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1、 运筹与优化课内实验 检测 实验一：线性规划问题与对偶问题的建模与求解一 线性规划：满足以下三个条件的称之为线性规划问题：（1）决策变量的取值是连续的，既可以为整数，也可以喂分数、小数或实数。（2）目标函数是决策变量的线性函数。（3）结束条件是含决策变量的线性等式或者不等式。二线性规划模型的形式：2.1一般形式 (2.1)矩阵形式 (2.2)其中为决策向量，为目标函数的系数向量，推荐精选为常数向量，为系数矩阵。2.2标准形式所谓线性规划问题的标准形式，是指目标函数要求所有约束条件都是等式约束，且所有决策定量都是非负的，即 三原问题与对偶问题的表达形式和关系 在线性规划的对偶理论中，把如下线性规
2、划形式称为原问题的标准形式而把如下线性规划形式称为对偶问题的标准形式若用矩阵形式表示，则原问题和对偶问题分别可写成如下形式：原问题 对偶问题 原问题与对偶问题的关系见表原问题（对偶问题）对偶问题（原问题）minmax目标函数系数右边常数右边常数目标函数系数推荐精选约束条件系数矩阵系数矩阵的转置第个约束条件为“”型第个约束条件为“=”型第个约束条件为“”型第个变量0第个变量无限制第个变量0第个变量0第个变量无限制第个变量0第个约束条件为“”型第个约束条件为“=”型第个约束条件为“”型四实际问题与lingo求解计算例4.1.1（原问题）：设某种植物每天至少需要2g水，4g矿物质，5g维生素。已知三
3、种肥料A，B，C；其中A种肥料含有1g水，3g维生素；B种肥料含有3g水，2g矿物质，1g维生素；C种肥料含有1g水，2g矿物质，2g维生素。其中A种肥料6元每克，B种肥料4元每克，C种肥料7元每克，要求确定既要满足植物生长的营养需求，又要费用最省的选用肥料的方案。该问题的模型为:min z=6*x1+4*x2+7*x3; s.t.用lingo求解代码如下：model:min=6*x1+4*x2+7*x3;x1+3*x3=2;3*x1+2*x2+x3=4;x1+2*x2+2*x3=5;x1=0;x2=0;x3=0;end求解得：Global optimal solution found at
4、iteration: 0 Objective value: 12.00000 Variable Value Reduced Cost X1 0.000000 3.000000 X2 1.833333 0.000000 X3 0.6666667 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 12.00000 -1.000000推荐精选 2 0.000000 -1.000000 3 0.3333333 0.000000 4 0.000000 -2.000000 5 0.000000 0.000000 6 1.833333 0.000000 7 0.66666
5、67 0.000000通过上面结果可以知道，最佳费用为12元，此时，需要A,B,C三种肥料为0,1.833,0.667克。例4.1.2（对偶形式）：设某公司生产A，B，C三种肥料，已知生产A种肥料赢利2元，生产B种肥料赢利4元，生产C种肥料赢利5元。而生产A需要1小时设备1，3小时设备2，1小时设备3；生产B需要 2小时设备2，2小时设备3；需要3小时设备1，1小时设备2，2小时设备3；而设备1每天可用6小时，设备2每天可用4小时，设备3每天可用7小时，求怎样安排生产才能使公司的赢利最大。该问题的模型为： max z=2*y1+4*y2+7*y3;s.t.用lingo求解model:max=2
6、*y1+4*y2+5*y3;y1+3*y2+y3=6;2*y2+2*y3=4;3*y1+y2+2*y3=0;y2=0;y3=0;end求解得： Global optimal solution found at iteration: 0 Objective value: 12.00000 Variable Value Reduced Cost Y1 1.000000 0.000000 Y2 0.000000 0.3333333 Y3 2.000000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 12.00000 1.000000 2 3.000000 0
7、.000000推荐精选 3 0.000000 1.833333 4 0.000000 0.6666667 5 1.000000 0.000000 6 0.000000 0.000000 7 2.000000 0.000000例4.2.1（原问题）：某企业利用3种原料B1，B2，B3生产2种产品A1，A2。3种原料的月供应量和生产1吨产品A1，A2均可在市场销售，企业应如何安排月生产计划，使总收益最大？单位产品消耗 原料A1A2原料月供应量（t）B1B2B3123132150240300单位产品价格（万元/t）2.41.8 设计划生产产品Ai的数量为xi（t/月），i=1，2，则所讨论的原问题的
8、数学模型为：max z=2.4*x1+1.8*x2;s.t. 用lingo求解model:max=2.4*x1+1.8*x2;x1+x2=150;2*x1+3*x2=240;3*x1+2*x2=0;x2=0;end求解得：Global optimal solution found at iteration: 0 Objective value: 244.8000 Variable Value Reduced Cost X1 84.00000 0.000000 X2 24.00000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price推荐精选 1 244.8000
9、1.000000 2 42.00000 0.000000 3 0.000000 0.1200000 4 0.000000 0.7200000 5 84.00000 0.000000 6 24.00000 0.0000004.2.2（对偶问题）：设原料B1，B2，B3的价格为y1,y2,y3(万元/t)，显然，应有yi=0,I=1,2,3.由原问题的条件，生产1t产品A1需消耗1t原料B1，2t原料B2,3t原料B3，可获得收益为2.4万元。因此，若将生产1t产品A1的这些原料卖出所得的收益为y1+2*y2+3*y3 (万元)它必须不少于生产1t产品A1所得的收益，对于该企业才是合算的。所以应有y1+2*y2+3*y3=2.对于产品A2，可类似得到y1+2*y2+3*y3=1.8。同时，若买方（公司）欲购买该工
