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1、动物体重与心律模型 摘要 本文通过对动物散热与动物表面积、体积、体重的关系进行深入分析，运用合理的假设确定其比例关系，建立动物体重与心率之间的关系模型。最后通过MATLAB进行图形分析，进一步加以验证，得到最优模型，进而明确体重与心律之间的比例关系，便于通过体重来预测人类心律大小，从而达到预防心脏疾病的目的。首先，由热血动物在休息状态时，动物产热主要用于维持体温，产热与从心脏到全身的血流量成正比，同时体温通过体表散失，得到心脏产热率与体表产热率近似相等，通过假设建立这个恒等关系，并运用此关系建立模型。其次，由常识可知动物表面积与体积存在正比关系，通过动物身长建立体积于表面积比例关系。另外，动物
2、心脏产热率与心脏体积成正比，与心律成正比建立三者比例关系。根据心脏体积与动物体积成正比，将两个关系式结合，通过动物体积这个变量表示出恒等关系。最后根据体积与体重之间存在的正比关系，用变量体重替换体积，建立体重与心律之间的模型。最后，用MATLAB软件求解，并验证模型。 通过对此问题的优化分析，可以将体重于心率的比例关系应用于现代医学，进而达到预防疾病的目的。关键词： 散热 产热 MATLAB 比例关系 最小二乘法 变量替换 心脏病1问题重述生物学家认为，对于休息状态的热血动物，消耗能量主要用于维持体温，能量与从心脏到全身的血流量成正比，而体温主要通过身体表面散失，现在要求建立一个动物体重与心率
3、之间关系的模型，并用下面的数据加以检验。动物体重（g）心率（次/分）田鼠25670家鼠200420兔2000205小狗5000120大狗3000085羊5000070人7000072马450000382 问题分析 从问题的提出可以看到，对于热血动物来说，消耗能量与全身血流量成正比，体温从体表散失，于是有：体表散热率=心跳产热率。由常识可知：心脏体积动物体积， 体重体积3 模型假设1. 假设热血动物在休息状态时消耗的能量全部转换为热量，全部热量都用来维持体温；2. 假设动物（包括人）的体积完全与长度成正比，动物（包括人）的表面积完全与长度成正比；3. 假设外界环境是保持恒定的，不会出现使体温变化
4、很大的环境因素；4. 假定动物（包括人）体表的散热率完全恒等于心跳的产热率；5. 假定心脏体积与动物（包括人）的体积成正比，体积与重量成正比； 4 符号说明符号说明 V动物（包括人）的体积 S动物（包括人）的表面积 L动物（包括人）的长度 P动物（包括人）的心率G动物（包括人）的体重K表面积S与体积V之间的比例系数K体表散热率与表面积S之间的比例系数K心脏体积与动物体积V的比例系数K体积V与体重G之间的比例系数K 心率P与体重G之间的比例系数5 模型的建立与求解 5.1 模型的建立由数学知识可知：体积V正比于长度的立方，表面积S正比于长度的平方，于是有 ， 则有 由体表散热率=心跳产热率，求得
5、：体表散热率 由心脏体积正比于动物的体积得，令心率为 ，心脏体积所以心跳产热率 则由（）（）得： 所以 由体重和体积成正比得，令体重为，有 整理化简得 即 式即为建模所要求的最后结果公式5.2 模型的求解由（5）式可以用MATLAB画出其散点图，如图表1图表 1图表 2由上图可以看出，题目中所给数据是一系列离散的点，要通过将目标函数进行一定变形才能更清晰的看出其变化趋势。所以，对其两边同时取对数可得： lgP=lg*G(-)即lgP=lgK-lgG令y=lgP,x= lgG,a= lgK得：y=a-x则数据x，y满足线性关系y=a-x利用最小二乘法直线拟合，当所测各y值与拟合直线上的a+bx之
6、间的偏差的平方和最小，即 Q=最小此时所的系数a最好，拟合公式即为最佳经验公式解方程的 a=3.2631 K=10=1.832810 P=K*G=1.832810*G用MATLAB做出图像如图标3，与原图像比较图表 36.模型的评价6.1 模型的优点：1. 利用Mtalab软件编程进行求解，所得的结果数据准确、合理。2. 只考虑动物在休息状态，没有其他活动时的产热与散热，简化问题，便与分析求解。6.2模型的缺点：1. 在建立模型时，假设热血动物在休息状态时消耗的能量全部转换为热量，忽略了其他的热量散失方式。2. 没有考虑外界气温的变化。3. 在建立模型时，假设动物表面积、体积与长度成正比，求解
7、比较粗略。4. 假设心脏体积与动物体积成正比，没有考虑特殊情况。7模型推广通过对动物体重与心率这个动物模型的研究，可以通过进一步优化，结合实际医疗问题，预防心脏病，降低心脏病的发病率。例如通过有意识地控制体重，从而有助于更方便、更有效地认识人类心脏病的发生、发展规律和研究防治措施。参考文献1姜启源，数学模型，第三版2 百度http:/ p=670 420 205 120 85 70 72 38; %不同动物的心率 G=25 200 2000 5000 30000 50000 70000 450000; %不同动物的体重 figure(1);plot(G,p,o) %绘制动物的体重与心率散点图
8、figure(2);loglog(G,p,ro) %在对数坐标中绘制动物的体重与心率散点图 G=25 200 2000 5000 30000 50000 70000 450000;p=670 420 205 120 85 70 72 38; x=log10(G);y=log10(p); x1=(sum(x)/8;X1=(sum(x.2)/8;X2=(x1)2;y1=(sum(y)/8; xy=(sum(x.*y)/8; a=(xy*(x1)-(X1)*y1)/(X2-X1) %用最小二乘法计算常数项a的值 a =3.2631 k=10a % 将a转化为k的值 k =1.8328e+003 G=25 200 2000 5000 30000 50000 70000 450000; p=670 420 205 120 85 70 72 38; k=10a ; g=20:10:450000; P=k*g.(-1/3); loglog(G,p,go) hold on loglog(g,P,b) % 拟合图像1
