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1、二、非线性递推数列目的要求：掌握常见的非线性递推数列的通项求法（化为：一阶线性、恒等变形、 不动点法、数归法、母函数法等）重点：（难点）根据其特点采用相应方法求。n1、分式递推数列：a =竺工+1 aa + b-H- ,nir 1+ bb d（i）若=0,=一=+ -a ca ca cn+1nn令其为人=h +-（一阶线性） n+l q n q 若do0,cw0,用不动点法（P166TH10）例 1、。, 。= 1 ,求 177+1 Ina +11解:-=- + 2” 艮= b +2a an+1 n+l n- ?n-i）I贝J=b += 1 2 + 2”=2一1:.a =n 11 2n2 1例
2、 2、-a a + 2a =9, n+1 n zi+1n解：变形:2（b +a）-9 a = b+ a = ”+i”+i b + a 4nb （2 一 a ） 一 Cx 2 6ct + 9 b = t+ib + a 4n令以2_6以+9 = 0 （化为型）111726n - 5.甘=bn=2ny 气厂 1n 1题中a恰好是关二 = x的根，即a为f G)=癸二2的不动点 x 一 4x 一 4TH9 P166TH10 P166f (n )=竺兰 (.)cn 一 d则| Un a1 I是等比I Un -a J|是等差P Jn2、其他非线性递推数列等差（等比）线性恒等变形后分式迭代数归母函数法（书上
3、例 10、11、12）例 10、a , a = a = 1,a = 2,an+13 + anan-1 (n 3)，求 aann 一 2解：变形a a = 3 + a a（a +1，aE连续二项）一 an1 an2n a a a a = a an+1 n2 n n3n n1n a (a+ a )= a (a即：n+1 +七一1 =七一1 +七一3（为常数列）aaa + a a + a 3ana2(n = 4)a= 3a a二阶常线性齐次（特征根法）(n 3)例 12、a = 1,a =10,a2a =10a3解：变形(n-12 a=10 n-，即：b2 = 10bn-2anan-1迭代b =(1
4、0b 1 方=10；(10b 2)4 =. = 102 10a *102 n-21 b 2n-22=101 2n - 2 -1 1=10 2n-2 102-2 = 10(b 1 r b2)a = 10a = 10 n-1例 11、b , u = 2, u 一 2,u = u (u 2n+1nn-1?n-(-1)求证：u=2 3（或证明a ）解：（猜测后证明）适用于递推关系复杂，不便求an22 -(-1)22n-(- 1hn = 1 时，u = 2 + 2-1 = 2 3 + 2- 323_(一123-(-1n = 2 时，u = 8 + 8-1 = 2 3+ 2- 32n-(-1、2n-(-1
5、、1)猜测：u = 2 3+ 2- 3.2n-(-12n -(-1、(再证：2 3为整数，则2- 3为(0，1)内的纯小数)2）数学归纳法证明，设f （n）= 2n fn=0、1、2显然成立假设n=k时，结论成立，则n=k+1时由 u = u (2 - 2) u=G f (k ) + 2-f (k )2 f (k-1) + 2-2 f (k-1)-2=2 f (k )+ 2 f (k-1) + 2-f (k )+ 2 f (k-1) + 2 f (k)一2 f (k-1) + 2-f (k )+ 2 f (k-1)2L r f (k)+ 2 f (k -1)= f (k +1)f (k)+ 2
6、f (k -1)=(- 1)k贝Uu = 2f(k+1) + 2-f(k+1) + 2(-1)3 + 2(-11 -5( . 2(-1)妇1 + 2(-1为十己 k 取k +12=2f (k+1) + 2-f (k+1)奇、偶数，恒为 5 )2猜测成立2)再证f (n )为整数2n ( 1)n(2 + 1)2n-1 2n-2 + .),/ f W =33:.f (n)为整数，2 -f(n)为(0, 1)内的纯小数2n -LD对任意自然数n, u=2 3例15、母函数法nn将数列 Co, Cl,., Cn 当多项式函数 f (x)= C 0 + C1 x + -C nxn联系是研究组合数性质的有
7、效方法之一一般：多项式a + ax + a xn称为数列aa的母函数(有限、无限均可) 01n0 n而母函数。严 可求和函数，从而可借助母函数求线性递推数列的通项 n=0例 15、a = 1, a = -2, a = 5a 6a(n 2)解：(显然特征根法可求a)n现用母函数法令 f (x)= a + a x + axn + n,/ a - 5a+ 6a= 0设法求出f (x)，即可求an寻求(a - 5a,6a M由-5xf (x)= -5a x 5a x2 . . 5a xn . . 6x2 f (x)= 6a x2 + 6a xn +得：(-5x + 6x2 )f (x)= a + (a - 5a )x + (a - 5a + 6a )x2.f (x)=1 - 7x = + =-1 - 5x + 6x 2 1 - 2x 1 - 3x 1 - 2x1 - 3x=5跛 X )n - 41E(3X )n =从.2 n - 4 . 3 n
