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1、习题七1 .设总体X服从二项分布b(n,p),n已知，Xi,X2,，Xn为来自X的样本，求参数p的矩法估计.【解】E(X)np,E(X)AX,因此np=I所以p的矩估计量2 .设总体X的密度函数f (x, e)-22(x), 0 x0,其他.1Xi,X2,，Xn为其样本，试求参数e的矩法估计.22x2x3【斛】E(X)0x(x)dxy0-令E(X)=Ai=X，因此-=X所以e的矩估计量为3X.3.设总体X的密度函数为f (x,0),Xi,X2,，Xn为其样本，求e的极大似然估计.(1)f(x,e)ex,x0,0,x0.f(x,e)=x1,0x1,0,其他.nnxei 1n【解】(1)似然函数L
2、f(xi,)i1ngInLnlnxii14dgdlnLnn由-xi0知ddi1所以e的极大似然估计量为(2)似然函数nngi1Xi1,0Xi1,i=1,2,，n.lnLnIn1)lnXiXiInnnlnXii1nnlnXii1所以e的极大似然估计量为nnlnxii1J号至234567890益率.010.11-0.12-0.09-0.13-0.3-.100.09-0.1-0.11求这批股民的收益率的平均收益率及标准差的矩估计值.【解】x0.094s0.101893n94.从一批炒股票的股民一年收益率的数据中随机抽取10人的收益率数据，结果如1?Xx0.094.?2 E()2 A2,._2_2_2
3、由E(X)D(X)E(X),E(X)A,A2EQ?)2.，1；Xi210(X)20.101890.0966-0.94 和 0.966.的样本观测值：e的无偏估计.所以这批股民的平均收益率的矩估计值及标准差的矩估计值分别为5 .随机变量X服从0,0上的均匀分布，今得X090.8,0.2,0.8,0.4,0.4,0.7,0.6,求0的矩法估计和极大似然估计，它们是否为【解】(1)E(X),，令E(X)X,则2X且E(?)2E(X)2E(X)所以e的矩估计值为？2X20.61.2且？2X是一个无偏估计8(2)似然函数L f(x,)i 1显然 l=l( e)J( e 0),那么81.,i =1,2，8
4、.maxx时，L=L(e)最大, 1 i 8所以e的极大似然估计值？=o.9.因为e(?)=e(maxxi)we，所以？=maxxi不是0的无偏计.2,?26 .设X1,X2,，Xn是取自总体X的样本，E(X)=W,D(X)=n1=k(Xi1Xi)2,问k为何值时？2为b2的无偏估计i1【解】令YiXi1Xi,i=1,2,n-1,于是那么当E(Yi)E ?2E(Xi 1)E(Xi)0,D(Yi)n 1 22_2Ek( Y ) k(n 1)EY 2 (ni 11)k,E( ?2)2,即 22(n1)k2时,k/7.设Xi, X2是从正态总体,12X1 . 八1 3X2;?2N (-X 4(T2)
5、中抽取的样本3 一 11二 X2;2 Xi X2;422?2,?3都是科的无偏估计量，并求出每一估计量的方差212121【证明】(1)E(Z)E-X1-X2-E(X1)-E(X2)333333一13E(?2)-E(Xi)3E(X2)44-11E(Z)-E(Xi)-E(X2),22所以z,?2,?3均是w的无偏估计量(2) D(?)D(Xi)42D(X2)X 2592八 1D(?2)1 D(Xi)423 _3 D(X2)4D(?3)21，、，、D(Xi) D(X2)28.某车间生产的螺钉，其直径XN ( , b2)，由过去的经验知道b 2=0.06,今随机抽取6枚，测得其长度(单位mm)如下:1
6、4.715.014.814.915.115.2试求科的置信概率为0.95的置信区间.【解】n=6,(T2=0.06,a=1-0.95=0.05,x14.95,uau0.251.96,2W的置信度为0.95的置信区间为x U /2 n(14.950.11.96)(14.754,15.146).9 .总体XN(jb2),er2已知，问需抽取容量n多大的样本，才能使的置信概率为1-a,且置信区间的长度不大于L?【解】由b2已知可知的置信度为1-的置信区间为x u/2.n于是置信区间长度为2 ,ng/2,那么由小/210 .设某种砖头的抗压强度XN(W,(T2),今随机抽取20块砖头，测得数据如下(k
7、g-cm-2):64694992559741848899846610098727487844881(1)求科的置信概率为0.95的置信区间.(2)求/的置信概率为0.95的置信区间.【解】x76.6,s18.14,10.950.05,n20,t/2(n1)t0.025(19)2.093,2/2(n1)0.025(19)32.852,0.975(19)8.907(1) 的置信度为0.95的置信区间s,、nta/2(n1)76.618.14一202.093(68.11,85.089)0,其他.#(2) 2的置信度为0.95的置信区间(n 1)s2(n 1)s2%(n 1), 12 /2(n 1)(
8、190.33,702.01)19219218.14,18.1432.8528.907(1)x,0x1;11.设总体Xf(x)=其中0,其他.X1,X2，,Xn是X的一个样本，求【解】(1)e的矩估计量及极大似然估计量.11E(X)xf(x)dxq(1)x1dx又XE(X)故2X所以e的矩估计量2X11X(2)似然函数LL()f(x)11)n1(i1,2,L,n)其他取对数lnLnln(1)(0xi1;1in),dlnLnd1lnx0,所以e的极大似然估计量为nnlnXii1%12.设总体Xf(x)=3x),X1,X2，,Xn为总体X的一个样本(1)求e的矩估计量？；求D(?).6x2【斛】(1
9、)E(X)xf(x)dx03-(x)dx,令所以e的矩估计量(2)D(?) D(2X)又_2E(X )于是D(X)所以2D(?).5n6x3(o3EX X -, 2? 2X.4 4D(X) -DX, nx)dx八2- 2632010_2_2E(X ) (EX)3 21042013.设某种电子元件的使用寿命X的概率密度函数为#f(x,0)=2e2(x),x0,xx1,x2,xn是总体X的一组样本观察值，求。的极大其中。（。0）为未知参数，又设似然估计值.【解】似然函数0；i 1,2,L ,n;其他.；i 1,2,L ,n,n2(xi)ni1LL()2ei1x0nlnLnIn22(xi),xi1由
10、dlnL2n0知lnL(),那么当？minxi时lnL(?)maxlnL()1in0所以e的极大似然估计量mirnxi14.设总体X的概率分布为)C0123F5窿29(1-)21-20其中戈0伉1)是未知参数，利用总体的如下样本值3,1,3,0,3,1,2,3,求20的矩估计值和极大似然估计值.【解】E(X)34，令E(X)x得？3x4P-8Xi又x-2ii8所以的矩估计值8(2)似然函数LP(xi,)46(12)(12)4.i1lnLln46lndlnL62d12ln(1)4ln(1),62824(1)(12)0,解6282420得由于1,27-1327.131122所以e的极大似然估计值为
11、15.设总体X的分布函数为1,x,F(x,B)=x0,x.其中未知参数31,介0,设X1,X2,Xn为来自总体X的样本(1)当行1时，求3的矩估计量；(2)当0=1时，求3的极大似然估计量；(3)当出2时，求a的极大似然估计量.【解】当a=1时,1f(x,)F1(x,1,)1,x0,x1;x1.当3=2时,f(x,)F；(x,2)223x0,E(X)dx1x令E(X)X，于所以的矩估计量(2)似然函数LL()f(为,xii10,1),x1,(i1,2,L,n);其他.InLnIn1)i1nlnxi,dInLndInxi0,i1所以的极大似然估计量Inxi1(3)似然函数2n2nnLf(为,i1n3,xi10,(i1,2,L,n);其他.显然LL()那么当?minx时，L1inL(?)maxL()，所以的极大似然估计量16.从正态总体XN(3.4,62)中抽取容量为n的样本，如果其样本均值位于区间(1.4,5.4)内的概率不小于0.95,问n至少应取多大?【解】6 i-t rX - N 3.4,，则 Z nX 3.46/ , n N(0,1),P1.45.41.4 3.46/、n5.4 3.46/、. nz1.281.6451.962.3
