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1、二次函数中的面积计算问题 典型例题 第10题例. 如图，二次函数图象与轴交于A,B两点(A在B的左边)，与轴交于点C，顶点为M ，为直角三角形, 图象的对称轴为直线，点是抛物线上位于两点之间的一个动点，则的面积的最大值为（ C ）A B C D二次函数中面积问题常见类型：一、选择填空中简单应用二、不规则三角形面积运用S=三、运用四、运用相似三角形五、运用分割方法将不规则图形转化为规则图形例1. 如图1，已知：正方形ABCD边长为1，E、F、G、H分别为各边上的点， 且AE=BF=CG=DH, 设小正方形EFGH的面积为，AE为，则关于的函数图象大致是图1(D)（ B ）例2. 解答下列问题：如
2、图1，抛物线顶点坐标为点C(1，4)，交x轴于点A(3，0)，交y轴于点B.（1）求抛物线和直线AB的解析式；（2）求CAB的铅垂高CD及SCAB ；（3）设点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，是否存在一点P，使SPABSCAB，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.xCOyABD11图1BC铅垂高水平宽ha图2A思路分析此题是二次函数中常见的面积问题，方法不唯一，可以用割补法，但有些繁琐，如图2我们可得出一种计算三角形面积的新方法：即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.掌握这个公式后，思路直接，过程较为简单，计算量相对也少许多，答案:（1）由已知，可设抛物线的解析式为y1a
3、(x1)24(a0)把A(3，0)代入解析式求得a1，抛物线的解析式为y1(x1)24，即y1x 22x3设直线AB的解析式为y2kxb，由y1x 22x3求得B点的坐标为(0，3)把A(3，0)，B(0，3)代入y2kxb，解得k1，b3直线AB的解析式为y2x3 （2）C(1，4)，当x1时，y14，y22CAB的铅垂高CD422 SCAB323(平方单位) （3）解：存在 xCOyABD11图2P设P点的横坐标为x，PAB的铅垂高为h则hy1y2(x 22x3)(x3)x 23x由SPABSCAB得：3(x 23x)3整理得4x 212x90，解得x把x代入y1x 22x3，得y1P点的
4、坐标为(，) 例3. （贵州省遵义市）如图，在平面直角坐标系中，RtAOB的顶点坐标分别为A（0，2），O（0，0），B（4，0），把AOB绕点O逆时针方向旋转90得到COD（点A转到点C的位置），抛物线yax 2bxc(a0)经过C、D、B三点（1）求抛物线的解析式；（2）若抛物线的顶点为P，求PAB的面积；-3BAxyO2-1-112345-21345（3）抛物线上是否存在点M，使MBC的面积等于PAB的面积？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由思路分析:根据题目所给信息，函数关系式和PAB的面积很容易求出。第（3）问是二次函数中常见的动点问题，由于点M是抛物线上的一个不确定点，
5、点M可以处于不同的位置，是由于点的不确定性而导致图形的形状发生特征上的变化，故而用分类讨论的思想解决问题。答案:（1）由题意知C（2，0），D（0，4）抛物线经过B（4，0），C（2，0）可设抛物线的解析式为ya(x2)(x4)-3BAxyO2-1-112345-21345PE将D（0，4）代入上式，解得a该抛物线的解析式为y(x2)(x4)即yx 2x4（2）yx 2x4(x1)2抛物线的顶点P的坐标为（1，）过点P作PE轴于点E，如图则SPABS四边形PEOB SAOB SPEA(14)42(2)16（3）假设存在这样的点M，其坐标为M（x，y）则SMBC | y |6SPAB6即| y
6、|66，y2当y2时，(x1)22，解得x； 当y2时，(x1)22，解得x存在点M，使MBC的面积等于PAB的面积，其坐标为：M1（，2），M2（，2），M3（，2），M4（，2）例4如图，抛物线与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，且x1x2，与y轴交于点C（0，4），其中x1，x2是方程x 22x80的两个根（1）求这条抛物线的解析式；（2）点P是线段AB上的动点，过点P作PEAC，交BC于点E，连接CP，当CPE的面积最大时，求点P的坐标；BAyOPECx（3）探究：若点Q是抛物线对称轴上的点，是否存在这样的点Q，使QBC成为等腰三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐
7、标；若不存在，请说明理由解：（1）解方程x 22x80，得x12，x24A（4，0），B（2，0）抛物线与x轴交于A，B两点，可设抛物线的解析式为ya(x2)(x4)（a0）又抛物线与y轴交于点C（0，4），a2(4)4，a抛物线的解析式为y(x2)(x4)，即yx 2x4 BAyOPECxG（2）设点P的坐标为（m，0），过点E作EGx轴于点G，如图A（4，0），B（2，0），AB6，BPm2PEAC，BPEBAC，EGSCPESCBPSBPEBPCOBPEG(m2)(4)(m1)23 又2m4，当m1时，SCPE有最大值3此时点P的坐标为（1，0）（3）存在这样的点Q，使QBC成为等腰三角
8、形，点Q的坐标为：Q1(1，1)，Q2(1，)，Q3(1，)，Q4(1，)，Q5(1，) BAyOCxQ1Q2Q4Q3Q5设点Q的坐标为（1，n）B（2，0），C（0，4），BC2(2)24220当QBQC时，则QB2QC2即(21)2y2(1)2(4y)2，y1Q1(1，1)当BCBQ时，则BQ2BC2即(21)2y220，yQ2(1，)，Q3(1，)当QCBC时，则QC2BC2即12(4y)220，yQ4(1，)，Q5(1，)例5如图1，抛物线yx 22xk与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，3）（图2、图3为解答备用图）（1）k_，点A的坐标为_，点B的坐标为_；（2）设抛物线yx
9、 22xk的顶点为M，求四边形ABMC的面积；（3）在x轴下方的抛物线上是否存在一点D，使四边形ABDC的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；（4）在抛物线yx 22xk上求点Q，使BCQ是以BC为直角边的直角三角形yxBAOC图2yxBAOC图1yxBAOC图3解：（1）3，（1，0），（3，0）；yxBAOC图1M（2）连结OM，如图1yx 22xk(x1)24抛物线的顶点M的坐标为（1，4）S四边形ABMC SAOC SCOM SMOB1331349 yxBAOC图2D说明：也可过点M作抛物线的对称轴，将四边形ABMC的面积转化为求一个梯形与两个直角三角形面积的和（
10、3）设D（m，m 22m3），连结OD，如图2则0m3，m 22m30S四边形ABDC SAOC SCOD SDOB133m3(m 22m3)m 2m6yxBAOC图3Q1E(m)2 当m时，四边形ABDC的面积最大此时m 22m3()223存在点D（，），使四边形ABDC的面积最大 （4）有两种情况：如图3，过点B作BQ1BC，交抛物线于点Q1、交轴于点E，连接Q1C在RtCOB中，OBOC3，CBO45，EBO45，OBOE3点E的坐标为（0，3）直线BE的解析式为yx3令x3x 22x3，解得，yxBAOC图4FQ2点Q1的坐标为（2，5）如图4，过点C作CFCB，交抛物线于点Q2、交x
11、轴于点F，连接BQ2CBO45，CFB45，OFOC3点F的坐标为（3，0）直线CF的解析式为yx3令x3x 22x3，解得，点Q2的坐标为（1，4）综上所述，在抛物线yx 22x3上，使BCQ是以BC为直角边的直角三角形的点Q有两个，分别是：Q1（2，5）和Q2（1，4）精选练习1.如图，AB为半圆的直径，点P为AB上一动点，动点P从点A出发，沿AB匀速运动到点B，运动时间为t，分别以AP于PB为直径做半圆，则图中阴影部分的面积S与时间t之间的函数图像大致为（ ）ABCNOMPxy（第2题图）2如图，已知A、B是反比例函数（k0，x0）图象上的两点，BCx轴，交y轴于点C。动点P从坐标原点O
12、出发，沿OABC（图中“”所示路线）匀速运动，终点为C。过P作PMx轴，PNy轴，垂足分别为M、N。设四边形OMPN的面积为S，P点运动时间为t，则S关于t的函数图象大致为ABOtSOtSOtSOtSCD3. 如图，四边形ABCD中，BAD=ACB=90，AB=AD，AC=4BC，设CD的长为x，四边形ABCD的面积为y，则y与x之间的函数关系式是 (第3题)ABCD4.如图，两条抛物线y1=-2+1、y2=2-1 与分别经过点（-2，0），（2，0）且平行于y轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为 5如图，在直角坐标系中，点A的坐标为(2，0)，连结OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120，得到线段OB
