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1、问题4 函数与方程、不等式相结合问题一、考情分析函数与方程、函数与不等式都是高中数学的重要内容,也都是高考的热点和重点,在每年的高考试题中这部分内容所占的比例都很大,函数与方程、函数与不等式是高中数学的主线,它们贯穿于高中数学的各个内容,求值的问题就要涉及到方程,求取值范围的问题就离不开不等式,但方程、不等式更离不开函数,函数与方程、函数与不等式思想的运用是我们解决问题的重要手段.二、经验分享(1) 确定函数零点所在区间,可利用零点存在性定理或数形结合法(2)判断函数零点个数的方法：解方程法；零点存在性定理、结合函数的性质；数形结合法：转化为两个函数图象的交点个数(3) 已知函数零点情况求参数
2、的步骤判断函数的单调性；利用零点存在性定理,得到参数所满足的不等式(组)；解不等式(组),即得参数的取值范围(4)函数零点个数可转化为两个函数图象的交点个数,利用数形结合求解参数范围(5)“af(x)有解”型问题,可以通过求函数yf(x)的值域解决三、知识拓展1有关函数零点的结论(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数,则f(x)至多有一个零点(2)连续不断的函数,其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号(3)连续不断的函数图象通过零点时,函数值可能变号,也可能不变号 2三个等价关系方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点四、题型分析(一) 函数与方程
3、关系的应用函数与方程是两个不同的概念,但它们之间有着密切的联系,方程f(x)0的解就是函数yf(x)的图像与x轴的交点的横坐标,函数yf(x)也可以看作二元方程f(x)y0通过方程进行研究.就中学数学而言,函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质,解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题：二是在问题的研究中,通过建立函数关系式或构造中间函数,把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质,达到化难为易,化繁为简的目的.许多有关方程的问题可以用函数的方法解决,反之,许多函数问题也可以用方程的方法来解决.函数与方程的思想是中学数学的基本思想,也是各地模考和
4、历年高考的重点.【例1】已知函数（）有四个不同的零点,则实数的取值范围是 【分析】把函数（）有四个不同的零点转化为方程有三个不同的根,再利用函数图象求解【解析】因为是函数的零点,则函数有四个不同的零点,等价于方程有三个不同的根,即方程有三个不同的根记函数由题意y=与有三个不同的交点,由图知,所以实数的取值范围是是、【点评】零点问题也可转化为方程的根的问题,的根的个数问题,可以转化为函数和图象交点的个数问题,通过在直角坐标系中作出两个函数图象,从而确定交点的个数,也就是方程根的个数【小试牛刀】【2018届2江苏徐州丰县高三上学期调考】设函数（，为自然对数的底数），若曲线上存在一点使得，则的取值范
5、围是 【答案】【解析】由题设及函数的解析式可知，所以由题意问题转化为“存在，使得有解”，即在有解，令，则，当时，函数是增函数；所以，当，即.所以，故应填答案. (二) 函数与不等式关系的应用函数与不等式都是高中数学的重要内容,也都是高考的重点,在每年的高考试题中这部分内容所占的比例都是很大的.函数是高中数学的主线,方程与不等式则是它的重要组成部分.在很多情况下函数与不等式也可以相互转化,对于函数yf(x),当y0时,就转化为不等式f(x)0,借助于函数图像与性质解决有关问题,而同时研究函数的性质,也离不开解不等式的应用.【例2】已知函数, ,若对任意的,都有成立,则实数的取值范围为 .【分析】
6、根据题中条件：对任意的,都有成立,将问题转化为.再由题中所给两函数的特征：函数是一确定的分段函数,由它的图象不难求出函数的最大值；而另一个函数中含有绝对值,由含有绝对值的不等式可求出它的最小值,即可得到不等式,则可求出的取值范围.【解析】对任意的,都有成立,即.观察的图象可知,当时,函数；因为,所以所以,解得或,故答案为或【点评】本题考查了分段函数、对数函数和二次函数的性质,主要考察了不等式的恒成立问题和函数的最值问题. 注意不等式： 对是恒成立的.特别要注意等号成立的条件. 渗透到方程问题、不等式问题、和某些代数问题都可以转化为函数知识.且涉及的知识点多、面广,在概念性、应用性、理解性都有一
7、定的要求,它们是高考中考查的重点,所以在教学中我们应引引起高度的重视.【小试牛刀】【2018届江苏省南京市高三12月联考】若不等式对任意的恒成立，则实数x的取值集合为_【答案】【解析】画图可知，函数和函数连续在轴右边有相同的零点，令，得，代入中，得，或，注意到，所以实数的取值集合为,故填.(三) 函数、方程和不等式关系的应用函数、方程、不等式的结合,是函数某一变量值一定或在某一范围下的方程或不等式,体现了一般到特殊的观念.也体现了函数图像与方程、不等式的内在联系,在高中阶段,应该让学生进一步深刻认识和体会函数、方程、不等式三部分之间的内在联系,并把这种内在联系作为学习的基本指导思想,这也是高中
8、数学最为重要的内容之一.而新课程标准中把这个联系提到了十分明朗、鲜明的程度.因此,在高三的复习中,对这部分内容应予以足够的重视.【例3】已知函数,其中m,a均为实数(1)求的极值；(2)设,若对任意的,恒成立,求的最小值；(3)设,若对任意给定的,在区间上总存在,使得成立,求的取值范围【分析】(1)求的极值,就是先求出,解方程,此方程的解把函数的定义域分成若干个区间,我们再确定在每个区间里的符号,从而得出极大值或极小值；（2）此总是首先是对不等式恒成立的转化,由（1）可确定在上是增函数,同样的方法（导数法）可确定函数在上也是增函数,不妨设,这样题设绝对值不等式可变为,整理为,由此函数在区间上为
9、减函数,则在（3,4）上恒成立,要求的取值范围采取分离参数法得恒成立,于是问题转化为求在上的最大值；（3）由于的任意性,我们可先求出在上的值域,题设“在区间上总存在,使得成立”,转化为函数在区间上不是单调函数,极值点为（）,其次,极小值,最后还要证明在上,存在,使,由此可求出的范围.【解析】（1）,令,得x = 1 列表如下：x（-,1）1（1,+）+0-g(x)极大值g(1) = 1,y =的极大值为1,无极小值 （2）当时, ,在恒成立,在上为增函数 设, 0在恒成立,在上为增函数 设,则等价于,即 设,则u(x)在为减函数在（3,4）上恒成立 恒成立 设,=,x3,4, 0,为减函数在3
10、,4上的最大值为v(3) = 3 - a3 -,的最小值为3 - （3）由（1）知在上的值域为 ,当时,在为减函数,不合题意 当时, ,由题意知在不单调,所以,即 此时在上递减,在上递增,即,解得 由,得 ,成立 下证存在,使得1 取,先证,即证设,则在时恒成立在时为增函数,成立再证1,时,命题成立 综上所述,的取值范围为 【点评】本题主要考查了导数的应用,求单调区间,极值,求函数的值域,以及不等式恒成立等函数的综合应用. 对于不等式的解法要熟练地掌握其基本思想,在运算过程中要细心,不可出现计算上的错误.解决不等式与函数、方程之间联系的题目时不仅要理解其内在的联系,还应注意转化的思想和数形结合
11、的思想应用. 有关恒成立问题、能成立问题、恰好成立问题在新课标高考试题中经常出现,要理解各自的区别.在求函数在闭区间上的最值问题可采用以下方法：先求出函数在导数为零的点、不可导点、闭区间的端点的函数值,然后进行比较,最大的函数值就是函数的最大值,最小的函数值就是函数的最小值. 【小试牛刀】【江苏省常州市2019届高三上学期期末】已知函数，函数.（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若函数有且只有一个零点，求实数的取值范围；（3）若函数对恒成立，求实数的取值范围.(是自然对数的底数，)【解析】（1）当时，则，所以，所以切线方程为.（2），当时，恒成立，所以单调递增，因为，所以有唯一零点，即符合
12、题意；当时，令，解得，列表如下：-0+极小值由表可知，.（i）当，即时，所以符合题意；（ii）当，即时，因为，且，所以，故存在，使得，所以不符题意；（iii）当，即时，因为，设，则，所以单调递增，即，所以，又因为，所以，故存在，使得，所以不符题意；综上，的取值范围为.（3），则，当时，恒成立，所以单调递增，所以，即符合题意；当时，恒成立，所以单调递增，又因为，所以存在，使得，且当时，即在上单调递减，所以，即不符题意；综上，的取值范围为.五、迁移运用1【江苏省泰州市2019届高三上学期期末】已知函数，若，则实数的取值范围为_.【答案】【解析】函数为偶函数，因为，所以当时，函数为增函数，当时，函数
13、为减函数，由得，即，解得故答案是：.2【江苏省扬州市2018-2019学年度第一学期期末】若存在正实数x，y，z满足，且，则的最小值为_【答案】【解析】正实数x，y，z满足3y2+3z210yz，lne，lnln（）lnlneln，令，则lnelnetlnt，t，f（t）etlnt，f（t）e0，则t，可得f（t）在（）递减，在（）递增，f（t）minf（）1（1）2，即（ln）min2，的最小值为e2，故答案为：e23【江苏省苏州市2019届高三上学期期末】设函数，若对任意(，0)，总存在2，)，使得 ，则实数a的取值范围_【答案】【解析】由题意，对任意(，0)，总存在2，)，使得 ，即当任意(，0)，总存在2，)，使得 ，当时，当时，函数，当，此时，符合题意；当时，时，此时最小值为0，而当时，的导数为，可得为极小值点，可得的最小值为或，均大于0，不满足题意；当时，时，的最小值为0或，当时，的导数为，可得为极小值点，且为最小值点，可得的最小值为，由题意可得，解得，综上可得实数的范围是。4【江苏省南京金陵中学2019届高三第一学期期中】若存在正数x，y，使得，其中e为自然对数的底数，则实数的取值范围是_【答案】(，0)，)【解析】由得x+s（y2ex）ln=0，即1+s（2e）ln=0，即设t=，则t0，则条件
