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1、高中立体几何中二面角求法摘要：在立体几何中，求二面角的大小是历届高考的热点,几乎每年必考，而对于求二面角方面的问题,同窗们往往很难对的地找到作平面角的措施，本文对求二面角的措施作了一种总结,但愿对学生有协助。 (一)、二面角定义的回忆:从一条直线出发的两个半平面所构成的图形就叫做二面角。二面角的大小是用二面角的平面角来衡量的。而二面角的平面角是指在二面角的棱上任取一点,分别在两个半平面内作射线,则为二面角的平面角。OABOABl (二)、二面角的一般求法1、由定义作出二面角的平面角; 2、运用三垂线定理(逆定理)作出二面角的平面角;3、作二面角棱的垂面，则垂面与二面角两个面的交线所成的角就是二
2、面角的平面角。4、空间坐标法求二面角的大小、平移或延长(展)线(面)法6、射影公式S射影=S斜面co7、化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角、运用定义作出二面角的平面角,并设法求出其大小。例1、如图,已知二面角-等于20,PA，A，P, 求PB的大小.POBA解: 设平面PABOA,平面PAB=OB。PA， PA 同理PB平面PAB又OA平面PABOA 同理O.OB是二面角的平面角.在四边形PAO中, A=12,. P=POB=9, 因此A=02、 三垂线定理(逆定理）法由二面角的一种面上的斜线(或它的射影）与二面角的棱垂直,推得它位于二面角的另一的面上的射影(或斜线）也与二面角的
3、棱垂直,从而拟定二面角的平面角。ABCDA1B1C1D1EO例：如图，AC-A1BD1是长方体,侧棱AA长为1,底面为正方体且边长为2，是棱B的中点,求面C1DE与面CE所成二面角的正切值.解:在长方体ABA1C11中由三垂线定理可得: D=2 C=1, E=3、找（作)公垂面法由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角。例5、如图,已知PA与正方形CD所在平面垂直,且AB,求平面PA与平面CD所成的二面角的大小。 解: PA平面ACD，PAC.P 又CDA，故CD平面PAD. A D而CD平面PCD, C 因此 平面PD平面AD.
4、同理可证 平面PAB平面PAD.由于 平面P平面PD=PD,平面PAB平面PDP,因此PA、D与所求二面角的棱均垂直,即APD为所求二面角的平面角，且APD45. 5、平移或延长（展）线（面）法将图形中有关线段或平面进行平移或延长(展）,以其得到二面角的两个平面的交线。例、正三角形ABC的边长为10,A平面,、C在平面的同侧，且与的距离分别是4和,求平面BC与所成的角的正弦值。解:设E、F分别为B、C的射影,连并延长交B延长线于D,连；AE、F是、C射影 BE丄;丄 BEC 又CF:BE= , B 是D的中点 B=DC, CABC是正三角形BBC=AC=60， 又+C=80 , F DaACD
5、1又A=D ， ACD=CDA=30，又BA=BAC+CA ,BAD=90，A丄AD ，又AE是AB在平面上的射影，AA 又 BAD ，平面BC平面=，E是平面B与所成的角,BE平面, BEAE ，C是 RtSinBE=BE：AB=,即平面BC与所成角的正弦值为。、射影公式由公式S射影=S斜面cs,作出二面角的平面角直接求出。运用这一措施的核心是从图中找出斜面多边形和它在有关平面上的射影,并且它们的面积容易求得。AHMD1C1B1A1BCD例4、如图,设M为正方体ABCDA1B1C11的棱C1的中点,求平面BD与底面ABCD所成的二面角的大小。 解:面ABD,C1C面ABC， BMD1在底面上
6、的射影为BDC，设正方体的棱长a，则SBCD=,1a因此H=a，BD1=a由SDC=S1cs得ro 、化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角例6、在长方体ABDBC11中,点E、F分别在BB1、D1上，且AEAB，AFD(1) 求证:平面AEF；若规定两个平面所成的角是这两个平面所构成的二面角中的锐角(或直角），则在空间中有定理:“若两条直线分别垂直于两个平面，则这两条直线所成的角与这两个平面所成角的大小相等”（2)、试根据上述定理,在AB=4,AD=3，A5时，求平面AF与平面1B1BD所成角的大小的余弦值ABCDA1B1C1D1FEG解：(1)1BB 即A1B是A1C的射影 又A
7、1BE A1CA 同理 A1CAF A1C平面AF (2) 的解法如下： 过C作BD的垂线交AB于G. 又D1DCG，故C平面BB1D1D而AC平面EF(1）已证）,设C与A所成的角为,则即为平面BB11与平面AF所成的角SinCG=SiBD,，CosBCG=,GCB=,G=1G=A1AG=，A1C=ABADA1=50在CG中，由余弦定理得CosACG=求二面角的大小尚有诸多的措施,这里只是列举了几种常用的措施，但愿同窗们能在解题的时候加以总结，争取在高考中旗开得胜！如何用空间向量求解二面角求解二面角大小的措施诸多,诸如定义法、三垂线法、垂面法、射影法、向量法等若干种。而这些措施中最简朴易学的
8、就是向量法,但在实际教学中本人发现学生运用向量法求解二面角还是存在某些问题,究其因素应是对向量法的源头不尽理解。本文就简要简介有关此类问题的解决措施,但愿对人们有所协助。在立体几何中求二面角可归结为求两个向量的夹角问题对于空间向量、，有cos=.运用这一结论，我们可以较以便地解决立体几何中二面角的问题.例1 在四棱锥-ABCD中,底面BD是正方形，侧面VD是正三角形，平面VAD底面BCD求面VAD与面VB所成的二面角的余弦值.证明: 建立如图空间直角坐标系，并设正方形边长为,依题意ABCVDxyz得(,1，0），是面VA的法向量,设=(,y，z)是面DB的法向量,则 (1,1,)。os,=-，
9、又由题意知，面AD与面VB所成的二面角为锐角，因此其他弦值是BBCACADM例如图,直三棱柱ACA1B1C中，ACB =，C1，CB=,侧棱AA=1,侧面A11的两条对角线交点为D,B1C1的中点为M求证CD平面BDM;求面1D与面B所成二面角的余弦值. 解：略BBCACADMyxzG如图，以C为原点建立坐标系设中点为，连结BG,则依G（，),=(,),= (-,-,),=0，BDG又CDD，与的夹角等于所求二面角的平面角.cos=-例如图,在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱D底面CD,PD=D，是PC的中点,作EF交于点F.求二面角CB的大小解:zPFEDABCyxG如图所示建
10、立空间直角坐标系,为坐标原点，设设点F的坐标为,=，则.从而因此=.由条件PB知，= 0，即,解得.点的坐标为，且，即，故是二面角CB的平面角=,且,因此，二面角CPBD的大小为.xyzABBA例 已知三棱柱AB中,平面平面,=，=，且= 2,=,求二面角AB的余弦值.解：觉得原点，分别以,所在的直线为x，y轴，过点且与平面垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系如图，则(0,0)，(0,),（，）,(,1，），(0，2,0）.= (，1,),= (-,2,0）显然为平面的法向量，取=(0，0,1),设平面的法向量为= (x,)，则= ，= 0.即,令y =,x = ，z = ,则= (2，1)cs，=,故二面角AB的余弦值是
