems to derive bac soing mehod orthem, and extends o oms
3、pecial method. he t introues th chaacetcs o as ofspecilmarix - the ra syetc matx vaue nd te chracteritc vetor, tereade of mices have futhe understandg adfeatre vecto。 Finlly ives e matrix eievalue andegevector ofthe alicatin in he atual exle。Leus understand ti stdy thm no nlyeausetey a theademi know
4、ledge, bu aoto aply the o pracce，tol prcical robms， to maer scetdvelpquickly y eadng thi rtl, radersan ean in e fuure to ovhemarisee to rsp.Key word : ax， eigenvalue， eigenveco，otognal， linearcrrelatin， nr ndependne， carteristc olnomil 目 录中文摘要。.。.。.。.。.。.。.。.。.。.。.。.。.。.。.。.。.。.。.。Abract。.。.。.。.。.。.
5、。.。.。.。.。.。.。.。.。.。.。.。.。.。.。.。.。.引言。.。.。.。.。.。.。.。.。.。.。.。.。.。.。.。.。.。.。.。.。.。.。.。.。11 矩阵的特征值与特征向量。.。.。.。.。.。.。.。.。.。.。.。.。11.1 矩阵的特征值与特征向量的定义及基本理论.。.。.。.。.。.11。2 求解矩阵的特征值与特征向量方法 .。.。.。.。.。.2 实对称矩阵的特征值与特征向量。.。.。.。.。.。.。.。.。.72.1 实对称矩阵的性质、定理及对角化。.。.。.。.。.。.。.。.。2。2 求实对称矩阵的特征值与特征向量.。.。.。.。.。.。.。.。.。.
6、。93 矩阵的特征值与特征向量的举例应用。.。.。.。.。.。.。.。.1031 用特征值理论求解Fiboc数列通项.。.。.。.。.。.。.。.13 在研究经济发展与环境污染中的应用。.。.。.。.。.。.。.。.。.。.14 结论.。.。.。.。.。.。.。.。.。.。.。.。.。.。.。.。.。.。.。.。.5参考文献.。.。.。.。.。.。.。.。.。.。.。.。.。.。.。.。.1致谢.。.。.。.。.。.。.。.。.。.。.。.。.。.。.。.。.。.。.。.7引言 矩阵是高等代数课程的一个基本概念，是研究高等代数的基本工具.线性空间、线性变换等，都是以矩阵作为手段;由此演绎出丰富
7、多彩的理论画卷。求解矩阵的特征值和特征向量，是高等数学中经常碰到的问题。一般的线性代数教材中,都是先计算特征多项式,然后求得特征值，再通过解线性方程组得到对应的特征向量。特征多项式和特征根在整个矩阵理论体系中具有举足轻重的作用，并且在实际中也有广泛的应用.1 矩阵的特征值与特征向量1。1 矩阵的特征值与特征向量的定义及基本理论定义设一个阶方阵，是一个数,如果方程 （。1）存在非零解向量,则称为的一个特征值，相应的非零解向量称为属于特征值的特征向量。 （1） 式也可写成， （。2）这是个未知数个方程的齐次线性方程组,它有非零解的充分必要条件是系数行列式 (3） 即 上式是以为未知数的一元次方程,
8、称为方多项式阵的特征方程。其左端是的次多项式,记作，称为方阵的特征。 |A= 显然,的特征值就是特征方程的解。特征方程在复数范围内恒有解，其个数为方程的次数（重根按重数计算）。因此，阶矩阵有个特征值。设阶矩阵的特征值为由多项式的根与系数之间的关系，不难证明(）（）。若为的一个特征值,则一定是方程的根， 因此又称特征根,若为方程的重根，则称为的重特征根。方程的每一个非零解向量都是相应于的特征向量，于是我们可以得到求矩阵的全部特征值和特征向量的方法如下： 第一步：计算的特征多项式; 第二步:求出特征方程的全部根，即为的全部特征值； 第三步：对于的每一个特征值，求出齐次线性方程组： 的一个基础解系则
9、的属于特征值的全部特征 向量是 。 定义2 设是数域上线性空间的一个线性变换.如果对应中的一个数,存在中的非零向量，使得 (1。）那么就叫做的一个特征值，而叫做的属于特征根的一个特征向量。显然，如果是的属于特征值的一个特征向量,那么对于任意，都有 (.5)这样,如果是的一个特征向量，那么由所生成的一维子空间在之下不变;反过来,如果的一个一维子空间在之下不变，那么中每一个非零向量都是的属于同一特征值的特征向量。其中（1）式的几何意义是：特征向量与它在下的象保持在同一直线L(）上,时方向相同，时方向相反，时，例1 在V3中，是关于过原点的平面的反 射,它是一个线性变换。那么H中的每个非零 向量都是
10、的属于特征值1的特征向量，V就是平面。与H垂直的非零向量都是的属于特征值 -1的特征向量，即1就是直 线L(见图1）。 图定理1属于不同特征值的特征向量一定线性无关。 证明 设是矩阵的不同特征值，而分别是属于 的特征向量,要证是线性无关的.我们对特征值的个数m 作数学归纳法证明。 当时，由于特征向量不为零,所以结论显然成立。当时，假设时结论成立。由于是的不同特征值，而是属于的特征向量，因此 如果存在一组实数，使 （.6）则上式两边乘以得 (1。7） 另一方面， ，即 （1.8)（4）（)有 . 由归纳假设，线性无关，因此 （.9) 而互不相同，所以.于是（19）变为 因,于是。可见线性无关。12 求解矩阵的特征值与特征向量的方法 在求矩阵的特征值与特征向量之前,我们来讨论一下特征值与特征向量的关系,它们的关系如下：（1）如果关于某个基的矩阵是,那么的特征值一定是的特征根，但的特征根却不一定是特征值,的个特征根中属于数域的数才是的征特值；
