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1、第8讲正弦定理和余弦定理的应用举例1实际测量中的常见问题求AB图形需要测量的元素解法求竖直高度底部可达ACBBCa解直角三角形ABatan 底部不可达ACBADBCDa解两个直角三角形AB求水平距离山两侧ACBACbBCa用余弦定理AB河两岸ACBABCCBa用正弦定理AB河对岸ADCBDCBCDACDCDa在ADC中，AC在BDC中，BC在ABC中，应用余弦定理求AB2.实际问题中的常用术语术语名称术语意义图形表示仰角与俯角在目标视线与水平视线所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角方位角从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角叫做方位
2、角方位角的范围是0360方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)度3.解三角形应用题的一般步骤 判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)东北方向就是北偏东45的方向()(2)从A处望B处的仰角为，从B处望A处的俯角为，则，的关系为180.()(3)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为.()(4)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系()(5)方位角大小的范围是0，2)，方向角大小的范围一般是0，)()答案：(1)(2)(3)(4)(5) 若点A在点C的北偏东30，点B在点C的南偏东60，且ACBC，则点A在点B的()A北偏东15
3、B北偏西15C北偏东10D北偏西10解析：选B.如图所示，ACB90，又ACBC，所以CBA45，而30，所以90453015.所以点A在点B的北偏西15. (教材习题改编)如图，一艘船上午9：30在A处测得灯塔S在它的北偏东30的方向，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75的方向，且与它相距8 n mile.此船的航速是_n mile/h.解析：设航速为v n mile/h，在ABS中ABv，BS8，BSA45，由正弦定理得，则v32.答案：32 如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，选定一点C，测出AC的距离为50 m，ACB45
4、，CAB105，则A，B两点间的距离为_解析：由正弦定理得AB50(m)答案：50 m 如图所示，D，C，B三点在地面的同一直线上，DCa，从C，D两点测得A点的仰角分别为60，30，则A点离地面的高度AB_解析：因为D30，ACB60，则CAD30，所以CACDa，所以ABasin 60a.答案：a测量距离 典例引领 如图所示，某旅游景点有一座风景秀丽的山峰，山上有一条笔直的山路BC和一条索道AC，小王和小李打算不坐索道，而是花2个小时的时间进行徒步攀登，已知ABC120，ADC150，BD1 km，AC3 km.假设小王和小李徒步攀登的速度为每小时1 250米，请问：两位登山爱好者能否在2
5、个小时内徒步登上山峰？(即从B点出发到达C点)【解】在ABD中，由题意知，ADBBAD30，所以ABBD1，因为ABD120，由正弦定理得，解得AD，在ACD中，由AC2AD2CD22ADCDcos 150，得93CD22CD，即CD23CD60，解得CD，BCBDCD，2个小时小王和小李可徒步攀登1 25022 500米，即2.5千米，而2.5，所以两位登山爱好者可以在2个小时内徒步登上山峰 若本例条件“BD1 km，AC3 km”变为“BD200 m，CD300 m”，其他条件不变，则这条索道AC长为_解析：在ABD中，BD200，ABD120.因为ADB30，所以DAB30.由正弦定理，
6、得，所以.所以AD200 (m)在ADC中，DC300 m，ADC150，所以AC2AD2DC22ADDCcosADC(200 )230022200300cos 150390 000，所以AC100.故这条索道AC长为100 m.答案：100 m距离问题的类型及解法(1)测量距离问题分为三种类型：两点间不可达又不可视、两点间可视但不可达、两点都不可达(2)解法：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解 如图，隔河看两目标A与B，但不能到达，在岸边先选取相距 km的C，D两点，同时，测得ACB75，BCD45，ADC30，ADB45(A，B，
7、C，D在同一平面内)，求两目标A，B之间的距离解：在ACD中，ACD120，CADADC30，所以ACCD km.在BCD中，BCD45，BDC75，CBD60.所以BC.在ABC中，由余弦定理，得AB2()22cos 75325，所以AB km，所以A，B之间的距离为 km.测量高度 典例引领 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD_m.【解析】由题意，在ABC中，BAC30，ABC18075105，故ACB45.又AB600 m，故由正弦定理得，解得
8、BC300 m.在RtBCD中，CDBCtan 30300100(m)【答案】100求解高度问题的注意事项(1)在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角；(2)准确理解题意，分清已知条件与所求，画出示意图；(3)运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程思想的运用 (2018湖北省七市(州)协作体联考)如图，为了估测某塔的高度，在同一水平面的A，B两点处进行测量，在点A处测得塔顶C在西偏北20的方向上，仰角为60；在点B处测得塔顶C在东偏北40的方向上，仰角为30.若A，B两点相距130 m，则塔的高度CD_m.解析：由题
9、意可知，设CDh，则AD，BDh，在ADB中，ADB1802040120，所以由余弦定理AB2BD2AD22BDADcos 120，可得13023h22h，解得h10，故塔的高度为10 m.答案：10测量角度 典例引领 一艘海轮从A出发，沿北偏东75的方向航行(22)n mile到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东15的方向航行4 n mile到达海岛C.(1)求AC的长；(2)如果下次航行直接从A出发到达C，求CAB的大小【解】(1)由题意，在ABC中，ABC1807515120，AB22，BC4，根据余弦定理得AC2AB2BC22ABBCcosABC(22)242(22)424，所以AC2.
10、(2)根据正弦定理得，sinBAC，所以CAB45.解决测量角度问题的注意事项(1)首先应明确方位角或方向角的含义(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正、余弦定理的“联袂”使用 通关练习1甲船在A处观察乙船，乙船在它的北偏东60的方向，相距a海里的B处，乙船正向北行驶，若甲船是乙船速度的倍，甲船为了尽快追上乙船，则应取北偏东_(填角度)的方向前进解析：设两船在C处相遇，则由题意ABC18060120，且，由正弦定理得，所以sinBAC.又因为0BAC60，所以BAC30.所以甲船应沿北偏东30方
11、向前进答案：302在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45方向，相距12 n mile的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10 n mile的速度沿南偏东75方向前进，若红方侦察艇以每小时14 n mile的速度，沿北偏东45方向拦截蓝方的小艇，若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角的正弦值解：如图，设红方侦察艇经过x小时后在C处追上蓝方的小艇，则AC14x，BC10x，ABC120.根据余弦定理得(14x)2122(10x)2240xcos 120，解得x2.故AC28，BC20.根据正弦定理得，解得sin .所以红方侦察艇所需要的时间为2小时，角的正弦值为. 利
12、用解三角形解决实际问题时：(1)要理解题意，整合题目条件，画出示意图，建立一个三角形模型；(2)要理解仰角、俯角、方位角、方向角等概念；(3)三角函数模型中，要确定相应参数和自变量范围，最后还要检验问题的实际意义 易错防范(1)易混淆方位角与方向角概念：方位角是指正北方向与目标方向线(按顺时针)之间的夹角，而方向角是正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角(2)解三角形时，为避免误差的积累，应尽可能用已知的数据(原始数据)，少用间接求出的量 1两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40，灯塔B在观察站南偏东60，则灯塔A在灯塔B的()A北偏东10B北偏西10C南偏东80D南
13、偏西80解析：选D.由条件及题图可知，AB40，又BCD60，所以CBD30，所以DBA10，因此灯塔A在灯塔B南偏西80.2一艘船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔M在北偏东60方向，行驶4 h后，船到达B处，看到这个灯塔在北偏东15方向，这时船与灯塔的距离为()A15 kmB30 kmC45 kmD60 km解析：选B.如图所示，依题意有AB15460，DAC60，CBM15，所以MAB30，AMB45.在AMB中，由正弦定理，得，解得BM30，故选B.3如图，一条河的两岸平行，河的宽度d0.6 km，一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B.已知AB1 km，水的流速为2 km/h，若客
