数学课堂教学案例一则数学课堂教学案例一则研究性学习作为以培养学生探索能力、创新意识、合作精神为目的学习方式，受到教育界的广泛重视，通过实践，各地都总结了许多经验，包括“研究性课程”的开设、“套餐式课程”的实验，各种课题研究小组的成立等等，但笔者认为，这只是推广研究性学习方式的一个途径，还有一个重要的途径就是在平时的课堂教学中如何体现研究性学习？它与传统的“接受性学习”如何整合，才能取得更好的教学效果？这是广大中学教学教育工作者应该认真探究的问题1、案例课题：直线与圆的位置关系及判定（以下为课堂实录，全班被分成8个小组，每小组5~6人，围坐在一起，在以下过程中，T-表示教师，S-表示学习）1.1、 问题的提出T:前面几节课，我们通过研究，已经掌握了有关圆的一些基本性质，本节课我们将一起研究直线与圆的位置关系1.2、 定义的探求首先请各小组将准备好的圆环及直线段放在桌面上，在桌面上轻轻地移动，观察它们有哪些不同的位置关系？并且研究：不同的位置关系，他们的主要区别在哪里？（各小组做实验、观察、计论、教师巡视，一会儿，有小组代表发言）S:有3种不同的位置关系，（作出演示如图）S:还有两种（如图）（立即有学生反对）S:因直线可以无限延伸，所以所讲两种情况即为第3种。
T:还有不同意见吗？S：没有T:通过大家刚才的观察，发现直线与圆的位置关系共有3种,（多媒体演示如图），那么这些不同的位置关系主要区别在哪里？（有学生举手）S:直线与圆公共点的个数不同，第一种情况没有公共点即公共点个数和为0,第二种情况只有一个公共点，第三种情况有两个公共点这时一学习举手发言）S：第三种情况可能有3个公共点（如图）（其他同学指出，圆心不是圆上点，不能成为公共点）T:这样直线与圆最多只有两个公共点，并且不同公共点个数决定着不同的位置关系，因此我们可以按公共点的个数来划分来定义直线与圆的们置关系，（多媒体演示）当直线与圆无公共点时，称直线与圆相离；当直线与圆只有一个公共点时，称直线与圆相切，直线称为切线，公共点称为切点；当直线与圆有两个公共点时，称直线与圆相交，直线称为割线教师板书，列出表格见后）这样我们只要知道直线与圆公共点的个数即可确定直线与圆的位置关系请看这样一个问题：（出示幻灯片）根据图形判断直线与圆的位置关系此时教室里一片安静，不到1min,各小组的争论已经很热烈，有同学发言）S:图（1）中直线与圆有两个公共点，所以是相交关系，图（2）中直线与圆相切这时有同学提出是相交，有的是相切，争论不休，认也不能说服谁，这时教师讲话了）。
T:图（2）中直线与圆到底有几个公共点？看来凭我们的肉眼是很难判断，容易产生误差那么怎样解决这一问题？这就要求我们必须寻求一种便于把握而又可以避免这种误差的判定方法1.3、 探索直线与圆位置关系的判定方法T:前面我们曾研究过点与圆的位置关系，请大家回忆一下，我们是怎样判断点与圆的位置关系的？S:通过点与圆心的距离与半径的大小关系确定位置关系的教师打开幻灯片，一边看一边讲解T：点与圆的位置关系：「点在圆外<=>d>rY点在圆上v=>d=rL点在圆内<=>d〈r它是通过d与r的数量关系来反映点p与圆的位置关系，这种方法便于掌握非常准确，我们能否也从这个角度考虑一下直线与圆的位置关系呢？请大家将两者类比一下，主要区别是什么？S:那是点，现在是直线T:那里是用点到圆心的距离与半径比较，那么我们这里应该怎样比较？S:利用直线与圆心的距离与半径比较T:而直线与点的距离通常是指什么？S:点到直线和垂直线段的长T:（教师作图）设圆的半径为r,圆心0到直线J的距离为d,仔细观察图形，你能用M据d与r的大小关系，判断直线J与圆0的位置关系吗？请说明理由课堂里又出现了由安静到热烈的场面，我们发现有的同学在用尺量距离，有的在计算，有的互相争执，这时有的同学急于公布自己的研究成果，举手发言）S:利用d与r的关系可以判断位置关系，ld>rv=>相离，Yd=rv=>相切，匚dvrv=>相交因为直线J上点p至点0距离最小，若op=d>r，则p在圆外，其它点也在圆外，其它情况一样考虑。
T:还有没有不同的考虑？（停留片刻）刚才这位同学讲得非常好，我刚才看了许多同学都得到这样的结论，这说明同学们已经具备了一定的研究能力，这种类比思想是科学研究中重要的思想方法，在今后的学习中将经常应用它有了这种方法，刚才的问题能否解决？S:直线与J并不是圆0的切线，而是与圆相交T:由此可以发现，学习的过程实质上是不断探索新方法，解决问题的过程，下面我们利用我们的研究成果解决几个问题打开幻灯片，显示问题)例1、填空：(1)⑥半径是4cm,弦AB=4cm,以0关圆心，15cm为半径的圆和AB的位置关系2) RtAABC两直角边AC=3,BC=4,以C为圆心，r为半径作圆与AB相切，则r=3) @0半径0A=r,直线J过A并且①与OA成60°,则J与@0;②与OA垂直，则J与00此同时4) 对以上3个问题进行研究计论，得出计论，老师进行了点评)1.4、 归纳切线判定定理T:仔细比较3中两个图形，你能得出更一般性的绳结论吗？(一会儿，有同学举手发言)S:直线J经过半径OA外端点A,若与OA不垂直，则J与00不相切，若与OA垂直，则J一定与T:这个结论在判断切线时非常有用，你能用文字语言叙述这一结论吗？S:经过半径外端点，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
T:这一结论称为切线判定定理，两个条件缺一不可，为我们判断切线提供了又一种方法请看例2（找开幻灯片，显示例题）例2、已知直线经过®0上点C,并且OA=OB,CA=CB求证：直线AB是00的切线学习代表到讲台前分析）S:切线判定两条件（,）过半径外端点现在已知AB〔（2）垂直于该半径过圆上一点C,则连接OC即满足（1）,由等腰三角形性质即可满足（2）T:这们同学分析得很精彩，他紧扣切线判定两个条件一一加以验证，请大家特别关注连接OC这条辅助线的作用，具体证明请看课本例3、已知AB是00直径，AD_LJ,BC_LJ,垂足分别为D、C,并且AD+BC=AB求证：J是00的切线学生计论解题思路）S:因为J与0公共点情况不明，所以不能用刚才的判定定理，只有利用d=r来证明，作0EIJ,再证明OE为半径即可T:下面请大家写出证明过程，并请一位同学将证明过程写在黑板上大约2min的时间，学生们已全部写好证明，教师就黑板上的证明做了评价，然后提出问题)通过这两个问题的解决你有何感受？能否与同学们交流一下？S:证明一条直线为圆的切线1)若已知直线与圆有公共点，则连接圆心与公共点，证明垂直关系；(2)若不知公共点情况，则过圆心作直线的垂线段，证明垂线段的长等于半径。
又有几位同学讲了自己的体会)1.5、 课堂小结T:下面我们通过填表将本节课的内容小结一下：圆开公共点的个数位置关系判定方法O0相离(1)公共点个数为0⑵d>r1相切(1)只有1个公共点⑵d=r(3)判定定埋D2相交(1)两个公共点⑵d〈r作为：略2、对案例的分析本节课的知识目标:(1)使学生掌握直线与圆的3种位置关系的定义及判定方法；(2)能运用判定方法解决有关直线与圆的位置关系问题能力目标：通过对一系列问题的研究，培养学生实验、观察、归纳、推理的能力，逐步培养科学的思维方法及优良的思维品质为了达到这些目标，执教者精心安排了4个环节：(1)实验、观察、归纳、总结，得出直线与圆的3种位置关系及本质特征；(2)通过对问题的研究引起认知冲突，进一步研究出直线与圆的3种位置关系的判定方法；(3)再通过对问题的研究得出切线的判定定理；(4)利用已有结论解决问题，从听课以及课堂实录分析，经过这4个环节，教学任务基本完成2.1、 本案例课堂教学的特点(1)教学形式的变革：当我们走进教室时，学生的座位改变了以往“秧田式”的排列，而是分成8个小且，每组5~6人，围坐在一起，这一教学思念的更新为学生的研究计论创造了很好的环境，上课时老师不是一直站在讲台前，而是深入到每一小组，参与学生们的讨论，学生在研究过程中有什么争执，随时可以听到教师的评价；教师的讲台是开放的，学生在研究讨论中有新的见解，都可以到讲台前发表，教师把学习的主动权交给学生，每位学生的课堂中都是平等的，可以充分发挥自己的才能，课堂中经常出现争执的场面，我们发现许多好的想法、独到的见解往往都是在争执中出现，为了能够说明对方，必须韵尽全力，思维的火花就在这时迸发，在本案例中，教师为学生营造了研究性学习的氛围，贯穿于整节课的线索是研究问题、获取知(2)教育理念的革新：苏霍姆林斯基认为：人的内心世界里有一种根深蒂固的需求，总想感受到自己是发现者、研究者、探索者，他们期望自己获得成功，期望感受到自己的智慧力量，体验到探索的快乐，本案例中，执教者紧扣4个环节，将本节课的教学内容以问题的形式提供给学生，让每个学生都能以研究者的身份对教师提出的问题进行探索研究，具体分析如下：本节课开始教师首先提出本课所要解决的问题，使学生尽快明确自己的研究任务。
接着在教师的引导下，通过自己动手实验、观察、归纳出直线与圆的3种位置关系，并且在教师的点拨下，研究出不同位置关系的本质特征一一公共点个数不同，完成定义的发生过程的探索活动，这一看似简单的探索活动，蕴涵着重要的思想，体现了实验——观察一一归纳这一科学的思维方法，使学生感受到了数学知识的发生、发展及探求的过程，体验到获取知识的快乐，进一步激发了学生学习数学、研究数学的兴趣接着在教师引导下利用定义判定直线与圆的位置关系，讨论中发现在解决具体问题时，定义的难以把握，引起认知冲突，这一设计非常巧妙，通过直线与圆所成角为89凭肉眼是不容易看出直线与圆有几个公共点的，在学生中引起争论，诱导、激发学生探求新判定的欲望，这时教师点拨学生的思维，引导学生将“直线与圆的位置关系”与“点与圆的位置关系”进行类比，研究如何通过数量关系判定直线与圆的位置关系这一过程，通过类比思维的渗透，对学生科学的思维方法的形成、优良思维品质的培养、思维能力的提高，都将起到一定的促进作用从教学过程看，这一部分是课堂上非常精彩的一段第三部分是通过问题的研究提炼出切线的判定定理，这一过程的设计也是独具匠心，让学生在不知不觉中探索出切线的判定。
首先通过学生的研究发现：“若直线J经过A且与半径OA垂直，则J与©0相切；若直线J经过A并且与半径OA不垂直，则J与©0不相切”这样一个事实，然后让学生用文字语言将这一结论进行描述，并且明确这就是切线的判定定理这样引导学生从具体到抽象、步步深入、既培养学生的抽象概括能力、数学语言的转换能力，又使学生亲自经历探索数学定理的全过程，同时也感受到知识就在自己的探索创造活动中被发现，知识的积累成为一种很自然的延伸最后的课堂小结是以学生谈学习体验的方式，通过填写表格等形式对本节课所学内容进行整理，以便同化到学习的认知结构中去，这样完成本节课的教学2.2、 本案例留给我们的思考(1) “研究性学习”的误区①主伙研究性学习就是研究性课程，其实研究性学习作为一种学习方式是与接受式学习相对的，研究性课程是实施研究性学习方式的重要载体，但不是唯一的，并不意味着在基础性课程中不需要研究性学习，由本课例可以看出，在数学课堂教学中，根据教材内容，设计问题，使学生根据自己的体验，用。