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1、精品文档，仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除第十九讲 立体图形【引言】我们学过的立体图形有长方体、正方体、圆柱体、圆锥体等。而竞赛题中的大部分考点集中在长方体和正方体这一内容上。主要包括：体积与表面积、展开图、相对位置与空间想象等。学好这部分知识，对培养我们的空间想象能力是非常有好处的。【典型例题】例1：用棱长是1厘米的立方体拼成下图所示的立体图形。求这个立体图形的表面积。解：2（8+7+12）=54平方厘米例2：右图是由120块小立方体构成的456的立方体，如果将其表面涂成红色，那么其中一面、二面三面被涂成红色的小立方体各有多少块？分析与解：一个长方体有8个角、12条棱、6个面，角上的8
2、个小立方体三面涂有红色，在棱上而不在角上的小立方体两面涂有红色，在面上而不在棱上的小立方体一面涂有红色，不在面上的小立方体没有涂上红色。根据上面的分析得到：三面涂有红色的小立方体有8块；两面涂有红色的小立方体，因为每条棱上要去掉两头的2块，故有（42）（52）+（62）4=36（块）；一面涂有红色的小立方体，因为每个面上要去掉周围一圈的小立方体，故有（42）（52）（42）（62）（52）（62）2 52（块）。一般地，当a，b，c都不小于2时，对于abc的立方体：三面涂有红色的小立方体有8块；两面涂有红色的小立方体的块数是：（a2）（b2）（c2）4；一面涂有红色的小立方体的块数是：（a2）
3、（b2）（a2）（c2）（b2）（c2）2；没有被涂上红色的小立方体的块数是：（a2）（b2）（c2）。例3：一个长方体的宽和高相等，并且都等于长的一半（如图）。将这个长方体切成12个小长方体，这些小长方体的表面积之和为600平方分米。求这个大长方体的体积。解：表面积=2（）+2（）=24=600 解得：，长方体体积=5510=250立方分米。例4：下图表示一个正方体，它的棱长为4cm，在它的上下、前后、左右的正中位置各挖去一个棱长为1cm的正方体，问：此图的表面积是多少？想一想，当挖去的小正方体的棱长是2cm时，表面积是多少？请同学们把它计算出来。分析：正方体有6个面，而每个面中间有一个正方
4、形的孔，在计算时要减去小正方形的面积。各面又挖去一个小正方体，这时要考虑两头小正方体是否接通，这与表面积有关系。由于大正方体的棱长为4cm，而小正方体的棱长为1cm，所以没有接通。每个小正方体孔共有5个面，其中底面和大正方体的表面损失的面积可以抵消，因此每个小正方体孔带来的面积变化是增加了4个小正方形。解：原正方体表面积：446=96六个小正方体孔额外增加的面积：1146=24（cm2）；因此所求的表面积为9624=120（cm2）。例5：一个长方体木块，从下部和上部分别截去高为3厘米和2厘米的长方体后，便成为一个正方体，表面积减少了120平方厘米，原来长方体的体积是多少立方厘米？解：所成立方
5、体的棱长为120(3+2)4=6(厘米)，所以原长方体的体积为66(6+3+2)=396(立方厘米)。例6：如图所示，今有一边长为5厘米的立方体木块，在它的每个角、每条棱以及每个面的中间各挖去一个边长为1厘米的小立方体（即图中画有阴影的那些小立方体），那么余下部分的表面积是多少平方厘米。解：角上的不变，棱中间部分表面积增加两个面，面中间部分表面积增加4个面。又正方体有12条棱，6个面。故增加的表面积是122+64=48平方厘米。从而本题答案为556+48=198平方厘米。例7：在下面的四个展开图中，哪一个是左图所示立方体的展开图？分析与解：观察立方体图形，A，B，C三个面两两相邻，即三个面有一
6、个公共顶点。再看四个展开图，图1中A与C不相邻，是相对的两个面，不合题意；图3中C与B是相对的两个面，也不合题意；图2、图4中A，B，C三个面都相邻，还需进步判别。我们看下面的两个立方体图形：这两个图虽然相似，但是A，B，C三个面的相对位置不同。我们可以借助一个现成工具右手，帮助判断三个面的相对位置。伸出右手，让除大姆指外的四指从A向B弯曲，此时，左上图中C位于大姆指指向的方向，右上图中C位于大姆指指向的相反方向。所以两个图A，B，C三个面的相对位置不同。用这种方法判断三个面相对位置的方法称为右手方法。（这也是建立空间坐标系的方法）。用右手方法很容易判断出，图4是所求的展开图。例8：右图是一个
7、立方体纸盒的展开图，当折叠成纸盒时，1 点与哪些点重合？分析与解：直接想象将展开图折叠成纸盒时的情景，也可以得到答案。现在我们从另一个角度来分析。在左下图所示的立方体上观察8个顶点，其中与A点不在一个表面上的只有B点，也就是说，沿着表面走，这两个点的路程最远。在展开图上，这两个点恰好是相邻两个小正方形所构成的长方形的对角线上的两个端点。在上页右下图中，1，2，6点都距9点最远，也就是说，1，2，6点都与9点不在一个表面上。而与9点不在一个表面上的只有一个点，所以1，2，6点是同一个点，即折叠成纸盒时，1，2，6点重合。例9、一个水箱从里面量长5分米、宽3分米、高4分米。水箱里有不满一箱的水，现
8、将一个长6分米、宽4分米、高2分米的长方体铁块垂直放入水箱里，这时箱内溢出原有的。水箱内原有水的体积与水箱容积的比是多少？解：水箱的容积是534=60立方分米，铁块在水箱内的体积是442=32立方分米。水箱内剩下的水有6032=28立方分米。水箱内原有水28（1）=42立方分米。水箱内原有水的体积与水箱的容积的比是42：60=7：10。例10、有五颗相同的骰子放成一排（如下图），五颗骰子底面的点数之和是多少？分析与解：五颗骰子有三颗露出了5，并且5和1，2，3，6相邻，所以5的对面是4；2与1，3，5相邻，因为5与4相对，故2也与4相邻，所以2的对面是6；剩下的1与3必相对。五颗骰子底面的点数
9、从左至右依次是4，6，3，1，4，其和为4631418。补充练习：1、在桌面上摆有一些大小一样的正方体木块，从正南方向看如下左上图，从正东方向看如下右上图，要摆出这样的图形至多用多少块正方体木块？至少需要多少块正方体木块？解：至少要6块正方体（左图），至多需要20块正方体木块（右图）。图中的数字表示放在这一格上的正方体木块的层数。2、有两块六个面上分别写着16的相同的数字积木，摆放如下图。在这两块积木中，相对两个面上的数字的乘积最小是多少？分析与解：由两图看出，5与1，3，4，6都相邻，所以5的对面只能是2；对右上图使用右手方法，四指由5向4弯曲，大姆指指向6，将5，4，6的这个关系移到左上图
10、，立刻得到1的对面是4，3的对面是6。5210，144，3618，相对两个面上的数字的乘积最小是4。家庭作业：1有一个长方体，它的底面是一个正方形，它的表面积是190平方厘米，如果用一个平行于底面的平面将它截成两个长方体，则两个长方体表面积的和为240平方厘米，求原来长方体的体积解：设原来长方体的底面边长为a厘米，高为h厘米，则它被截成两个长方体后，两个截面的面积和为2a2平方厘米，而这也就是原长方体被截成两个长方体的表面积的和比原长方体的表面积所增加的数值，因此，根据题意有：1902a2240，可知，a225，故a5（厘米）又因为2a24ah190，解得：cm所以，原来长方体的体积为：Va2
11、h257175（立方厘米）2如下图，一个边长为3a厘米的正方体，分别在它的前后、左右、上下各面的中心位置挖去一个截口是边长为a厘米的正方形的长方体（都和对面打通）如果这个镂空的物体的表面积为2592平方厘米，试求正方形截口的边长解：原来正方体的表面积为：63a3a69a2（平方厘米）六个边长为a的小正方形的面积为：6aa6a2（平方厘米）；挖成的每个长方体空洞的侧面积为：3aa412a2（平方厘米）；三个长方体空洞重叠部分的校长为a的小正方体空洞的表面积为：aa44a2（平方厘米）根据题意：69a26a23（12a24a2）2592，化简得：54a26a224a22592，解得a236（平方厘
12、米），故a6厘米即正方形截口的边长为6厘米3有大、中、小三个正方形水池，它们的内边长分别为4米、3米、2米，把两堆碎石分别沉没在中、小水池的水中，两个水池的水面分别升高了4厘米和11厘米如果将这两堆碎石都沉没在大水池中，大水池水面将升高多少厘米？解：水池中水面升高部分水的体积就是投入水中的碎石体积沉入中、小水池中的碎石的体积分别是：330.040.36立方米，220.110.44立方米它们的和是：0.360.440.8立方米把它们都沉入大池里，大池水面升高部分水的体积也应当是0.8立方米，而大池的底面面积是4416平方米，所以，大水池的水面升高：4下图是正方体的11种展开图和2种伪装图（即它们不是正方体的展开图）请你指出伪装图是哪两个？解：无论哪一个图中都有六个小正方形，都好像有道理，但当我们把相邻两边逐一拼合后，不能变成正方体的是（10）和（12），这两个图形，都是有五面在拼合时不成问题，但是最后一面总是挤在外面而成不了正方体5把19个边长为2厘米的正方体重叠起来，作成如下图那样的组合形体，求这个组合形体的表面积解：（4941048）2216平方厘米【精品文档】第 页
