因数与倍数相关习题（1）一、填空题1 • 28的所有因数之和是 .2. 用105个大小相同的正方形拼成一个长方形,有 中不同的拼法•3. 一个两位数，十位数字减个位数字的差是 28的因数,十位数字与个位数字的积是24.这个两位数是 .4. 李老师带领一班学生去种树,学生恰好被平均分成四个小组，总共种树667棵，如果师生每人种的棵数一样多,那么这个班共有学生 人.5. 两个自然数的和是50,它们的最大公因数是5,则这两个数的差是 .6. 现有梨36个,桔108个,分给若干个小朋友，要求每人所得的梨数，桔数相等,最多可分给 小朋友,每个小朋友得梨 个,桔 个.7. 一块长48厘米、宽42厘米的布，不浪费边角料，能剪出最大的正方形布片 块.8. 长180厘米,宽45厘米,高18厘米的木料，能锯成尽可能大的正方体木块（不余料） 块.9. 张师傅以1元钱3个苹果的价格买苹果若干个，又以2元钱5个苹果的价格将这些苹果卖出，如果他要赚得10元钱利润，那么他必须卖出苹果 个.10. 含有6个因数的两位数有 个.11•写出小于20的三个自然数，使它们的最大公因数是 1,但两两均不互质，请问有多少组这种解？12•和为1111的四个自然数，它们的最大公因数最大能够是多少？13. 狐狸和黄鼠狼进行跳跃比赛，狐狸每次跳 4丄米，黄鼠狼每次跳2-米,2 43它们每秒钟都只跳一次.比赛途中，从起点开始每隔12-米设有一个陷井，当它们8之中有一个掉进陷井时，另一个跳了多少米？14. 已知a与b的最大公因数是12, a与c的最小公倍数是300,b与c的最 小公倍数也是300,那么满足上述条件的自然数 a, b, c共有多少组？（例如：a=12、b=300、c=300,与a=300、b=12、c=300是不同的两个自然数 组） 答 案 答案：1. 5628的因数有1,2,4,7,14,28,它们的和为1+2+4+7+14+28=56.2. 4因为105的因数有1,3,5,7,15,21,35,105 能拼成的长方形的长与宽分别是105和1,35和3,21与5,15与7.所以能拼成4种不同的长方形.3. 64因为28=2 2 7,所以28的因数有6个:1,2,4,7,14,28. 在数字0,1,2，…，9中，只有6与4之积，或者8与3之积是24,又6-4=2，8-3=5.故符合题目要求的两位数仅有 64.4. 28因 为 667=23 29, 所 以 这 班 师 生 每 人 种 的 棵 数 只 能 是 667 的 因 数:1,23,29,667. 显然, 每人种 667 棵是不可能的 .当每人种 29棵树时,全班人数应是 23-1=22,但 22不能被 4整除,不可能.当每人种 23棵树时,全班人数应是 29-1=28,且 28恰好是 4的倍数,符合题 目要求.当每人种 1棵树时 , 全班人数应是 667-1=666, 但 666不能被 4 整除, 不可能 .所以, 一班共有 28名学生 .5. 40 或 20两个自然数的和是 50,最大公因数是 5,这两个自然数可能是 5和 45,15 和 35,它们的差分别为 (45-5=)40,(35-15=)20, 所以应填 40或 20.［注］这里的关键是依最大公因数是 5的条件,将 50分拆为两数之和 :50=5+45=15+35.6. 36,1,3.要把梨 36 个、桔子 108个分给若干个小朋友，要求每人所得的梨数、桔子 相等，小朋友的人数一定是 36的因数，又要是 108的因数，即一定是 36和 108 的公因数.因为要求最多可分给多少个小朋友 ,可知小朋友的人数是 36和 108的 最大公因数 .36 和 108的最大公因数是 36,也就是可分给 36个小朋友 .每个小朋友可分得梨 : 36 36=1( 只)每个小朋友可分得桔子 : 108 36=3(只)所以,最多可分得 36个小朋友,每个小朋友可分得梨 1只,桔子 3只.7. 56剪出的正方形布片的边长能分别整除长方形的长 48 厘米及宽 42 厘米, 所以 它是 48与 42的公因数,题目又要求剪出的正方形最大 ,故正方形的边长是 48与 42 的最大公因数 .因为 48=2 2 2 2 3,42=2 3 7,所以 48与 42的最大公因数是 6.这样,最 大正方形的边长是 6 厘米.由此可按如下方法来剪 :长边每排剪 8 块, 宽边可剪 7 块,共可剪(48 6) (42 6)=8 7=56(块)正方形布片 .8. 200根据没有余料的条件可知长、宽和高分别能被正方体的棱长整除 , 即正方体的棱长是 180,45 和18的公因数 . 为了使正方体木块尽可能大 ,正方体的棱长应是 180、45和18的最大公因数 .180,45 和 18的最大公因数是 9,所以正方体的棱长 是 9 厘米 . 这样 , 长 180 厘米可公成 20 段, 宽 45 厘米可分成 5 段 , 高 18 厘米可分 成 2 段. 这根木料共分割成 (180 9) (45 9) (18 9)=200 块棱长是 9 厘米的正 方体.9. 150根据 3与5的最小公倍数是 15,张老师傅以 5元钱买进 15个苹果,又以 6元 钱卖出 15个苹果, 这样, 他15个苹果进与出获利 1元. 所以他获利 10元必须卖出 150 个苹果.10. 16含有6个因数的数,它的质因数有以下两种情况 :一是有 5个相同的质因数连 乘；二是有两个不同的质因数其中一个需连乘两次，如果用 M 表示含有 6 个因 数的数，用a和b表示M的质因数，那么M a5或 M a2 b因为M是两位数，所以M= a5只有一种可能M=25，而M= a2 b就有以下15种情况：M223,M225,M227，M2211,M2213,M2217，M2219, M2223, M32 2，M325,M327,M3211M522,M523,M722.所以,含有6个因数的两位数共有15+1=16(个)11. 三个数都不是质数，至少是两个质数的乘积，两两之间的最大公因数只 能分别是2,3和5,这种自然数有6,10,15和12,10,15及18,10,15三组.12. 四个数的最大公因数必须能整除这四个数的和，也就是说它们的最大 公因数应该是1111的因数.将1111作质因数分解，得1111=11 101最大公因数不可能是1111,其次最大可能数是101.若为101,则将这四个数分别 除以101,所得商的和应为11.现有1+2+3+5=11,即存在着下面四个数101,101 2,101 3,101 5,它们的和恰好是101 (1+2+3+5)=101 11=1111,它们的最大公因数为101. 所以101为所求.13. 黄鼠狼掉进陷井时已跳的行程应该是 2-与123的“最小公倍数” 99，4 8 4 11 1 3即跳了 99耳=9次掉进陷井，狐狸掉进陷井时已跳的行程应该是 4丄和123的4 4 2 814-29=40.5（米）.“最小公倍数” 99，即跳了 999-=11次掉进陷井.2经过比较可知，黄鼠狼先掉进陷井，这时狐狸已跳的行程是14. 先将12、300分别进行质因数分解:212=2 3300=2 2 3 52(1) 确定a的值.依题意a只能取12或12 5(=60)或12 25(=300). ⑵确定b的值.当a=12时，b可取12,或12 5,或12 25；当a=60,300时，b都只能取12.所以,满足条件的a、b共有5组:a=12「a=12「a=12j a=60-a=300b=12, *L b=60, *-b=300,L b=12,円-b=12.⑶确定a, b, c的组数.对于上面a、b的每种取值，依题意，c均有6个不同的值：22 2 2 2 2 225,5 2, 5 2 ,5 3, 5 2 3,5 2 3,即卩 25, 50, 100, 75, 150, 300.所以满足条件的自然数a、b、c共有5 6=30 （组）因数与倍数相关习题（2）一、 填空题1 .把20个梨和25个苹果平均分给小朋友，分完后梨剩下 2个，而苹果还 缺2个，一共有 个小朋友.2. 幼儿园有糖115颗、饼干148块、桔子74个，平均分给大班小朋友；结 果糖多出7颗，饼干多出4块，桔子多出2个.这个大班的小朋友最多有 人.3. 用长16厘米、宽14厘米的长方形木板来拼成一个正方形，最少需要用这样的木板 块.4. 用长是9厘米、宽是6厘米、高是7厘米的长方体木块叠成一个正方体，至少需要这种长方体木块 块.5. 一个公共汽车站,发出五路车,这五路车分别为每隔3、5、9、15、10分钟发一次，第一次同时发车以后， 钟又同时发第二次车.6. 动物园的饲养员给三群猴子分花生，如只分给第一群，则每只猴子可得12粒；如只分给第二群，则每只猴子可得 15粒；如只分给第三群，则每只猴子 可得20粒.那么平均给三群猴子，每只可得 粒.7. 这样的自然数是有的：它加1是2的倍数，加2是3的倍数，加3是4的倍数，加4是5的倍数，加5是6的倍数，加6是7的倍数，在这种自然数中除了 1 以外最小的是 .8. 能被3、7、& 11四个数同时整除的最大六位数是 .9. 把26,33,34,35,63,85,91,143 分成若干组,要求每一组中任意两个数的最大公因数是1,那么至少要分成 组.10. 210与330的最小公倍数是最大公因数的 倍.二、 解答题11. 公共汽车总站有三条线路，第一条每 8分钟发一辆车，第二条每10分 钟发一辆车，第三条每16分钟发一辆车，早上6: 00三条路线同时发出第一辆 车.该总站发出最后一辆车是20:00,求该总站最后一次三辆车同时发出的时刻.12. 甲乙两数的最小公倍数除以它们的最大公因数，商是12.如果甲乙两数 的差是18,则甲数是多少？乙数是多少？5 15 113. 用一、一、1一分别去除某一个分数，所得的商都是整数.这个分数28 56 20最小是几？14. 有15位同学，每位同学都有编号，他们是1号到15号,1号同学写了一 个自然数,2号说：“这个数能被2整除”，3号说：“这个数能被他的编号数整除.1号作了检验：只有编号连续的二位同学说得不对，其余同学都对，问：（1） 说的不对的两位同学，他们的编号是哪两个连续自然数？（2） 如果告诉你,1号写的数是五位数,请找出这个数. 答 案 答案：1. 9若梨减少2个,则有20-2=18（个）;若将苹果增加2个,则有25+2=27（个）,这 样都被小朋友刚巧分完•由此可知小朋友人数是18与27的最大公因数.所以最多 有9个小朋友.2. 36根据题意不难看出,这个大班小朋友的人数是 115-7=108,148-4=144,74-2=72 的最大公因数.所以,这个大班的小朋友最多有36人.3. 56所铺成正方形的木板它的边长必定是长方形木板长和宽的倍数 ，也就是长方形木板的长和宽的公倍数，又要求最少需要多少块，所以正方形木板的边长应是 14与16的最小公倍数.先求14与16的最小公倍数.2 16 148 7。