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1、231平面向量基本定理232平面向量正交分解及坐标表示一、数乘的定义：般地实数久与向量方的积是一个向量，记作:2力 它的长度和方向规定如下：(1) 1加1=1兄吃I;当2 0时，Aa的方向与a的方向相同; 当久 0时，；IN的去向与a的方向相同;(3)当2 = 0时,或万=0时，加=0二.数乘的运算律:(1)结合律：兄(旳)=(弘)Q(2)第一分配律：(2 + /f)a = Aa+pa(3)第二分配律：A(a + b) = Aa + Ab三、向量共线的充要条件：1.定理:向量5与非零向量方共线的充要条性是有 且只有一个实数2 ,使得方=加X定理的应用蛊1) 证明向量共线_2) 证明三点共线：A
2、B=kBC AB # BC又B为公共点口 A$,c三点共线3巴明彗线眇ABSCD 勿 CD =直线ab / 直线CD AB与CD不在同一直线上J利用向量共线定理，能方便地证明几何中的三点共线和两 直线平行问题但要注意的是:向量平行和直线平行在重合概念 上有区别一般说两直线平行不包含两直线重合,而两向量平行 则含两向量重合.设石、石是同一平面内的两个不共 线的向量，a是这一平面内的任一向量, 我们研究a与、之间的关系。OC = OM + ON ：=OA + OBA a平面向量基本定理如果、是同一平面内的两个不 琴纟歩向量，那么对于这一平面内的任 二石量a有且只有一对实数、使a =+我们把不共线的
3、向量、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。田主(1) 一组平面向量的基底有多少对？C FM C0 I B 0 NE思考(2) 若基底选取不同，则表示同一向量的实数、是否相同?F0C = OF + 0E0C = 20A + 0E0C = 20B + ON0EJ平面向量基本定理：如果吕忆2是同一平面内的两个不共线向量，那么 对这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数人,人， 使云=人召+心逐说明：(1) 不共线的向量召,為叫做这一平面内所有向量 的一组基底；(2) 基底不唯一；epe2 #：0(3) 任一向量力都可以沿两个不共线的方向迢的 方向)分解成两个向量(人劭入劭 和的形式；基底给定时，分
4、解形式唯一.例1:已知向量、求做向量-2.BC例2：凸四边形ABCD的边AD,BC的中点分别为E,F,用砸 CD表示EFEF = |(AB + DC)例3.如图,OB不共线，乔=丫忑（虫7?）鬲，西不共线，点P在0、A、B所在的平面内,变式:5.OP = (l-t)OA+tOB(tR)求证：A、B、P三点共线 例10设G为AABd勺重心，过点G的直线与04, 0B分别交于点P,点Q己知亦=hOA, 0Q = kOB.1 1求证：_ + = 3h k例4、如图，已知梯形ABCD, AB/CD,且AB二 2DC, M, N分别是DC, AB 的中点.请大家动手,在图中确定一组基底,将其他向量用这组
5、基底表示出来。解析:DCBCMN=BD + DC = (AD-A +DC 迢_哥+ 2 =is AB = AD = 2,则有:1 一 1二尹二爭评析能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量能够用基底来表示，再利用有关知识解决问题。向量的夹角两个非零向量Q和方，作OA = a. OB = h(0 518(1)贝= e叫做向量。和b的夹角注意:在两向量的夹角 定义中，两向量必须是 同起点的O b B0 = 0a与方同向- B b Oe=iso0a与b反向Q与方垂直, 记作Q丄方向量的正交分解一个平面向量用一组基底弘勺表示成a -ex +22e2 的形式，我们称它为向量的分解。当，勺互相垂直时，
6、就称为向量的正交分解。在平面上，如果选取互相垂直的向量作 为基底时，会为我们研究问题带来方便平面向量的坐标表示如图,在平面直角坐标系中，分别取与X轴、y轴正方向同向的两个单位向量作基底. 平面内的任一向量Q,有且只有一对实数x,y,使a = xi + yj成立记作：a =（兀,y） 注意：,!八:则称（x, y）是向量d的坐标（1）与a相等的向量的坐标均为（兀,y）j0X平面向量的坐标表示注意：（1）与a相等的向量的坐标均为（兀丿） 7=7+0 =（1,0） = o7+ =（o,i）-6 =（0,0）,*/（3）两个向量。=（西,必）,/7 =（兀2，丁2） 箱等禹充要条恋：Q二方。旺二兀2且
7、X二y2（4）如图以原点O为起点作OA = a ,点A的位置 被a唯一确定.此时点A的坐标即为a的坐标（5）区别点的坐标和向量坐标相等向量的坐标是相同的，但起点、终点的坐标可以不同 a = yjx2 +y2平面向量的坐标表示 _a _例1.如图，用基底i,丿分别表示向量a. b. c, d并求它们的坐标.解：由图可知a AA + AA = 2z + 3 j i a = (2,3)；同理，； = -2i+3J = (-2,3)； c = 213j = (2, 3)； d = 2i 3j = (2, 3)Ai；A】例2已知是两个不共线向AB = 2/ + 3J, CB=M+jfW = 3i-2jf
8、那么当实魏为何值时 A9B,D三点共线课后作业: 作业本小结回顾对平面向量基本定理的理解:5,%是平面向量内两个不共线的固定向量，则任 意向量a可以在这两个向量的方向上进行分解o 当Ied=le2#l且引与e?垂直时，就可以建立直角坐标 系，这为下一节学习向量的坐标表示奠定了基础。二、两类问题1 用一组基底表示任一向量2.由一组基底的线性组合求作向量作业习题53 piie41已知向量eve2 () 及实数入15.入2=3问:能否作出向量玄使舌二 这样的矗有几个？2.5吕2.5可 T 4 汎屈+卒2成立?.5弓+ 3幺2已知向量epe2及向量玄（如图）问:能否找出实数对入1与入25使a =九忌+ X2e2成立?而这样的入1与入2有多少对?九2耳
