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1、第五章 相似原理与量纲分析对于复杂的实际工程问题，直接应用基本方程求解，在数 学上极其困难，因此需有赖于实验研究来解决。本章主要阐 述有关实验研究的基本理论和方法，包括流动相似原理，相 似准则，量纲和谐原理及量纲分析方法等。第一节 流动相似原型：天然水流和实际建筑物称为原型。模型：通常把原型（实物）按一定比例关系缩小（或放 大）的代表物，称为模型。水力学模型试验：是依据相似原理把水工建筑物或其它 建筑物的原型按一定比例缩小制成模型，模拟与天然情况相 似的水流进行观测和分析研究，然后将模型试验的成果换算 和应用到原型中，分析判断原型的情况。水力学模型试验的目的：利用模型水流来模拟和研究原型 水流
2、问题。关键问题：模型水流和原型水流保持流动相似。流动相似：两个流动的相应点上的同名物理量（如速度、 压强、各种作用力等）具有各自的固定比例关系，则这两个 流动就是相似的。模型和原型保证流动相似，应满足：几何相似运动相似动力相似初始条件和边界条件相似1. 几何相似几何相似：指原型和模型两个流场的几何形状相似，即原型和模型及其流动所有相应的线性变量的比值均相等。长度比尺：无=2（5-1）面积比尺：若丼“ （5-2）体积比尺:%氓唔吨 （5-3）2. 运动相似运动相似：是指流体运动的速度场相似，也即两流场各 相应点（包括边界上各点）的速度 u 及加速度 a 方向相同， 且大小各具有同一比值。速度比尺
3、：（5-4）, 、亠 , , ,2 呦一珂仏7 2 -2 _ ? 2 -1加速度比尺：（5-5）3动力相似动力相似：是指两流动各相应点上流体质点所受的同名力 方向相同，其大小比值相等。力的比尺：心=菩=必=況（5 6）4初始条件和边界条件的相似 初始条件：适用于非恒定流。边界条件：有几何、运动和动力三个方面的因素。如固 体边界上的法线流速为零，自由液面上的压强为大气压强 等。流动相似的含义： 几何相似是运动相似和动力相似的前提与依据； 动力相似是决定二个液流运动相似的主导因素； 运动相似是几何相似和动力相似的表现； 凡流动相似的流动，必是几何相似、运动相似和动 力相似的流动。想一想：两恒定流流
4、动相似应满足哪些条件？答：应满足几 何相似，动力相似，运动相似及边界条件相似。第二节 动力相似准则动力相似准则：在两相似的流动中，各种力之间保持固 定不变的比例关系。流体运动状态的改变是惯性力和其他各种作用力相互 作用的结果。因此，各种作用力之间的比例关系应以惯性力 为一方来相互比较。判断：贯性力是所有外力的矢量和。你的回答： 对- 错惯性力I ma pF 禺=plT =朋 $护则根据动力相似有aF=人FI即% 一 Fm、（5-7）若称悬二恥牛顿数，即（5-8）所以两个相似流动的牛顿数应相等，这是流动相似的重 要标志和准则，称为牛顿数相似准则。完全的动力相似，要求惯性力与其他力比值都相等，但
5、实际上不可能达到，所以常选一个对流动起决定作用的力给 予满足。1.雷诺（粘滞力）准则5-9)观看录像一 式中:观看录像一L为流场中的特征线性长5-10)度。Re雷诺数当粘滞力起主要作用时，动力相似有适用范围：主要受水流阻力即粘滞力作用的流体流动，凡 是有压流动，重力不影响流速分布，主要受粘滞力的作用， 这类液流相似要求雷诺数相似。另外，处于水下较深的运动 潜体，在不至于使水面产生波浪的情况下，也是以雷诺数相 等保证液流动力相似。如层流状态下的管道、隧洞中的有压 流动和潜体绕流问题等。算一算：如模型比尺为 1:20，考虑粘滞力占主要因素， 采用的模型中流体与原型中相同，模型中流速为50m/s，则
6、 原型中的流速为m/s。问题： 进行水力模型实验，要实现有压管流的动力相似， 应选的相似准则是：-A.雷诺准则；B弗劳德准则；C.欧拉准则；D其他准则。问题： 雷诺数的物理意义表示：A.粘滞力与重力之比；B.重力与惯性力之比；-C惯性力与粘滞力之比；D.压力与粘滞力之比。问题：压力输水管模型实验，长度比尺为 8，模型水管的流 量应为原型输水管流量的：A.1 /2；B.1 /4；- C.1 / 8；D.1 / 16。2弗汝德（重力）准则耐_惯性力_沁江_沪（5-11）一般取（5-12）当重力起主要作用时，动力相似有:5-13)适用范围：凡有自由水面并且允许水面上下自由变动的 各种流动（重力起主要
7、作用的流动），如堰坝溢流、孔口出流、明槽流动、紊流阻力平方区的有压管流与隧洞流动 等。观看录像3观看录像4问题：进行水力模型实验，要实现明渠水流的动力相似，应选的相似准则是：A.雷诺准则； B.弗劳德准则；C.欧拉准则；D.其它准则。问题： 明渠水流模型实验，长度比尺为 4，模型流量应为原 型流量的 :A.12；B.14；C.18；D. 132。问题：长度比尺4=50的船舶模型，在水池中以1m/s的速度 牵引前进，测得波浪阻力为0.02N，则原型中需要的功率N 为：A.2.17kW；B.32.4kW；C.17.8kW；D.13.8kW。重力相似与粘滞力相似比较雷诺（粘滞力）進则 隔=Re2幵_
8、可j Ip若入二K则 如=AM；=九 =心篦 =Xi 心=n鸡 若哲=1,则召=1佛汝德（重力）准则皆 = Fr2J 厶Jg並2 _ % _ 严 2 1/2 飞丄g 若 = 则 他=瞪7 _ 丫 ? -1 _ 1/ 2 儿士 儿上儿a =几戸久:乂;若 = 1,则右=3. 欧拉准则流体流动以动水总压力为主要作用力的情况：刚=惯性力=pa =何(5-14)当压力起主要作用时，动力相似有：问题 1：进行水力模型实验，要实现有压管流的动力相似 应选择的相似准则是：A.雷诺准则；B.弗劳德准则；C. 欧拉准则。问题 2： 判断：当运动流体主要受粘滞力和压力作用时，若满足 雷诺准则，则欧拉相似准则会自动
9、满足。你的回答：对 错一般，两液流的雷诺数相等，欧拉数也相等；两液流 的弗劳德数相等，欧拉数也相等。只有出现负压或存在气蚀 情况的液体，才需考虑欧拉数相等来保证液流相似。4韦伯准则观看录像5表面张力为主导作用力时的相似准则：晚=惯性力=戸皿=P呼(5-16)当表面张力起主要作用时，动力相似有:5-17)想一想：欧拉数与韦伯数的物理意义是什么？答：欧拉数是压力为主要作用力的时候的相似准数，表征压力与惯 性力之比，两流动欧拉数相等则压力相似。韦伯数是表明张 力为主导作用力时的相似准数，表征惯性力与表面张力之 比，两流动韦伯数相等则表面张力相似。5.马赫数弹性力为主导作用力时的相似准则（例水击现象）
10、 柯西数严_惯性力_甘住_沪（5-18）令严=1运动速度为声速Ma=4Ca = Wl运动速度为超音速式中：流体声速弹性模量当弹性力起主要作用时，如水击，空气动力学中的亚音速 或超音速运动等，动力相似有：（ 5-20）6斯特哈罗数（时间准则）斯特哈罗数：非恒定流体流动中，当地加速度爹刘，这个 加速度所产生的惯性作用与迁移加速度的惯性作用之比。判断：对于恒定流也应考虑斯特哈罗数准则。你的回答:对 错曾_时变惯性力_ du/dt _ L _ V位变惯性力冀一品_ W（5-21）f振动频率对非恒定流，表明有变力作用，动力相似有：5-22)想一想：马赫数与斯特哈罗数的物理意义是什么？马赫数 为弹性力为主
11、导作用力时的相似准数，表征惯性力与弹性力之比，马赫数相等则弹性力相似。斯特哈罗数是在非恒定流 体流动中，因当地加速度不为零，这个加速度所产生的惯性 作用与迁移加速度的惯性作用之比。例1 有一直径为15cm的输油管，管长5m,管中要通过 的流量为 0.18m3/s ,现用水来作模型试验，当模型管径和原 型一样，水温为10C(原型中油的运动粘度v =p0.13cm2/s ),问水的模型流量应为多少时才能达到相似？ 若测得5m长模型输水管两端的压差为3cm，试求在5m长输 油管两端的压差应为多少(用油柱高表示)？解(1)因为圆管中流动主要受粘滞力作用,所以应满足 雷诺准则，即两者的雷诺数相等由于d
12、=d，故上式可写成m遵二备如=營或v = 0.0131cm2/s 代入上式,m将已知条件v = 0.13cm2/s , 得P2m=jIx0.18 = 0.0181m3/3即当模型中流量Q为00181m3/s时，原型与模型相似。 (2)由于已经满足雷诺准则,故两者的欧拉数也会自 动满足已知，则原型输油管的压强差为5 _ Ma H 埠 PSnL _ Ma 埠 SaPSp PSn 血PSp PSnSp也可以写成P 企 PSul这里，引入了 A =A （d =d ）及g =g。所以，5m长输油p m p m p m管的压差油柱为= w = 0 03xo（ois2i2 = 2 95m例2 长度比仁=50
13、的船舶模型，在水池中以lm/s的速1J度牵引前进时，则得波浪阻力为002N。求（1）原型中的波 浪阻力；（2）原型中船舶航行速度；（3）原型中需要的功 率？解 由于重力在起主要作用，所以原型和模型的弗劳德数 应相等。即由于g =g，故上式可写成pm由于所以玛=盂俎= 503x0.02 = 2500N,或Np=Fp = 2500x1 A= 17800Nm/s =17.8kW例3 :设有油罐，直径d为4m,油温t为20C，已知油的 运动粘度v =0. 74cm2/s ,长度比A采用4左右，试进行下 pL 面各项研究：（1）选定何种相似准则？（2）模型流体的选 定？（3）各项比例的计算。解（1）油自
14、油管流出,自由表面受重力作用,由于油 的粘度较大,故又受粘性力的作用。因此,重力和粘性力都 是重要作用力,所以,这里的相似准则应该选定同时满足雷 诺数和弗劳德数。（2）= 04 = 0.0925cm2/s由于n正好等于00925cm2/s的流体极难找到，所以只 好挑选一些近似的流体。现在选用20C的59%的甘油溶液， 其运动粘度00892cm2/s，与计算值很接近，但在试验过程 中要保持20C的温度。于是模型液体的运动粘度应为v不再等于mv =0.0892cm2/s，而不再是 0.0925cm2/s 了。 m（3）模型流体选好后，由于所选择的0.0925cm2/s，所以对长度比心应进行修正L即长度比A应为4.1,而不是4。因此模型油罐的直径为L流速比久V按弗劳德准则求得（按雷诺准则也能得到同样结 果）；兀=避=4.12 = 2.025从而知道模型油管内的流速大致为原型中的一半。时间比At按雷诺准则求得忑= 2.025加速度比2九吨a思考题1. 为什么每个相似准则都要表征惯性力？ 答案：作用在流体上的力除惯性力是企图维持流体原来运动 状态的力外，其他力都是企图改变运动状态的力。如果把作 用在流体上的各力组成一个力多边形的话，那么惯性力则是 这个力多边形的合力，即牛顿定律流动的变化就是惯
